山东省东营市东营区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-05-04 类型：中考模拟

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一、单选题

1. ${(- 1)}^{2023}$ 的相反数是（）

A、－1 B、1 C、－2023 D、2023

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2. 下列计算正确的是（）

A、 ${(2 a - 1)}^{2} = 4 a^{2} - 1$ B、 $a + 2 a^{2} = 3 a^{3}$ C、 $\sqrt{4} = \pm 2$ D、 ${(- a^{2})}^{3} = - a^{6}$

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3. 将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $5 °$ B、 $10 °$ C、 $15 °$ D、 $20 °$

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4. 一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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5. 如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为 $30 °$ ，则甲楼高度为（）

A、15米 B、 $(36 - 10 \sqrt{3})$ 米 C、 $15 \sqrt{3}$ 米 D、 $(36 - 15 \sqrt{3})$ 米

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6. 如图是一个机器零件的三视图，根据标注的尺寸，这个零件的表面积（单位： $m m^{2}$ ）是（）

A、 $24 π$ B、 $21 π$ C、 $20 π$ D、 $16 π$

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7. 如图，函数 $y = 2 x$ 和 $y = a x + 4$ 的图象相交于点 $A (m ， 3)$ ，则不等式 $2 x \geq a x + 4$ 的解集为（）

A、 $x \leq 3$ B、 $x \geq \frac{3}{2}$ C、 $x \geq 3$ D、 $x \leq \frac{3}{2}$

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8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若AC＝12，则在△ABD中AB边上的高为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ，点D是 $B C$ 边上的中点，点P从 $△ A B C$ 的顶点A出发，沿 $A \to B \to D$ 的路径以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D．线段 $D P$ 的长度y随时间x变化的关系图象如图2所示，点N是曲线部分的最低点，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{3}$ C、8 D、 $8 \sqrt{3}$

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10. 如图，四边形 $A B C D$ 是边长为1的正方形， $Δ B P C$ 是等边三角形，连接 $D P$ 并延长交 $C B$ 的延长线于点H，连接 $B D$ 交 $P C$ 于点Q，下列结论：
① $∠ B P D = 13 5^{°}$ ；② $Δ B D P ∽ Δ H D B$ ；③ $D Q ： B Q = 1 ： 2$ ；④ $S_{Δ B D P} = \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$ ．
其中正确的有（）

A、①②③ B、②③④ C、①③④ D、①②④

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二、填空题

11. 2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达到150万次，数据150万用科学记数法表示为．

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12. 分解因式： $2 m^{3} - 8 m =$ ．

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13. 如图所示的是莉莉 $4$ 次购买某水果的重量（单位， $k g$ ）的统计图，则 $4$ 次重量的中位数是．

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14. 如图所示，已知圆 $O$ 的半径 $O A = 6$ ，以 $O A$ 为边分别作正五边形 $O A B C D$ 和正六边形 $O A E F G H$ ，则图中阴影部分的面积为（结果保留 $π$ ）．

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15. 已知 $x = m$ 是一元二次方程 $x^{2} - x + 1 = 0$ 的一个根，则代数式 $2 m - 2 m^{2} + 2021$ 的值为．

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16. 如图，在线段AB上取一点C，分别以AC，BC为边长作菱形BCFG和菱形ACDE，使点D在边CF上，连接EG，H是EG的中点，且 $C H = 5$ ，则EG的长是．

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17. 如图，等腰 $△ A B C$ 的底边 $B C$ 长为6，面积是30，腰 $A C$ 的垂直平分线 $E F$ 分别交 $A C$ ， $A B$ 边于点E，F，若点D为 $B C$ 边的中点，点M为线段 $E F$ 上一动点，则 $△ C D M$ 周长的最小值为．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1}$ ： $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + 1$ 与直线 $l_{2}$ ： $y = \sqrt{3} x$ 交于点 $A_{1}$ ，过 $A_{1}$ 作x轴的垂线，垂足为 $B_{1}$ ，过 $B_{1}$ 作 $l_{2}$ 的平行线交 $l_{1}$ 于 $A_{2}$ ，过 $A_{2}$ 作x轴的垂线，垂足为 $B_{2}$ ，过 $B_{2}$ 作 $l_{2}$ 的平行线交 $l_{1}$ 于 $A_{3}$ ，过 $A_{3}$ 作x轴的垂线，垂足为 $B_{3}$ …按此规律，则点 $A_{2023}$ 的纵坐标为．

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三、解答题

19. 计算及先化简，再求值：

(1)、计算： $(3 - π)^{0} + | \sqrt{12} - 2 | - (\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1) + {(\frac{1}{3})}^{- 2}$

(2)、先化简，再求值： $(\frac{3 x + 4}{x^{2} - 1} - \frac{2}{x - 1}) \div \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，其中x从 $- 3$ 、 $- 2$ 、 $- 1$ 中选择一个适当的数代入．

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20. “端午节”吃粽子是我国流传了上千年的习俗．某班学生在“端午节”前组织了一次综合实践活动，购买了一些材料制作爱心粽，每人从自己制作的粽子中随机选取两个献给自己的父母，其余的全部送给敬老院的老人们，统计全班学生制作粽子的个数，将制作粽子数量相同的学生分为一组，全班学生可分为A，B，C，D四个组，各组每人制作的粽子个数分别为4，5，6，7．根据如图不完整的统计图解答下列问题：

(1)、请补全上面两个统计图；（不写过程）

(2)、该班学生制作粽子个数的平均数是个；

(3)、若制作的粽子有红枣馅（记为M）和蛋黄馅（记为N）两种，该班小明同学制作这两种粽子各两个混放在一起，请用列表或画树形图的方法求小明献给父母的粽子馅料不同的概率．

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21. 如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC， $∠ A B E = 2 ∠ E$ ．

(1)、求证：CD是⊙O的切线；

(2)、若 $t a n ∠ E = \frac{1}{3}$ ， $B D = 1$ ，求AB的长．

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22. 党的二十大报告，深刻阐述了推动绿色发展，促进人与自然和谐共生的理念，尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．为响应党的号召，东营市政府欲购进一批风景树进行绿化，已知购进A种风景树4万棵，B种风景树3万棵，共需要380万元；购进A种风景树8万棵，B种风景树5万棵，共需要700万元．

(1)、问A，B两种风景树每棵的进价分别是多少元？

(2)、东营市政府计划用不超过5460万元购进A，B两种风景树共100万棵，其中要求A风景树的数量不多于58万棵，则共有几种购买方案？

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23. 如图，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图像与反比例函数y＝ $\frac{m}{x}$ （m≠0）的图像相交于点A（1，2），B（a，−1）．

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、若直线y＝kx＋b（k≠0）与x轴交于点C，x轴上是否存在一点P，使S_△APC＝4？若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由．

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24. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于 $A (1 ， 0)$ 和 $B (- 3 ， 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0 ， - 3)$ ，直线 $y = - 2 x + m$ 经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，点M在 $A E$ 下方的抛物线上运动，求 $△ A M E$ 的面积最大值；

(3)、如图2，在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与 $△ A O D$ 相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

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25.

(1)、问题：如图①，在 $R t △ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D为 $B C$ 边上一点（不与点B，C重合），将线段 $A D$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ 得到 $A E$ ，连接 $E C$ ，则线段 $B D$ 和线段 $C E$ 的数量关系是，位置关系是；

(2)、探索：如图②，在 $R t △ A B C$ 与 $R t △ A D E$ 中， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，将 $△ A D E$ 绕点A旋转，使点D落在 $B C$ 边上，试探索线段 $B D$ ， $C D$ ， $D E$ 之间满足的等量关系，并证明结论；

(3)、应用：如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ A C B = ∠ A D C = 45 °$ ．若 $B D = 12$ ， $C D = 4$ ，求 $A D$ 的长．

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