压轴题11 概率统计（解答题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）-在线组卷题库

1. 为了“锤炼党性修养，筑牢党性根基”，党员教师小A每天自觉登录“学习强国APP”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有30局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2、3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2、3、4名的得1分；后28局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小A每天在第1局四人赛中获得3分、2分、1分的概率分别为

\frac{1}{3}

，

\frac{1}{2}

，

\frac{1}{6}

，在第2局四人赛中获得2分、1分的概率分别为

\frac{1}{3}

，

\frac{2}{3}

.

(1)、设小A每天获得的得分为

X

，求

X

的分布列、数学期望和方差；

(2)、若小A每天赛完30局，设小A在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为

\frac{1}{3}

，每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的30局四人赛中，小A赢得多少局的比赛概率最大？

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2. 2022年底，新冠病毒肆虐全国，很多高三同学也都加入羊羊行列．某校参加某次大型考试时采用了线上考试和线下考试两种形式．现随机抽取200名同学的数学成绩做分析，其中线上人数占40%，线下人数占60%，通过分别统计他们的数学成绩得到了如下两个频率分部直方图：

其中 $(50 ， 70]$ 称为合格， $(70 ， 90]$ 称为中等， $(90 ， 110]$ 称为良好， $(110 ， 130]$ 称为优秀， $(130 ， 150]$ 称为优异．

(1)、根据频率分布直方图，求这200名学生的数学平均分（同一组数据可取该组区间的中点值代替）；

(2)、现从这200名学生中随机抽取一名同学的数学成绩为良好，试分析他是来自线上考试的可能性大，还是来自线下考试的可能性大．

(3)、现从线下考试的学生中随机抽取10名同学，且抽到k个学生的数学成绩为中等的可能性最大，试求k的值．

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3. 为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为

\frac{3}{4}

，各次答题结果互不影响.

(1)、求甲前3次答题得分之和为40分的概率；

(2)、记甲第i次答题所得分数

X_{i} (i \in N^{*})

的数学期望为

E (x_{i})

.

①写出 $E (X_{i - 1})$ 与 $E (x_{i})$ 满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：

②若 $E (x_{i}) > 100$ ，求i的最小值.

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4. 党的二十大胜利召开后，某校为调查性别因素对党史知识的了解情况是否有影响，随机抽查了男女教职工各100名，得到如下数据：

	不了解	了解
女职工	30	70
男职工	20	80

附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$α$	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	6.635	7.879	10.828

(1)、根据小概率值

α = 0.005

的独立性检验，能否认为对党史知识的了解情况与性别有关？

(2)、为了增进全体教职工对党史知识的了解，该校组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中，若第一支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第二支部答题，第二支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第二支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第一支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.

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5. 第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为

\frac{3}{4}

；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为

\frac{4}{5}

和

\frac{5}{8}

；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和

\frac{3}{2} - p

，其中

0 < p < \frac{3}{4}

．

(1)、甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；

(2)、若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为

\frac{29}{72}

，求p的值；

(3)、在（2）的条件下，设进入决赛的人数为

ξ

，求

ξ

的分布列．

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6. 数据显示，中国直播购物规模近几年保持高速增长态势，而直播购物中的商品质量问题逐渐成为人们关注的重点．已知某顾客在直播电商处购买了

n (n \in N_{+})

件商品．

(1)、若

n = 10

，且买到的商品中恰好有2件不合格品，该顾客等可能地依次对商品进行检查．求顾客检查的前4件商品中不合格品件数X的分布列．

(2)、抽检中发现直播电商产品不合格率为0.2．若顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品的概率不小于0.9984，求n的最小值．

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7. 新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n人，每人一份血样，共

n (n \in N^{*})

份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：

方案甲：逐份检验，需要检验n次；

方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有 $k (k \in N^{*} ， k \geq 2)$ 份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为 $k + 1$ ．

假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为 $p (0 < p < 1)$ ．

(1)、若

n = 5

，

p = 0.2

，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；

(2)、记

ζ

为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数．

①当 $k = 5$ ， $p = 0.2$ 时，求 $E (ζ)$ ；

②从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据： ${0.8}^{4} = 0.41 ， {0.8}^{5} = 0.33 ， {0.8}^{6} = 0.26$ ）

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8. 某中学开展劳动实习，学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子元件．已知学生加工出的每个电子元件正常工作的概率都是

p (0 < p < 1)

，且各个电子元件正常工作的事件相互独立．现要检测

k (k \in N^{*})

个这样的电子元件，并将它们串联成元件组进行筛选检测，若检测出元件组正常工作，则认为这

k

个电子元件均正常工作；若检测出元件组不能正常工作，则认为这

k

个电子元件中必有一个或多个电子元件不能正常工作，须再对这

k

个电子元件进行逐一检测．

(1)、记对电子元件总的检测次数为

X

，求

X

的概率分布和数学期望；

(2)、若不对生产出的电子元件进行筛选检测，将它们随机组装进电子系统中，不考虑组装时带来的影响．已知该系统配置有

2 n - 1 (n \in N^{*})

个电子元件，如果系统中有多于一半的电子元件正常工作，该系统就能正常工作．将系统正常工作的概率称为系统的可靠性，现为了改善该系统的性能，拟向系统中增加两个电子元件．记当系统配置

2 n - 1 (n \in N^{*})

个电子元件时，系统正常工作的概率为

P_{2 n - 1}

．我们认为当

P_{2 n + 1} - P_{2 n - 1} > 0

时，增加两个电子元件提高了该系统的可靠性．

①若 $n = 1 ， p$ 满足什么条件时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性？

②对于 $\forall n \in N^{*} ， p$ 满足什么条件时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性？

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9. 《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.根据宪法制定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛､竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，若答对题数合计不少于3题，则称这个小组为“优秀小组”.已知甲乙两位同学组成一组，且甲、乙同学答对每道题的概率分别为

P_{1}

，

P_{2}

.

(1)、若

P_{1} = \frac{2}{3}

，

P_{2} = \frac{1}{2}

，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；

(2)、当

P_{1} + P_{2} = \frac{4}{3}

，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中获得“优秀小组”的次数为6次，请问至少要进行多少轮竞赛.

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10. 随着互联网的快速发展和应用，越来越多的人开始选择网上购买产品和服务．某网购平台为提高2022年的销售额，组织网店开展“秒杀”抢购活动，甲，乙，丙三人计划在该购物平台分别参加

A ， B ， C

三家网店各一个订单的“秒杀”抢购，已知三人在

A ， B ， C

三家网店订单“秒杀”成功的概率均为

p

，三人是否抢购成功互不影响．记三人抢购到的订单总数为随机变量

Z

．

(1)、求

Z

的分布列及

E (Z)

；

(2)、已知每个订单由

k (k \geq 2 ， k \in N^{*})

件商品构成，记三人抢购到的商品总数量为

T

，假设

p = \frac{1}{k} - \frac{k - 1}{2^{k}}

，求

E (T)

取最小值时正整数

k

的值．

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11. 人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0~25分贝，并规定测试值在区间

[0 ， 5)

内为非常优秀，测试值在区间

[5 ， 10)

内为优秀某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成如图所示的频率分布直方图．

(1)、现从测试值在

[0 ， 10)

内的同学中随机抽取4人，记听力非常优秀的同学人数为X，求X的分布列与均值；

(2)、现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发音情况不同，由强到弱的次序分别为1，2，3，4．测试前将音又随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号

a_{1}

，

a_{2}

，

a_{3}

，

a_{4}

，记

Y = | 1 - a_{1} | + | 2 - a_{2} | + | 3 - a_{3} | + | 4 - a_{4} |

（其中

a_{1}

，

a_{2}

，

a_{3}

，

a_{4}

的值等于音叉的正确序号），可用Y描述两次排序的偏离程度，求

Y \leq 2

的概率．

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12. 已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．

(1)、如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测．已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是

\frac{1}{2}

，在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确答案的概率．

(2)、假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为

\frac{1}{2}

，选择两个选项的概率为

\frac{1}{3}

，选择三个选项的概率为

\frac{1}{6}

．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记

X

表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求：

（i） $P (X = 0)$ ；

（ii） $X$ 的分布列及数学期望．

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13. 2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为

\frac{1}{3}

；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中

\frac{1}{3} < p < \frac{1}{2}

．

(1)、若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？

(2)、为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望

E (X)

的取值范围．

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14. 北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运会.南京青奥会后，第三次举办的奥运赛事，为助力冬奥，进一步增强群众的法治意识.提高群众奥运法律知识水平和文明素质，让法治精神携手冬奥走进千家万户.某市有关部门在该市市民中开展了“迎接冬奥·法治同行”主题法治宣传教育活动.该活动采取线上线下相结合的方式，线上有“知识大闯关”冬奥法律知识普及类趣味答题，线下有“冬奥普法”知识讲座，实现“冬奥+普法”的全新模式.其中线上“知识大闯关”答题环节共计30个题目，每个题目2分，满分60分，现在从参与作答“知识大闯关”题目的市民中随机抽取1000名市民，将他们的作答成绩分成6组：

[0 ， 10) ， [10 ， 20) ， [20 ， 30) ， [30 ， 40) ， [40 ， 50) ， [50 ， 60]

.并绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)、请估计被抽取的1000名市民作答成货的平均数和中位数；

(2)、视频率为概率.现从所有参与“知识大闯关”活动的市民中随机取20名，调查其掌握各类冬奥法律知识的情况.记k名市民的成绩在

[40 ， 60]

的概率为

P (X = k)

，

k = 0 ， 1 ， 2

， …，20.请估计这20名市民的作答成绩在

[40 ， 60]

的人数为多少时

P (X = k)

最大？并说明理由.

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15. 甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的冠军.比赛采取三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束，且该选手夺得冠军.根据两人以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为

\frac{3}{5}

，

\frac{2}{5}

，且每局比赛的结果相互独立.

(1)、求甲夺得冠军的概率；

(2)、比赛开始前，工作人员买来一盒新球，共有6个.新球在一局比赛中使用后成为“旧球”，“旧球”再在一局比赛中使用后成为“废球”.每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，如果这颗球成为废球，则直接丢弃，否则裁判员将其放回盒中.记甲、乙决出冠军后，盒内新球的数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望.

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16. 某厂生产

A ， B

两种产品，对两种产品的某项指标进行检测，现各抽取100件产品作为样本，其指标值的频率分布直方图如图所示：以该项指标作为衡量产品质量的标准，该项指标划分等级和收益率如下表，其中

\frac{1}{5} < p < \frac{1}{4}

．

（注：收益率 $= \frac{利润}{总投资额}$ ）

等级	一等品	二等品	三等品
指标值 $m$	$m \geq 140$	$120 \leq m < 140$	$m < 120$
产品收益率	$p$	$4 p^{2}$	$p^{2}$

(1)、求

a

的值；

(2)、将频率分布直方图中的频率近似看作概率，用样本估计总体．

①从产品 $B$ 中随机抽取3件，求其中一等品件数 $X$ 的分布列及数学期望；

②在总投资额相同的情况下，若全部投资产品 $A$ 或产品 $B$ ，试分析投资哪种产品收益更大．

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17. 某次围棋比赛的决赛，由甲乙两人争夺最后的冠军，决赛先进行两天，每天实行三盘两胜制，即先赢两盘者获得该天胜利，此时该天比赛结束．若甲乙中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天双方各赢一天，则第三天只进行一盘附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每盘比赛甲获胜的概率为

p (0 < p < 1)

，每盘比赛的结果没有平局且结果互相独立．

(1)、记第一天需要进行的比赛盘数为X．

（ⅰ）求 $E (X)$ ，并求当 $E (X)$ 取最大值时p的值；

（ⅱ）结合实际，谈谈（ⅰ）中结论的意义；

(2)、当

p = \frac{1}{2}

时，记总共进行的比赛盘数为Y，求

P (Y \leq 5)

．

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18. 在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段，到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4335万贫困人口全部脱贫，这是我国脱贫攻坚史上的一大壮举．重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利脱贫摘帽，因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手．奉节县规划发展了以高山烟叶、药材、反季节蔬菜；中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色农产品已经成为了当地村民的摇钱树．尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名．为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持．奉节县种植的某品种脐橙果实按果径X（单位：mm）的大小分级，其中

X \in (70 ， 90]

为一级果，

X \in (90 ， 110]

为特级果，一级果与特级果统称为优品．现采摘了一大批此品种脐橙果实，从中随机抽取1000个测量果径，得到频率分布直方图如下：

参考数据：若随机变量X服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) \leq 0.9973$ ．

(1)、由频率分布直方图可认为，该品种脐橙果实的果径X服从正态分布

N (μ ， σ^{2})

，其中μ近似为样本平均数

\bar{x}

，

σ

近似为样本标准差s，已知样本的方差的近似值为100．若从这批脐橙果实中任取一个，求取到的果实为优品的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）

(2)、这批采摘的脐橙按2个特级果和n（

n \geq 2

，且

n \in N^{*}

）个一级果为一箱的规格进行包装，再经过质检方可进入市场．质检员质检时从每箱中随机取出两个果实进行检验，若取到的两个果实等级相同，则该箱脐橙记为“同”，否则该箱脐橙记为“异”．

①试用含n的代数式表示抽检的某箱脐橙被记为“异”的概率p；

②设抽检的5箱脐橙中恰有3箱被记为“异”的概率为 $f (p)$ ，求函数 $f (p)$ 的最大值，及取最大值时n的值．

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19. 某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为100万件的生产线.已知该产品的质量以某项指标值k为衡量标准，为估算其经济效益，该厂先进行了试生产，并从中随机抽取了100件该产品，统计了每个产品的质量指标值k，并分成以下5组，其统计结果如下表所示：

质量指标值	$[5 ， 6)$	$[6 ， 7)$	$[7 ， 8)$	$[8 ， 9)$	$[9 ， 10]$
频数	16	30	40	10	4

试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题：（注：每组数据取区间的中点值）

(1)、由频率分布表可认为，该产品的质量指标值k近似地服从正态分布

N (μ ， σ^{2})

，其中

μ

近似为样本平均数

x

，

σ

近似为样本的标准差s，并已求得

s \approx 0.82

，记X表示某天从生产线上随机抽取的10件产品中质量指标值k在区间

(5.42 ， 7.88]

之外的个数，求

P (X = 1)

及X的数学期望（精确到0.001）；

(2)、已知每个产品的质量指标值k与利润y（单位：万元）的关系如下表所示

t \in (6 ， 7)

质量指标值k	$[5 ， 6)$	$[6 ， 7)$	$[7 ， 8)$	$[8 ， 9)$	$[9 ， 10]$
利润y	$5 t$	$3 t$	$2 t$	t	$- 5 t^{2}$

假定该厂所生产的该产品都能销售出去，且这一年的总投资为500万元，问：该厂能否在一年之内通过销售该产品收回投资？试说明理由.

参考数据：若随机变量 $Z ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z \leq μ + σ) = 0.6827 ， P (μ - 2 σ < Z \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < Z \leq μ + 3 σ) = 0.9973 ， 0.818 6^{9} \approx 0.1651$ .

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20. 某种疾病可分为

Ι

、

Ⅱ

两种类型.为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的2倍，男性患

Ⅰ

型病的人数占男性病人的

\frac{5}{6}

，女性患

Ⅰ

型病的人数占女性病人的

\frac{1}{3}

.

(1)、若在犯错误的概率不超过

0.005

的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？

(2)、某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多安排2个接种周期进行试验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为

p (0 < p < 1)

，每人每次接种花费

m (m > 0)

元，每个周期至多接种3次，第一个周期连续2次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期：第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则需依次接种至至试验结束：乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为

q (0 < q < 1)

，每人每次花费

n (n > 0)

元，每个周期接种3次，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期，假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.当

n = \frac{2}{3} m

，

p = q

时，从两个团队试验的平均花费考虑，试证明该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.01	0.005	0.001
k₀	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

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21. 在医学上，为了加快对流行性病毒的检测速度，常采用“混检”的方法：随机的将若干人的核酸样本混在一起进行检测，若检测结果呈阴性，则认定该组每份样本均为阴性，无需再检测；若检测结果呈阳性，则还需对该组的每份样本逐个重新检测，以确定每份样本是否为阳性.设某流行性病毒的感染率为

p

.

(1)、若

p = 0.005

，混检时每组10人，求每组检测次数的期望值；

(2)、混检分组的方法有两种：每组10人或30人.试问这两种分组方法的优越性与

p

的值是否有关？

(参考数据： ${0.995}^{10} \approx 0.9511$ ， ${0.995}^{30} \approx 0.8604$ )

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22. 某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n﹣1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修．

(1)、当

n = 2 ， p = \frac{1}{2}

时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设

ξ

为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求

ξ

的分布列与数学期望；

(2)、为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？

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23. 某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组.游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，已知甲乙两名队员投进篮球的概率为别为

p_{1}

，

p_{2}

.

(1)、若

p_{1} = \frac{3}{4}

，

p_{2} = \frac{2}{3}

，则在第一轮游戏他们获“神投小组”的概率；

(2)、若

p_{1} + p_{2} = \frac{4}{3}

，则在游戏中，甲乙两名队员想要获得“神投小组”的称号16次，则理论上他们小组要进行多少轮游戏才行？并求此时

p_{1}

，

p_{2}

的值.

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24. 十三届全国人大常委会第二十次会议审议通过的《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度．某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3题，被称为“优秀小组”，已知甲乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分为

p_{1}

，

p_{2}

．

p_{1} = \frac{3}{4} p_{1}

(1)、若

p_{1} = \frac{3}{4}

，

p_{2} = \frac{2}{3}

，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；

(2)、当

p_{1} + p_{2} = \frac{6}{5}

，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中要想获得“优秀小组”的次数为9次，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？

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25. 某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由

2 k - 1 (k \in N_{+})

个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为

p (0 < p < 1)

，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于

k

个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为

p_{k}

（例如：

p_{2}

表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；

p_{3}

表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．

(1)、若每个元件正常工作的概率

p = \frac{2}{3}

．

（i）当 $k = 2$ 时，求控制系统中正常工作的元件个数 $X$ 的分布列和期望；

（ii）计算 $p_{3}$ ．

(2)、已知设备升级前，单位时间的产量为

a

件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为

\frac{1}{4}

，每件高端产品的利润是2元．请用

p_{k}

表示出设备升级后单位时间内的利润

y

（单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．

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26. 某病毒在进入人体后有潜伏期，患者在潜伏期内无任何症状，但已具传染性.假设一位病毒携带者在潜伏期内每天有n位密接者，每位密接者被感染的概率为p，

参考数据： $\ln 2 \approx 0.6931$ ， $\ln 3 \approx 1.0986$ ， $\ln 4 \approx 1.3863$ ， $\ln 5 \approx 1.6094$ ， $\ln 6 \approx 1.7918$ .

(1)、若

n = 3

，

p = \frac{1}{3}

，求一天内被一位病毒携带者直接感染人数X的分布列和均值：

(2)、某定点医院为筛查某些人员是否感染此病毒，需要检测血液样本是否为阳性，有以下两种检验方式：

①逐份检验，即k份血液样本需要检验k次；

②混合检验，即将k份（ $k \in N *$ 且 $k \geq 2$ ）血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这k份血液样本全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了：如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液样本究竟哪份为阳性，就要对k份血液样本再逐份检验，此时这k份血液样本的检验次数为k+1次.

假设样本的检验结果相互独立，且每份样本检验结果是阳性的概率为 $p = 1 - \frac{1}{\sqrt[3]{e}}$ ，为使混合检验需要的检验的总次数 $ς$ 的期望值比逐份检验的总次数 $η$ 的期望值更少，求k的取值范围.

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27. 2020年5月27日，中央文明办明确规定，在2020年全国文明城市测评指标中不将马路市场､流动商贩列为文明城市测评考核内容.6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.其中套圈游戏凭借其趣味性和挑战性深受广大市民的欢迎，现有甲､乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点A ， B两点处进行套圈，已知甲在A ， B两点的命中率均为

\frac{1}{3}

，乙在A点的命中率为

p (\frac{1}{2} \leq p < 1)

，在B点的命中率为

2 p - 1

，且他们每次套圈互不影响.

(1)、若甲在A处套圈4次，求甲至少命中2次的概率；

(2)、若甲和乙每人在A ， B两点各套圈一次，且在A点命中计2分，在B点命中计3分，未命中则计0分，设甲的得分为

X

，乙的得分为

Y

，写出

X

和

Y

的分布列和期望；

(3)、在（2）的条件下，若

E (X) > E (Y)

，求

p

的取值范围

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28. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以

\frac{1}{2}

的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.

(1)、如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；

(2)、小红､小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动.小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为

ξ

元，其中

ξ = | 16 - 4 m |

.小明改进了高尔顿板(如图2)，首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有

\frac{1}{3}

的概率向左，

\frac{2}{3}

的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，……，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为

η

元，其中

η = {(n - 4)}^{2}

.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由.

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29. 运用计算机编程，设计一个将输入的正整数

k

“归零”的程序如下：按下回车键，等可能的将

[0, k)

中的任意一个整数替换

k

的值并输出

k

的值，反复按回车键执行以上操作直到输出

k = 0

后终止操作.

(1)、若输入的初始值

k

为3，记按回车键的次数为

ξ

，求

ξ

的概率分布与数学期望；

(2)、设输入的初始值为

k (k \in N^{*})

，求运行“归零”程序中输出

n (0 \leq n \leq k - 1)

的概率.

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30. 已知正三角形

A B C

，某同学从

A

点开始，用擦骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于3，则按顺时针方向移动.设掷骰子

n

次时，棋子移动到

A

，

B

，

C

处的概率分别为：

P_{n} (A)

，

P_{n} (B)

，

P_{n} (C)

，例如：掷骰子一次时，棋子移动到

A

，

B

，

C

处的概率分别为

P_{1} (A) = 0

，

P_{1} (B) = \frac{1}{2}

，

P_{1} (C) = \frac{1}{2}

(1)、掷骰子三次时，求棋子分别移动到

A

，

B

，

C

处的概率

P_{3} (A)

，

P_{3} (B)

，

P_{3} (C)

；

(2)、记

P_{n} (A) = a_{n}

，

P_{n} (B) = b_{n}

，

P_{n} (C) = c_{n}

，其中

a_{n} + b_{n} + c_{n} = 1

，

b_{n} = c_{n}

，求

a_{8}

.

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压轴题11 概率统计（解答题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

一、解答题