压轴题13 导数及其应用（解答题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

试卷更新日期：2023-05-04 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 设函数 $f (x) = x - s i n \frac{π x}{2}$ .

(1)、证明：当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) \leq 0$ ；

(2)、记 $g (x) = f (x) - a l n | x |$ ，若 $g (x)$ 有且仅有2个零点，求 $a$ 的值.

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2. 已知 $k \in R$ ， $a > 0$ ，设函数 $f (x) = e^{x - a} - \frac{k}{a} x^{2}$ ，其中 $e$ 为自然对数的底， $e \approx 2.71828 ⋯$ .

(1)、当 $a = 1 ， k = \frac{1}{2}$ 时，证明：函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增；

(2)、若对任意正实数 $a$ ，函数 $f (x)$ 均有三个零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ .求实数 $k$ 的取值范围，并证明 $x_{2} + x_{3} > 4$ .

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3. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 1) x + a l n x$ .（其中 $a$ 为常数）

(1)、若 $a = - 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a < 0$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的最小值；

(3)、当 $0 \leq a < 1$ 时，试讨论函数 $y = f (x)$ 的零点个数，并说明理由.

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4. 如果曲线 $y = f (x)$ 存在相互垂直的两条切线，称函数 $y = f (x)$ 是“正交函数”．已知 $f (x) = x^{2} + a x + 2 l n x$ ，设曲线 $y = f (x)$ 在点 $M (x_{0} ， f (x_{0}))$ 处的切线为 $l_{1}$ ．

(1)、当 $f^{'} (1) = 0$ 时，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $a = - 8$ ， $x_{0} = 8$ 时，是否存在直线 $l_{2}$ 满足 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，且 $l_{2}$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切？请说明理由；

(3)、当 $a \geq - 5$ 时，如果函数 $y = f (x)$ 是“正交函数”，求满足要求的实数 $a$ 的集合 $D$ ；若对任意 $a \in D$ ，曲线 $y = f (x)$ 都不存在与 $l_{1}$ 垂直的切线 $l_{2}$ ，求 $x_{0}$ 的取值范围．

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5. 设 $P$ 是坐标平面 $x O y$ 上的一点，曲线 $Γ$ 是函数 $y = f (x)$ 的图像．若过点 $P$ 恰能作曲线 $Γ$ 的 $k$ 条切线（ $k \in N$ ），则称 $P$ 是函数 $y = f (x)$ 的“ $k$ 度点”．

(1)、判断点 $O (0 ， 0)$ 与点 $A (2 ， 0)$ 是否为函数 $y = l n x$ 的1度点，不需要说明理由；

(2)、已知 $0 < m < π$ ， $g (x) = s i n x$ ．证明：点 $B (0 ， π)$ 是 $y = g (x) (0 < x < m)$ 的0度点；

(3)、求函数 $y = x^{3} - x$ 的全体2度点构成的集合．

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6. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$ ， $g (x) = l n x$ ．

(1)、若 $0 < a \leq \frac{e}{2}$ ，求证： $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数；

(2)、若存在 $a$ ，使得 $f (x) > g (x) + b$ 对于任意的 $x > 0$ 成立，求最大的整数 $b$ 的值．

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7. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x^{2}$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ .

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $e x_{1} + (e - 2) x_{2} \geq λ x_{1} x_{2}$ ，求 $λ$ 的取值范围.

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8. 已知定义域为D的函数 $y = f (x)$ ，其导函数为 $y^{'} = f^{'} (x)$ ，满足对任意的 $x \in D$ 都有 $| f^{'} (x) | < 1$ ．

(1)、若 $f (x) = a x + l n x$ ， $x \in [1 ， 2]$ ，求实数a的取值范围；

(2)、证明：方程 $f (x) - x = 0$ 至多只有一个实根；

(3)、若 $y = f (x)$ ， $x \in R$ 是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < 1$ ．

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9. 已知函数 $f (x) = x e^{x} + a x^{2} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $g (x) = x l n x + x e^{x} - f (x)$ 有两个极值点，求实数a的取值范围.

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10. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 1$ ， $g (x) = l n (x + a)$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求证： $f (x) ≥ g (x)$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 与函数 $g (x)$ 存在两条公切线，求实数 $a$ 的取值范围.

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11. 已知函数 $f (x) = a l n x + b x^{2} e^{1 - x}$ ， $a$ ， $b \in R$ . $e \approx 2.71828 ⋯$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程是 $y = x + l n 2$ ，求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、若 $a = e$ ，且 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 恰有两个零点，求 $b$ 的取值范围.

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12. 已知函数 $f (x) = l n (x + 1) + \sqrt{x + 1} - 1$ ．

(1)、若 $f (x) \leq a x$ ，求 $a$ ．

(2)、证明： $0 < x < 1$ ， $(1 + \frac{4}{x}) f (x) < 6$ ．

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13. 已知函数 $f (x) = x e^{x + 1}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq (a + 1) x + l n x + 2$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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14. 已知函数 $f (x) = e^{x - a} - x$ （ $a \in R$ ， e为自然对数的底数）.

(1)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、函数 $g (x) = e^{x - a} - x l n x + (1 - a) x$ ， $a \in (1 ， 3 - l n 3]$ ，记 $g (x)$ 的极小值为 $h (a)$ ，求函数 $h (a)$ 的值域.

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15. 设连续正值函数 $g (x)$ 定义在区间 $I \subseteq (0 ， + \infty)$ 上，如果对于任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in I$ 都有 $\sqrt{g (x_{1}) \cdot g (x_{2})} \leq g (\sqrt{x_{1} \cdot x_{2}})$ ，则称 $g (x)$ 为“几何上凸函数”．已知 $f (x) = a x - l n x$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a = e$ ，试判断 $f (x)$ 是否为 $x \in [e^{2} ， + \infty)$ 上的“几何上凸函数”，并说明理由．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a l n x (a \in R ， a \neq 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对任意的 $x \in [1 ， + ∞)$ ，都有 $f (x) ≥ \frac{1}{2}$ 成立，求a的取值范围．

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17. 已知函数 $f (x) = s i n x - a x c o s x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = \frac{π}{2}$ 处的切线方程；

(2)、对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (x) < a x^{2} + a x$ ，求a的取值范围．

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18. 已知 $x > - 1$ ，证明：

(1)、 $e^{x} - 1 \geq x \geq l n (x + 1)$ ；

(2)、 $(e^{x} - 1) l n (x + 1) \geq x^{2}$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} c o s x$ ， $g (x) = x - c o s x$ ．

(1)、对任意的 $x \in [- \frac{π}{2} ， 0]$ ， $t f (x) - g^{'} (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围；

(2)、设方程 $f (x) = g^{'} (x)$ 在区间 $(2 n π + \frac{π}{3} ， 2 n π + \frac{π}{2}) (n \in N^{*})$ 内的根从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ， …，求证： $x_{n + 1} - x_{n} > 2 π$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{8}$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ．

(1)、若 $f (x_{1}) = 0$ ，求a的值；

(2)、若 $\frac{x_{2}}{x_{1}} \geq 2$ ，求a的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = x (l n x - \frac{1}{2} x - 1)$ ， $h (x) = (a - 3) x + (1 - a + x) l n x - 1$ .

(1)、 $F (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，求 $F (x)$ 的最值；

(2)、若函数 $g (x) = h (x) - f (x)$ 恰有两个不同的零点，求 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - l n (x + 2) + l n a - 2$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 2023$ 处取得极值，求 $a$ 的值及函数的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围．

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23. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - a x$ ．

(1)、当 $x > - 1$ 时， $x_{0}$ 是 $y = f (x)$ 的一个极值点且 $f (x_{0}) = - 1$ ，求 $x_{0}$ 及 $a$ 的值；

(2)、已知 $g (x) = x^{2} l n x$ ，设 $h (x) = e^{x} [f^{'} (x) + a]$ ，若 $x_{1} > 1$ ， $x_{2} > 0$ ，且 $g (x_{1}) = h (x_{2})$ ，求 $x_{1} - 2 x_{2}$ 的最小值．

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24. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - a l n x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线过点 $(2 ， 1)$ ，求a的值；

(2)、证明： $\forall a > 1$ ， $f (e^{- a}) < 0$ ，其中e的值约为2.718，它是自然对数的底数；

(3)、当 $a > 2$ 时，求证： $f (x)$ 有3个零点，且3个零点之积为定值.

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25. 已知函数 $f (x) = - \frac{{(l n x)}^{2}}{2} + x + l n x - 1$ ， $g (x) = (x - 1) e^{x} - \frac{a x^{2}}{2} + a^{2}$ ， $a < 1$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $g (x)$ 有唯一零点，求 $a$ 的取值范围.

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26. 已知函数 $f (x) = a l n x$ ， $g (x) = b e^{x}$ （e为自然对数的底数）

(1)、当 $a = e$ 时，恰好存在一条过原点的直线与 $f (x)$ ， $g (x)$ 都相切，求b的值；

(2)、若 $b = 1$ ，方程 $x g (x) - f (x) - a x = 0$ 有两个根 $x_{1} ， x_{2}$ ，（ $0 < x_{1} < x_{2}$ ），求证： $x_{1} \cdot x_{2} > e^{2 - (x_{1} + x_{2})}$ ．

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27. 已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x}$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数．

(1)、求 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 3]$ 上的值域；

(2)、函数 $g (x) = f (x) - l n x$ ，证明： $g (x)$ 有且仅有两个零点．

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28. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x - a x^{2} - 1 (a \in R)$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 的零点；

(2)、对于任意的 $x > 0$ ，恒有 $f (x) > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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29. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{m x^{2}}{2} ， m \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 极值点的个数；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) < 2 e - m$ .

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30. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - a x - 1$ ， $g (x) = (x - 1) l n x - b x - 1$

(1)、若a＝1，b＝2，试分析 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的单调性与极值；

(2)、当a＝b＝1时， $f (x)$ 、 $g (x)$ 的零点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ； $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，从下面两个条件中任选一个证明．（若全选则按照第一个给分）
求证：① $l n x_{3} + l n x_{4} < \frac{x_{3} x_{4}}{e^{x_{1} + x_{2}}}$ ；
② $e^{x_{3} x_{4} - 1} < \frac{x_{1} + x_{2}}{2} + 2$ .

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31. 已知函数 $f (x) = \frac{1 + x}{1 - x} e^{- a x} ， (a > 0)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、讨论 $y = f (x)$ 的单调性；

(3)、若对任意 $x \in (0 ， 1)$ 恒有 $f (x) > 1$ ，求a的最大值．

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32. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} ， a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $A (0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a = - 1$ 时，试写出方程 $f (x) = 1$ 根的个数.(只需写出结论)

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33. 已知函数 $f (x) = | x e^{x} - a | - a x (l n x + 1) (a \in R)$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，证明： $f (x) \geq x (e^{x} + 2)$ ；

(2)、若 $f (x) > 0$ 对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，求a的取值范围.

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34. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x - a$ （a∈R）．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性：

(2)、证明：对任意 $a \in (0 ， 1)$ ，存在正数b使得 $a e^{b} = a + b$ ．且2lna+b＜0．

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35. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = (1 - a x) (e^{x} - 1)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) < l n (x + 1)$ ：

(2)、若函数 $h (x) = l n (x + 1) - f (x)$ 存在极小值点 $x_{0}$ ，证明： $f (x_{0}) \geq 0$

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36. 已知函数 $f (x) = x + \frac{a}{e^{x}} (a > 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个不相等的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明： $x_{1} + x_{2} > 2 l n a$ ．

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37. 已知函数 $f (x) = a x - e^{x} + \frac{l n x}{a} (a > 0)$ .

(1)、证明：当 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + ∞)$ 上不是单调函数；

(2)、证明：当 $a \in (0 ， e)$ 时， $f (x) < 0$ 对任意的 $x \in (0 ， 1)$ 恒成立.

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38. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{k}{x + 1} (k \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在定义域上具有唯一单调性，求 $k$ 的取值范围；

(2)、当 $x \in (1 ， 2)$ 时，证明： $(2 - x) e^{2 (x - \frac{1}{x})} - 2 x^{2} + x < 0$ .

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39. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} + a x^{2} + 1$ 的图像与直线l： $x + b y + c = 0$ 相切于点 $T (1 ， f (1))$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的图像在点 $M (0 ， f (0))$ 处的切线在x轴上的截距；

(2)、求c与a的函数关系 $c = g (a)$ ；

(3)、当a为函数g（a）的零点时，若对任意 $x \in [- 1 ， 2]$ ，不等式 $f (x) - k x \geq 0$ 恒成立．求实数k的最值．

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40. 已知函数 $f (x) = a l n x - \frac{a^{2}}{x} - x (a > 0)$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $x - y + 1 = 0$ 平行．

(1)、求a的值；

(2)、若 $x \in [1 ， + ∞)$ 时，不等式 $f (x) ≤ (m - 1) x - \frac{(m + 1)}{x}$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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41. 已知函数 $f (x) = s i n x - \frac{x - a}{e^{x}}$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线l与直线 $n ： x - y = 0$ 垂直.

(1)、求切线l的方程；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上零点的个数，并说明理由.

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