山东省济南市平阴区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-05-04 类型：中考模拟

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一、单选题

1. ﹣6的相反数是（　　）

A、﹣6 B、﹣ $\frac{1}{6}$ C、6 D、 $\frac{1}{6}$

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2. 左下图是一些完全相同的小正方体搭成的几何体的三视图．这个几何体只能是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 中国科学技术大学利用“墨子号”科学实验卫星，首次实现在地球上相距1200公里的两个地面站之间的量子态远程传输，对于人类构建全球化量子信息处理和量子通信网络迈出重要一步，1200这个数用科学记数法可表示为（）

A、 $0.12 \times 1 0^{4}$ B、 $1.2 \times 1 0^{4}$ C、 $1.2 × 1 0^{3}$ D、 $12 \times 1 0^{2}$

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4. 已知直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，将含30°角的直角三角板按图所示摆放.若 $∠ 1 = 120 °$ ，则 $∠ 2 =$ （）

A、120° B、130° C、140° D、150°

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5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（）

A、 $a = b$ B、 $a > b$ C、 $| a | < | b |$ D、 $| a | > | b |$

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7. 2022年2月20日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，共斩获9金4银2铜，创造中国队冬奥会历史最好成绩某校为普及冬奥知识，开展了校内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 反比例函数 $y = \frac{a b}{x}$ 与一次函数 $y = a x + b$ 在同一坐标系中的大致图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图所示，在 $△ A B C$ 中，按下列步骤作图：
第一步：在 $A B 、 A C$ 上分别截取 $A D 、 A E$ ，使 $A D = A E$ ；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于 $D E$ 的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F；
第三步：作射线 $A F$ 交 $B C$ 于点M；
第四步：过点M作 $M N ⊥ A B$ 于点N．
下列结论一定成立的是（）

A、 $C M = M N$ B、 $A C = A N$ C、 $∠ C A M = ∠ B A M$ D、 $∠ C M A = ∠ N M A$

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + a + 2 （ a \neq 0 ）$ ，若 $- 1 \leq x \leq 2$ 时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（）

A、 $\pm \frac{4}{3}$ B、 $\pm 1$ C、 $- 1$ 或 $- \frac{4}{3}$ D、1或 $\frac{4}{3}$

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二、填空题

11. 因式分解： $a^{2} + 2 a =$ ．

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12. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是．

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13. 计算： $\frac{a^{2}}{a - b} + \frac{b^{2} - 2 a b}{a - b} =$ ．

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14. 如图，将一个正六边形与一个正五边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点．则∠BEC＝．

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15. 如图，以边长为2的等边 $△ A B C$ 顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与 $B C$ 边相切，分别交 $A B ， A C$ 于D，E，则图中阴影部分的面积是．

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16. 平面直角坐标系中，若点P的坐标为 $(x ， y)$ ，点Q的坐标为 $(m x + y ， x + m y)$ ，其中m为常数，则称点Q是点P的m级派生点，例如点 $P (1 ， 2)$ 的3级派生点是 $(3 \times 1 + 2 ， 1 + 3 \times 2)$ ，即 $Q (5 ， 7)$ ．如图点 $Q (3 ， - 1)$ 是点 $P (x ， y)$ 的 $- 3$ 级派生点，点A在x轴上，且 $S_{△ A P Q} = 3$ ，则点A的坐标为．

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三、解答题

17. 计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 1} + \sqrt{12} - {(2022 - π)}^{0} - 2 c o s 30 °$

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18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x - 5 < 0 ① \\ 1 - \frac{2 x - 4}{3} \leq \frac{5 - x}{2} ② \end{array}$ ，并写出它的正整数解．

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19. 如图，在▱ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点．且BF=DE，求证：AF＝CE.

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20. 第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生．为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）：
A： $70 \leq x < 75$ ， B： $75 \leq x < 80$ ， C： $80 \leq x < 85$ ，
D： $85 \leq x < 90$ ， E： $90 \leq x < 95$ ， F： $95 \leq x \leq 100$ ，
并绘制七年级测试成绩频数直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：
已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88
请根据以上信息，完成下列问题：

(1)、n＝， a＝；

(2)、八年级测试成绩的中位数是﹔

(3)、若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由．

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21. 如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼AB的高度进行测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面的高度CD＝36m，求居民楼AB的高度（结果保留整数.参考数据：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）.

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22. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ ， $C D$ 是 $⊙ O$ 的直径， $E$ 是 $D B$ 延长线上一点，且 $∠ D E C = ∠ A B C$ .

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $D E = 4 \sqrt{5}$ ， $A C = 2 B C$ ，求线段 $C E$ 的长.

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23. 小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同.

(1)、求大本作业本与小本作业本每本各多少元?

(2)、因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元.则大本作业本最多能购买多少本?

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24. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $P (- 1 ， 2)$ ， $A B ⊥ x$ 轴于点E，正比例函数 $y = m x$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{n - 3}{x}$ 的图象相交于A、P两点．

(1)、求m、n的值；

(2)、求证： $△ C P D ∽ △ A E O$ ；

(3)、求 $s i n ∠ C D B$ 的值．

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25. 如图1，已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段 $A B 、 A C$ 上， $∠ C = ∠ A E D = 90 °$ ．

(1)、观察猜想：如图2，将 $△ A D E$ 绕点A逆时针旋转，连接 $B D 、 C E$ ， $B D$ 的延长线交 $C E$ 于点F．当 $B D$ 的延长线恰好经过点E时，点E与点F重合，此时，
① $\frac{B D}{C E}$ 的值为；
② $∠ B F C$ 的度数为度；

(2)、类比探究：如图3，继续旋转 $△ A D E$ ，点F与点E不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由．

(3)、拓展延伸：若 $A E = D E = \sqrt{2}$ ， $A C = B C = \sqrt{10}$ ，当 $C E$ 所在的直线垂直于 $A D$ 时，请直接写出线段 $B D$ 的长．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与直线 $A B$ 交于点 $A (0 ， - 4)$ ， $B (4 ， 0)$ ．

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、点 $P$ 是直线 $A B$ 下方抛物线上的一动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交 $A B$ 于点 $C$ ，过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交 $x$ 轴于点 $D$ ，求 $P C + P D$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

(3)、在（2）中 $P C + P D$ 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点 $E$ 为点 $P$ 的对应点，平移后的抛物线与 $y$ 轴交于点 $F$ ， $M$ 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点 $N$ ，使得以点 $E$ ， $F$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点 $N$ 的坐标．

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