压轴题10 概率统计（选填题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

试卷更新日期：2023-05-04 类型：三轮冲刺

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一、单选题

1. 某校大一新生A，B，C，D欲加入该校的文学社、书法社、羽毛球社．已知这4名大一新生每人只加入了1个社团，则这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有（）

A、21种 B、30种 C、42种 D、60种

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2. “回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有（）

A、100个 B、125个 C、225个 D、250个

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3. 已知甲盒子中有3个红球，1个白球，乙盒子中有2个红球，2个白球，同时从甲，乙两个盒子中取出i个球进行交换，交换后，分别记甲、乙两个盒中红球个数 $ξ_{i} ， η_{i} (i = 1 ， 2)$ ，则（）

A、 $E (ξ_{1}) = E (η_{1})$ B、 $E (ξ_{1}) < E (η_{1})$ C、 $E (ξ_{2}) = E (η_{2})$ D、 $E (ξ_{2}) < E (η_{2})$

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4. 如图，两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为r的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切.已知 $R = \sqrt{2} ， r = 2 - \sqrt{2}$ 时，在两相交大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为（）

A、 $\frac{4 - π}{3 π + 2}$ B、 $\frac{π - 2}{4 π}$ C、 $\frac{π - 2}{3 π + 2}$ D、 $\frac{π - 1}{3 π + 2}$

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5. 已知直线 $a x + b y + c = 0$ 的斜率大于零，其系数a、b、c是取自集合 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ 中的3个不同元素，那么这样的不重合直线的条数是（）

A、11 B、12 C、13 D、14

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6. 《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某学习小组有甲、乙、丙三人，该小组要收集九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分配方案种数有（）

A、38 B、56 C、62 D、80

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7. 已知 ${(x + \frac{a}{x^{2}})}^{6}$ 展开式的常数项的取值范围为 $[135 ， 240]$ ，且 $x^{2} + a \ln x \geq (a + 2) x$ 恒成立.则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- 4 ， - 3] \cup [3 ， 4]$ B、 $[- 4 ， - 1] \cup [3 ， 4]$ C、 $[1 ， 4]$ D、 $[- 4 ， - 3]$

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8. 设复数 $z = (x - 1) + y i$ （ $x ， y \in R$ ，i为虚数单位），若 $| z | \leq 1$ ，则 $y \geq \sqrt{3} x$ 的概率为（）

A、 $\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4 π}$ B、 $\frac{5}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4 π}$ C、 $\frac{5}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4 π}$ D、 $\frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4 π}$

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二、多选题

9. 已知 $s i n 15 °$ 是函数 $f (x) = a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} (a_{4} ， a_{3} ， a_{2} ， a_{1} ， a_{0} \in Z ， a_{4} \neq 0)$ 的零点，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{a_{4}}{a_{0}} = 16$ B、 $f (c o s 15 °) = 0$ C、 $f (- x) = f (x)$ D、 $f {(x)}_{m i n} = - 3$

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10. 甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛 $2 n (n \in N^{*})$ 局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为 $\frac{1}{2} .$ 如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为 $P (n)$ ，则（）

A、 $p (2) = \frac{5}{16}$ B、 $p (3) = \frac{11}{16}$ C、 $p (n) = \frac{1}{2} (1 - \frac{C_{2 n}^{n}}{2^{2 n}})$ D、 $p (n)$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$

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11. 已知 $(2 - x)^{8} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{8} x^{8}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 2^{8}$ B、 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{8} = 1$ C、 $| a_{1} | + | a_{2} | + | a_{3} | + ⋯ + | a_{8} | = 3^{8}$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + ⋯ + 8 a_{8} = - 8$

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12. 若数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = (- 1)^{n - 1}$ ，记在数列 ${a_{n}}$ 的前 $n + 2 (n \in N^{*})$ 项中任取两项都是正数的概率为 $P_{n}$ ，则（）

A、 $P_{1} = \frac{1}{3}$ B、 $P_{2 n} < P_{2 n + 2}$ C、 $P_{2 n - 1} < P_{2 n}$ D、 $P_{2 n - 1} + P_{2 n} < P_{2 n + 1} + P_{2 n + 2}$ .

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13. 已知 $n \in N^{*}$ ， $n \geq 2, p + q ＝ 1,$ 设 $f (k) = C_{2 n}^{k} p^{k} q^{2 n - k}$ ，其中 $k \in N, k \leq 2 n,$ 则（）

A、 $\sum_{k = 0}^{2 n} f (k) = 1$ B、 $\sum_{k = 0}^{2 n} k f (k) = 2 n p q$ C、若 $n p ＝ 4$ ，则 $f (k) \leq f (8)$ D、 $\sum_{k = 0}^{n} f (2 k) < \frac{1}{2} < \sum_{k = 1}^{n} f (2 k - 1)$

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三、填空题

14. 有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n站的概率为 $P_{n}$ ，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则 $P_{3} =$ ；该棋手获胜的概率为．

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15. 设非空集合 $Q \subseteq M$ ，当 $Q$ 中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称 $Q$ 是 $M$ 的偶子集，若集合 $M = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7}$ ，则其偶子集 $Q$ 的个数为.

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16. 四名志愿者参加某博览会三天的活动，若每人参加一天，每天至少有一人参加，其中志愿者甲第一天不能参加，则不同的安排方法一共有种（结果用数值表示）

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17. 如图，在 $3 \times 3$ 的点阵中，依次随机地选出 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三个点，则选出的三点满足 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} < 0$ 的概率是．

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18. 2013年国家提出“一带一路”发展战略，共建“一带一路”致力于亚欧非大陆及附近海洋的互联互通，建立和加强沿线各国互联互通伙伴关系，构建全方位､多层次､复合型的互联互通伙伴关系，实现沿线各国多元､自主､平衡､可持续的发展，为积极响应国家号召，中国的5家企业，对“一带一路”沿线的3个国家进行投资，每个国家至少一个企业，则有种不同的方案.

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19. 现有A、B、C、D、E、F6个不同的货柜，准备用甲、乙、丙三辆卡车一次运送出去，每台卡车至少运一个货柜，则不同的分配方案的种数为.设卡车甲运送货柜的数量为随机变量X，则期望 $E (X) =$ .

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20. 某校 $13$ 名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共 $9$ 种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式，可以 $2$ 人一组或者 $3$ 人一组.如果 $2$ 人一组，则必须角色相同；如果 $3$ 人一组，则 $3$ 人角色相同或者 $3$ 人为级别连续的 $3$ 个不同角色.已知这 $13$ 名学生扮演的角色有 $3$ 名士兵和 $3$ 名司令，其余角色各 $1$ 人，现在新加入 $1$ 名学生，将这 $14$ 名学生分成 $5$ 组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为.

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21. 已知 ${(1 + x)}^{6} - {(2 + x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots \dots + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{6} =$ ， $| a_{0} | + | a_{1} | + | a_{2} | + \dots \dots + | a_{5} | + | a_{6} | =$ .

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22. 已知六个函数：① $y = \frac{1}{x^{2}}$ ；② $y = \cos x$ ；③ $y = x^{\frac{1}{2}}$ ；④ $y = \arcsin x$ ；⑤ $y = \lg (\frac{1 + x}{1 - x})$ ；⑥ $y = x + 1$ ，从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有种.

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23. 记 $a, b, c, d, e, f$ 为 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 的任意一个排列，则 $(a + b) (c + d) (e + f)$ 为偶数的排列的个数共有.

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