山东省济南市章丘区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-05-04 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- 2023$ 的倒数是（）

A、 $- 2023$ B、 $2023$ C、 $- \frac{1}{2023}$ D、 $\frac{1}{2023}$

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2. 国家卫健委通报：截至2021年6月19日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗101000万余剂次，建立免疫屏障，我们一起努力！将数字101000用科学记数法表示为（）

A、 $101 \times 1 0^{3}$ B、 $1.01 \times 1 0^{5}$ C、 $101 \times 1 0^{7}$ D、 $1.01 \times 1 0^{9}$

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3. 如图，直线 $a ∥ b ∥ c$ ，直角三角板的直角顶点落在直线b上．若 $∠ 1 = 35 °$ ，则 $∠ 2$ 等于（）

A、 $125 °$ B、 $115 °$ C、 $135 °$ D、 $105 °$

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4. 化简 $\frac{x^{2}}{x - 2} + \frac{4}{2 - x}$ 的结果是 $($ $)$

A、 $x - 2$ B、 $\frac{1}{x - 2}$ C、 $\frac{x^{2} + 4}{x - 2}$ D、 $x + 2$

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5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 下列运算正确的是（）

A、 $4 x^{3} y^{2} \cdot (- \frac{1}{2} x y^{2}) = - 2 x^{4} y^{4}$ B、 $(a + b) (a + b) = a^{2} + b^{2}$ C、 ${(- 3 x^{2} y)}^{3} = - 9 x^{6} y^{3}$ D、 ${(x^{2})}^{3} = x^{5}$

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7. 函数 $y = - k x - 5$ 与 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 在同一坐标系内的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点都在方格线的格点上，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针方向旋转 $90 °$ ，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则点C的对应点 $C^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(2 ， - 3)$ B、 $(- 2 ， 3)$ C、 $(- 2 ， 2)$ D、 $(- 3 ， 2)$

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9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交 $A C$ ， $A B$ 于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线 $A O$ 上任意一点，过点P作 $P M ⊥ A C$ ，交 $A C$ 于点M，连接 $P C$ ，若 $A C = 2$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，则 $P M + P C$ 长度的最小值为（）

A、 $3 \sqrt{21}$ B、 $\frac{2 \sqrt{21}}{7}$ C、4 D、 $k_{M A} \cdot k_{M B} = - \frac{1}{2}$

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10. 在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数 $y = a x^{2} - 4 x + c (a \neq 0)$ 的图象上有且只有一个雅系点 $(- \frac{5}{2} ， - \frac{5}{2})$ ，且当 $m \leq x \leq 0$ 时，函数 $y = a x^{2} - 4 x + c + \frac{1}{4} (a \neq 0)$ 的最小值为 $- 6$ ，最大值为 $- 2$ ，则m的取值范围是（）

A、 $- 1 \leq m \leq 0$ B、 $- \frac{7}{2} < m \leq - 2$ C、 $- 4 \leq m \leq - 2$ D、 $- \frac{7}{2} \leq m < - \frac{9}{4}$

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二、填空题

11. 因式分解: $x^{2} - 16 =$ .

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12. 如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是．

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13. 如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是．

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14. 小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动，如图折线 $O A B$ 和线段 $C D$ 分别表示小泽和小帅离甲地的距离 $y$ （单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距甲地的距离为千米．

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15. 如图．将扇形 $A O B$ 翻折，使点 $A$ 与圆心 $O$ 重合，展开后折痕所在直线 $l$ 与 $\overset{⌢}{A B}$ 交于点 $C$ ，连接 $A C$ ．若 $O A = 6$ ，则图中阴影部分的面积是．

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16. 如图，在矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连接EF．已知AB＝6，BC＝8，则EF的长为．

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三、解答题

17. 计算： $3 t a n 30 ° - | \sqrt{3} - 1 | + {(- 2022)}^{0} - {(\frac{1}{3})}^{- 1}$

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18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 4 (x - 1) > 2 x + 3 \\ \frac{2 x - 2}{3} \leq 4 \end{array}$ ，并写出它的所有整数解．

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19. 如图，在菱形ABCD中，M，N分别是AB和BC上的点，且AM＝CN，求证：∠DMN＝∠DNM．

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20. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角 $∠ E A D$ 为 $22 °$ ，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为 $37 °$ ，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．

(1)、真空管上端B到水平线AD的距离．

(2)、求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．（结果精确到0.1米）
参考数据： $s i n 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $c o s 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $s i n 22 ° ≈ \frac{3}{8}$ ， $c o s 22 ° ≈ \frac{15}{16}$ ， $t a n 22 ° \approx 0.4$

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21. 为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同．

(1)、求A，B两种学习用品的单价各是多少元；

(2)、若购买A、B两种学习用品共100件，且总费用不超过2800元，则最多购买B型学习用品多少件？

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22. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交AC的延长线于点D，交过点C的切线于点 E．

(1)、求证：∠DCE＝∠ABC；

(2)、若OA＝3，AC＝2，求线段CD的长．

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23. 我市各学校积极响应上级“停课不停教、停课不停学”的要求，开展了空中在线教学．某校就“网络直播课”的满意度进行了随机在线问卷调查，调查结果分为四类：A．非常满意；B．很满意；C．一般；D．不满意．将收集到的信息进行了统计，绘制成不完整的统计表和统计图（如图所示）．请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题．

频数分布统计表

类别	频数	频率
A	60	h
B	m	0.4
C	90	0.3
D	30	0.1

(1)、接受问卷调查的学生共有人；

m =

，

n =

(2)、补全条形统计图：

(3)、为改进教学，学校决定从选填结果是D类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，随机抽取两名学生参与网络座谈会，用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率．

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24. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A (3 ， n)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B (0 ， - 2)$ ，点 $P$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上一动点，过点 $P$ 作直线 $P Q ∥ y$ 轴交直线 $y = x + b$ 于点 $Q$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ，且 $0 < t < 3$ ，连接 $A P$ ， $B P$ ．

(1)、求 $k$ ， $b$ 的值．

(2)、当 $△ A B P$ 的面积为3时，求点 $P$ 的坐标．

(3)、设 $P Q$ 的中点为 $C$ ，点 $D$ 为 $x$ 轴上一点，点 $E$ 为坐标平面内一点，当以 $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的四边形为正方形时，求出点 $P$ 的坐标．

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25. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，点D在BC上，且满足 $B D ＝ \frac{1}{3} B C$ ，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，连接CE，BE，以CE为斜边在其右侧作直角三角形CEF，且 $∠ C F E = 90 °$ ， $∠ E C F = 60 °$ ，连接AF．

(1)、如图1，当点E落在BC上时，直接写出线段BE与线段AF的数量关系；

(2)、如图2，在线段DB旋转过程中，（1）中线段BE与线段AF的数量关系是否仍然成立？请利用图2说明理由；

(3)、如图3，连接DF，若 $A C = 3$ ，求线段DF长度的最小值．

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26. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， B两点，与y轴交于点C $(0 ， 2)$ ，连接 $B C$ ．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、点P是第三象限抛物线上一点，直线 $P B$ 与y轴交于点D， $△ B C D$ 的面积为12，求点P的坐标．

(3)、抛物线上是否存在点Q使得 $∠ Q C B = ∠ C B O$ ？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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