压轴题12 导数及其应用（选填题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

试卷更新日期：2023-05-04 类型：三轮冲刺

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设 $a = \frac{10}{11} e^{\frac{1}{11}} ， b = 11 l n 1.1$ ，则（）

A、 $1 < a b < a$ B、 $1 < a b < b$ C、 $a < a b < 1$ D、 $b < a b < 1$

查看试题解析
2. 在 $△ A B C$ 中， $E ， F$ 分别是 $A C ， A B$ 的中点，且 $3 A B = 2 A C$ ，若 $\frac{B E}{C F} < t$ 恒成立，则 $t$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、1 D、 $\frac{5}{4}$

查看试题解析
3. 已知 $a - 4 = l n \frac{a}{4}$ ， $b - 3 = l n \frac{b}{3}$ ， $c - 2 = l n \frac{c}{2}$ ，其中 $a \neq 4$ ， $b \neq 3$ ， $c \neq 2$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

查看试题解析
4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x | l n x | ， x > 0 \\ - x e^{x} ， x < 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - | x^{2} - k x |$ 恰有3个零点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1] \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- ∞ ， - 1) \cup [1 ， + ∞)$

查看试题解析
5. 已知 $a = \frac{3}{301}$ ， $b = \frac{2}{201}$ ， $c = l n \frac{101}{100}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

查看试题解析
6. 已知 $a > b > 0$ ，且 $a l o g_{a} b = b$ ，则 $a$ 的取值范围是（）
（注：选项中的 $e$ 为自然对数的底数）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， e)$ C、 $(0 ， e)$ D、 $(e ， + ∞)$

查看试题解析
7. 已知 $a = e^{0.1}$ ， $b = \frac{11}{10}$ ， $c = \sqrt[10]{1.9}$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > a > c$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = \frac{x - b}{e^{x}}$ ，且 $a = e^{b} = l n c$ ，则（）

A、 $f (a) < f (b) < f (c)$ B、 $f (b) < f (c) < f (a)$ C、 $f (a) < f (c) < f (b)$ D、 $f (c) < f (b) < f (a)$

查看试题解析
9. 设 $a = 1.1$ ， $b = e^{0.1}$ ， $c = \frac{10}{9}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

查看试题解析
10. 已知 $l n x - e^{x} \leq λ x - l n (1 - λ) ， x \in (0 ， + ∞)$ 恒成立，则λ的取值范围是（）

A、 $[1 - e ， + \infty)$ B、 $[1 - e ， 1)$ C、 $[e - 2 ， 1)$ D、 $[0 ， 1)$

查看试题解析
11. 已知实数 $a > 0$ ， $e = 2.718$ …，对任意 $x \in (- 1 ， + \infty)$ ，不等式 $e^{x} ≥ a e [2 + l n (a x + a)]$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e}]$ B、 $[\frac{1}{e} ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{2}{e})$ D、 $(\frac{2}{e} ， 1)$

查看试题解析
12. 若函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2} + a l n x$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $f (x_{2})$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{1 - 2 l n 2}{4} ， 0)$ B、 $(\frac{1 - l n 2}{4} ， 0)$ C、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ D、 $(- \frac{1}{4} ， 0)$

查看试题解析
13. 已知函数 $f (x) = 2 x + l n x + 1 - a$ 和函数 $g (x) = x - \frac{a}{e^{2 x}}$ ，具有相同的零点 $x_{0}$ ，则 $e^{2 x_{0}} l n x_{0}^{2}$ 的值为（）

A、2 B、 $- e$ C、-4 D、 $e^{2}$

查看试题解析
14. 定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f^{'} (x) > 1 - f (x)$ ，且 $f (0) = 6$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则不等式 $e^{x} \cdot f (x) > e^{x} + 5$ （其中e为自然对数的底数）的解集为（）

A、 $(- \infty ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0) ∪ (3 ， + \infty)$ C、 $(0 ， + ∞)$ D、 $(3 ， + \infty)$

查看试题解析
15. 设 $f (x) = a x - | l n x | + 1$ 有三个不同的零点，则a的取值范围是（）

A、 $(0 ， e)$ B、 $(0 ， e^{2})$ C、 $(0 ， \frac{1}{e})$ D、 $(0 ， \frac{1}{e^{2}})$

查看试题解析
16. 已知 $a$ ， $b$ 为正实数，直线 $y = x - a$ 与曲线 $y = l n (x + b)$ 相切，则 $\frac{a^{2}}{2 - b}$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{1}{2})$ D、 $[1$ ， $+ ∞)$

查看试题解析
17. 已知 $a = e^{0.618} - 1$ ， $b = l n 1.618$ ， $c = t a n 0.618$ ，其中e为自然对数的底数，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $a > c > b$

查看试题解析
18. 已知实数a、b、c满足 $l n (l n b) = a = l n c$ ，则a、b、c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $b > c > a$ D、 $a > c > d$

查看试题解析
19. 过点 $(1 ， 2)$ 可作三条直线与曲线 $f (x) = x^{3} - 3 x + a$ 相切，则实数a的取值范围为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(4 ， 5)$

查看试题解析
20. 已知 $a = e - 2$ ， $b = 1 - l n 2$ ， $c = e^{e} - e^{2}$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $a > b > c$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

查看试题解析
21. 设 $a = \frac{1}{3}$ ， $b = e^{s i n \frac{1}{6}} - 1$ ， $c = \frac{4}{3} l n \frac{4}{3}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = 2 + l n x$ ， $g (x) = a \sqrt{x}$ ，若总存在两条不同的直线与函数 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ 图象均相切，则实数a的取值范围为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(1 ， e)$

查看试题解析
23. 设函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的导函数为 $f^{^{'}} (x)$ ， $f (x) + f (- x) = 0$ ，对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (x) f^{'} (x) > x$ ，且 $f (1) = 2$ ，则不等式 $[f (x - 1)]^{2} < x^{2} - 2 x + 4$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $(- \infty ， 1) ∪ (3 ， + \infty)$

查看试题解析
24. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{11}{16} (x + 1) ， - 3 \leq x \leq k ， \\ \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - \frac{11}{8} ， k < x \leq \frac{3}{2} . \end{array}$ 的值域为 $[- \frac{11}{8} ， 2]$ ，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{33}}{4} ， \frac{3}{2}]$ B、 $(\frac{\sqrt{33}}{4} ， \frac{3}{2}]$ C、 $[- 3 ， \frac{\sqrt{33}}{4}]$ D、 $(- 3 ， \frac{\sqrt{33}}{4}]$

查看试题解析
25. 某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，以单次最大续航里程500公里为标准进行测试，且每辆汽车是否达到标准相互独立，设每辆新能源汽车达到标准的概率为p（ $0 < p < 1$ ），当100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率取最大值时，若预测该款新能源汽车的单次最大续航里程为X，且 $X ~ N (500 ， σ^{2})$ ，则预测这款汽车的单次最大续航里程不低于600公里的概率为（）

A、0.2 B、0.3 C、0.6 D、0.8

查看试题解析
26. 若 $\sqrt{1 + 2 a} = e^{b} = \frac{1}{1 - c} = 1.1$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

查看试题解析
27. 若过点 $P (t ， 0)$ 可以作曲线 $y = (1 - x) e^{x}$ 的两条切线，切点分别为 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ ，则 $y_{1} y_{2}$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 4 e^{- 3})$ B、 $(- ∞ ， 0) \cup (0 ， 4 e^{- 3})$ C、 $(- ∞ ， 4 e^{- 2})$ D、 $(- ∞ ， 0) \cup (0 ， 4 e^{- 2})$

查看试题解析
28. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} ， 0 \leq x < 1 \\ 2 x - 2 ， x \geq 1 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - a$ 在区间 $[0 ， + ∞)$ 上有两个零点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则 $(x_{2} - x_{1}) f (x_{1})$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{e}{2} ， e)$ B、 $[\frac{3}{2} ， e)$ C、 $[\frac{e}{2} ， \frac{e^{2}}{2})$ D、 $[\frac{3}{2} ， \frac{e^{2}}{2})$

查看试题解析
29. 已知关于 $x$ 的不等式对任意 $x \in R$ 恒成立，则 $\frac{b}{a}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{e}{2}$ D、 $\frac{e}{4}$

查看试题解析

二、多选题

30. 已知函数 $f (x) = x + 2 - l n (m x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $m > 0$ 时，函数 $f (x)$ 的图象在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线的斜率为 $\frac{1}{2}$ B、当 $m = 1$ 时， $f (x) > 0$ 恒成立 C、当 $m = 1$ 时， $f (e^{x})$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增 D、当 $m = e$ 时， $f (x) = 0$ 有两个零点

查看试题解析
31. 已知 $a b \neq 0$ ，函数 $f (x) = e^{a x} + x^{2} + b x$ ，则（）

A、对任意 $a$ ， $b$ ， $f (x)$ 存在唯一极值点 B、对任意 $a$ ， $b$ ，曲线 $y = f (x)$ 过原点的切线有两条 C、当 $a + b = - 2$ 时， $f (x)$ 存在零点 D、当 $a + b > 0$ 时， $f (| x |)$ 的最小值为1

查看试题解析
32. 已知函数 $f (x) = e^{x} l n (x + 1)$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导数，则（）

A、函数 $y = f^{'} (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增 B、函数 $y = f^{'} (x)$ 有唯一极小值 C、函数 $y = f (x) - x$ 在 $(- 1 ， 0)$ 上有且只有一个零点 $t$ ，且 $t \in (- \frac{1}{2} ， 0)$ D、对于任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x_{1} + x_{2}) > f (x_{1}) + f (x_{2})$ 恒成立

查看试题解析
33. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{s i n x} + c o s x ， x \in (0 ， π)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有一个零点 B、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 有两个极值点 D、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = a$ ，则 $x_{1} + x_{2} < π$

查看试题解析
34. 已知函数 $f (x) = l n x$ ， $g (x) = 2 x$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $F (x) = f (x) g (x)$ ，则 $F^{'} (x) = 2 + 2 l n x$ B、若 $G (x) = f (g (x))$ ，则 $G^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ C、若 $H (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ ，则 $H^{'} (x) = \frac{1 - l n x}{2 x^{2}}$ D、方程 $f (x) = g (x) - 2$ 有唯一实根

查看试题解析
35. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $x^{3} + y^{3} = x - y$ ，则（）

A、 $x + y \geq \sqrt{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} - 1$ B、 $x + y \leq \sqrt{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}$ C、 $x^{2} + y^{2} < 1$ D、 $x^{2} + y^{2} > \frac{1}{2}$

查看试题解析
36. 若过 $y$ 轴上一点 $P (0 ， m)$ 最多可作出 $n (n \in N^{*})$ 条直线与函数 $f (x) = x e^{x}$ 的图象相切，则（）

A、 $n$ 可以取到3 B、 $m + n < 3$ C、当 $n = 1$ 时， $m$ 的取值范围是 $(- \infty ， - \frac{4}{e^{2}})$ D、当 $n = 2$ 时，存在唯一的 $m$ 值

查看试题解析
37. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 (x \geq 0) ， g (x) = a e^{- x} (a > 0)$ ，点 $P ， Q$ 分別在函数 $y = f (x)$ 的 $y = g (x)$ 的图像上， $O$ 为坐标原点，则下列命题正确的是（）

A、若关于 $x$ 的方程 $f (x) - g (x) = 0$ 在 $[0 ， 1]$ 上无解，则 $a > 3 e$ B、存在 $P ， Q$ 关于直线 $y = x$ 对称 C、若存在 $P ， Q$ 关于 $y$ 轴对称，则 $0 < a \leq 2$ D、若存在 $P ， Q$ 满足 $∠ P O Q = 9 0^{∘}$ ，则 $0 < a \leq \frac{1}{2 \sqrt{2} e}$

查看试题解析
38. 已知函数 $f (x) = x l n x + 1 ， g (x) = e^{- x} + a x$ ，若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，则 $a$ 的取值可能是（）

A、e B、e $+ 2$ C、3 D、4

查看试题解析

三、填空题

39. 若对任意正实数x，y都有 $(2 y - \frac{x}{e}) (l n x - l n y) - \frac{y}{m} \leq 0$ ，则实数m的取值范围为.

查看试题解析
40. 已知 $f (x) = | l n x |$ ， $x_{1} ， x_{2}$ 是方程 $f (x) = a$ （ $a \in R$ ）的两根，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $\frac{a}{x_{1} x_{2}^{2}}$ 的最大值是．

查看试题解析
41. 已知函数 $f (x) = m e^{x} - \frac{x^{2}}{4}$ 有两个极值点，则实数 $m$ 的取值范围是.

查看试题解析
42. 已知定义在 $(0 ， + ∞)$ 上的函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{l n 2} - \frac{a}{2} x^{2} + e^{2} x + 1$ 恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是．

查看试题解析
43. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ ，其导函数为 $f^{^{'}} (x)$ ，若 $x f^{'} (x) - 1 < 0$ . $f (e) = 2$ ，则关于x的不等式 $f (e^{x}) < x + 1$ 的解集为.

查看试题解析
44. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x} ， g (x) = - e x^{2} + a x$ （ $e$ 是自然对数的底数），对任意的 $m \in (0 ， + \infty)$ ，存在 $n \in [1 ， 3]$ ，有 $f (m) \leq g (n)$ ，则 $a$ 的取值范围为.

查看试题解析
45. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 3 ， x \leq 0 \\ \frac{e^{x}}{x} ， x > 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} + a f (x) - 1 = 0$ 有3个不同的实数根，则 $a$ 的取值范围为．

查看试题解析
46. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x e^{x - 2} + 4 ， x \geq 0 \\ \sqrt{1 + x^{2}} ， x < 0 \end{array}$ ，点 $M$ 、 $N$ 是函数 $f (x)$ 图象上不同的两个点，则 $t a n ∠ M O N$ （ $O$ 为坐标原点）的取值范围是.

查看试题解析