压轴题09 解析几何（解答题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

试卷更新日期：2023-05-04 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3 a^{2}} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，且 $F_{2}$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过 $C$ 的左顶点且不与 $x$ 轴重合的直线交 $C$ 的右支于点 $B$ ，交直线 $x = \frac{1}{2}$ 于点 $P$ ，过 $F_{1}$ 作 $P F_{2}$ 的平行线，交直线 $B F_{2}$ 于点 $Q$ ，证明： $Q$ 在定圆上.

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2. 已知过点 $P (2 ， 0)$ 的直线 $l_{1}$ 与双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的左右两支分别交于 $A$ 、 $B$ 两点.

(1)、求直线 $l_{1}$ 的斜率 $k$ 的取值范围；

(2)、设点 $Q (x_{0} ， y_{0})$ $(x_{0}^{2} \neq 2 y_{0}^{2})$ ，过点 $Q$ 且与直线 $l_{1}$ 垂直的直线 $l_{2}$ ，与双曲线 $C$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点.当直线 $l_{1}$ 变化时， $\frac{1}{| P A | \cdot | P B |} - \frac{1}{| Q M | \cdot | Q N |}$ 恒为一定值，求点 $Q$ 的轨迹方程.

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3. 如果曲线 $y = f (x)$ 存在相互垂直的两条切线，称函数 $y = f (x)$ 是“正交函数”．已知 $f (x) = x^{2} + a x + 2 l n x$ ，设曲线 $y = f (x)$ 在点 $M (x_{0} ， f (x_{0}))$ 处的切线为 $l_{1}$ ．

(1)、当 $f^{'} (1) = 0$ 时，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $a = - 8$ ， $x_{0} = 8$ 时，是否存在直线 $l_{2}$ 满足 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，且 $l_{2}$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切？请说明理由；

(3)、当 $a \geq - 5$ 时，如果函数 $y = f (x)$ 是“正交函数”，求满足要求的实数 $a$ 的集合 $D$ ；若对任意 $a \in D$ ，曲线 $y = f (x)$ 都不存在与 $l_{1}$ 垂直的切线 $l_{2}$ ，求 $x_{0}$ 的取值范围．

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4. 已知O为坐标原点，曲线 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 和曲线 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 有公共点，直线 $l_{1}$ ： $y = k_{1} x + b_{1}$ 与曲线 $C_{1}$ 的左支相交于A、B两点，线段AB的中点为M．

(1)、若曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 有且仅有两个公共点，求曲线 $C_{1}$ 的离心率和渐近线方程；

(2)、若直线OM经过曲线 $C_{2}$ 上的点 $T (\sqrt{2} ， - 1)$ ，且 $a^{2}$ 为正整数，求a的值；

(3)、若直线 $l_{2}$ ： $y = k_{2} x + b_{2}$ 与曲线 $C_{2}$ 相交于C、D两点，且直线OM经过线段CD中点N，求证： $k_{1}^{2} + k_{2}^{2} > 1$ ．

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5. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 分别为椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的三个顶点， $F (c ， 0)$ 为其右焦点，直线 $A B$ 与直线 $C F$ 相交于点 $T$ .

(1)、若点 $T$ 在直线 $l ： x = \frac{a^{2}}{c}$ 上，求椭圆 $E$ 的离心率；

(2)、设直线 $C F$ 与椭圆 $E$ 的另一个交点为 $D$ ， $M$ 是线段 $C D$ 的中点，椭圆 $E$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，试探究 $\frac{| T M |}{| C D |}$ 的值是否为定值（与 $a$ ， $b$ 无关）.若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

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6. 已知 $A$ ， $B$ 是双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的左､右顶点， $M$ 为双曲线上与 $A$ ， $B$ 不重合的点.

(1)、设直线 $M A$ ， $M B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $k_{1} \cdot k_{2}$ 是定值；

(2)、设直线 $l ： x = 1$ 与直线 $M A$ 交于点 $P$ ， $l$ 与 $x$ 轴交于点 $S$ ，点 $Q$ 满足 $\vec{Q S} = 2 \vec{S P}$ ，直线 $B Q$ 与双曲线 $E$ 交于点 $N$ （与 $A$ ， $B$ ， $M$ 不重合）.判断直线 $M N$ 是否过定点，若直线 $M N$ 过定点，求出该定点坐标；若直线 $M N$ 不过定点，请说明理由.

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7. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4，且离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $y = k x + m$ 与椭圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点， $O$ 为坐标原点，直线 $O M$ ， $O N$ 的斜率之积等于 $- 1$ ，求 $△ O M N$ 的面积的取值范围．

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8. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0) ， F$ 为其焦点，点 $M (2 ， y_{0})$ 在 $C$ 上，且 $S_{△ O F M} = 4$ （ $O$ 为坐标原点）.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若 $A ， B$ 是 $C$ 上异于点 $O$ 的两个动点，当 $∠ A O B = 9 0^{∘}$ 时，过点 $O$ 作 $O N ⊥ A B$ 于，问平面内是否存在一个定点 $Q$ ，使得 $| N Q |$ 为定值？若存在，请求出定点 $Q$ 及该定值：若不存在，请说明理由.

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9. 已知曲线 $M ： x^{2} = 4 y$ 与曲线N关于直线 $y = x$ 对称，且 $△ A_{1} A_{2} A_{3}$ 的顶点在曲线N上．

(1)、若 $△ A_{1} A_{2} A_{3}$ 为正三角形，且其中一个顶点为坐标原点，求此时该三角形的面积；

(2)、若 $△ A_{1} A_{2} A_{3}$ 三边所在的三条直线中，有两条与曲线M相切，求证第三条直线也与曲线M相切．

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10. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率与双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的离心率互为倒数，点 $A (2 ， 2)$ 在椭圆C上，不过点A的直线l与椭圆C交于P，Q两点．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若直线AP，AQ的斜率之和为1，试问直线l是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过定点，请说明理由．

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11. 已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线 $M A$ 与直线 $y = x$ 垂直，A为垂足且位于第一象限，直线 $M B$ 与直线 $y = - x$ 垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形 $O A M B$ （O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.

(1)、求轨迹C的方程；

(2)、已知 $T (5 ， 3)$ 是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线 $T P$ ， $T Q$ 的斜率之和为1， $t a n ∠ P T Q = 1$ ，求 $△ T P Q$ 的面积.

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12. 如图，已知 $E (m ， n)$ 为抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 内一定点，过E作斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的两条直线，与抛物线交于 $A ， B ， C ， D$ ，且 $M ， N$ 分别是线段 $A B ， C D$ 的中点．

(1)、若 $m = 0$ 且 $k_{1} k_{2} = - 1$ 时，求 $△ E M N$ 面积的最小值；

(2)、若 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} = λ (λ \neq 0)$ ，证明：直线 $M N$ 过定点．

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13. 椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，且椭圆C过点 $(- 2 ， 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若点 $M (x_{1} ， y_{1})$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > n > 0)$ 上任一点，那么椭圆在点M处的切线方程为 $\frac{x_{1} x}{m^{2}} + \frac{y_{1} y}{n^{2}} = 1$ ．已知 $N (x_{0} ， y_{0})$ 是（1）中椭圆C上除顶点之外的任一点，椭圆C在N点处的切线和过N点垂直于切线的直线分别与y轴交于点P、Q．求证：点P、N、Q、 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 在同一圆上．

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14. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ ，设过点 $A (1 ， 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，交直线 $x = 4$ 于点 $P$ ，点 $E$ 为直线 $x = 1$ 上不同于点A的任意一点.

(1)、若 $| A M | \geq 1$ ，求 $b$ 的取值范围；

(2)、若 $b = 1$ ，记直线 $E M$ ， $E N$ ， $E P$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，问是否存在 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ 的某种排列 $k_{i 1}$ ， $k_{i 2}$ ， $k_{i 3}$ （其中 ${i_{1} ， i_{2} ， i_{3}} = {1 ， 2 ， 3}$ ，使得 $k_{i 1}$ ， $k_{i 2}$ ， $k_{i 3}$ 成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由.

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15. 已知 $F$ 是抛物线 $E ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，点 $M$ 在抛物线 $E$ 上， $| M F | = 2$ ，以 $M F$ 为直径的圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于点 $N$ ，且 $| M N | = | N F |$ ．

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、 $P$ 是直线 $y = - 4$ 上的动点，过点 $P$ 作抛物线 $E$ 的切线，切点分别为 $A ， B$ ，证明：直线 $A B$ 过定点，并求出定点坐标．

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16. 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ ，双曲线 $C_{2}$ 是椭圆 $C_{1}$ 的“姊妺”圆锥曲线， $e_{1} ， e_{2}$ 分别为 $C_{1} ， C_{2}$ 的离心率，且 $e_{1} e_{2} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ ，点 $M ， N$ 分别为椭圆 $C_{1}$ 的左､右顶点.

(1)、求双曲线 $C_{2}$ 的方程；

(2)、设过点 $G (4 ， 0)$ 的动直线 $l$ 交双曲线 $C_{2}$ 右支于 $A ， B$ 两点，若直线 $A M ， B N$ 的斜率分别为 $k_{A M} ， k_{B N}$ .
（i）试探究 $k_{A M}$ 与 $k_{B N}$ 的比值 $\frac{k_{A M}}{k_{B N}}$ 是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）求 $w = k_{A M}^{2} + \frac{2}{3} k_{B N}$ 的取值范围.

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17. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，以C的短轴为直径的圆与直线 $y = a x + 6$ 相切.

(1)、求C的方程；

(2)、直线 $l$ ： $y = k (x - 1) (k \geq 0)$ 与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为 $k^{'}$ （O为坐标原点），△APQ的面积为 $S_{1}$ . $△ B P Q$ 的面积为 $S_{2}$ ，若 $| A P | \cdot S_{2} = | B P | \cdot S_{1}$ ，判断 $k \cdot k^{'}$ 是否为定值？并说明理由.

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18. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} ＝ 1$ （a＞b＞0）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，过F₁的直线l交C丁A．B两点．当l⊥x轴时，△ABF₂的面积为3．

(1)、求C的方程；

(2)、是否存在定圆E，使其与以AB为直径的圆内切？若存在，求出所有满足条件的圆E的方程；若不存在，请说明理由．

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19. 已知椭圆 $C$ 的中心为坐标原点 $O$ ，对称轴为 $x$ 轴、 $y$ 轴，且点 $(\sqrt{3} ， 2 \sqrt{2})$ 和点 $(\sqrt{6} ， 2)$ 在椭圆 $C$ 上，椭圆的左顶点与抛物线 $Γ ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 的距离为 $4$ .

(1)、求椭圆 $C$ 和抛物线 $Γ$ 的方程；

(2)、直线 $l ： y = k x + m (k \neq 0)$ 与抛物线 $Γ$ 变于 $P ， Q$ 两点，与椭圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点.
（ⅰ）若 $m = k$ ，抛物线 $Γ$ 在点 $P ， Q$ 处的切线交于点 $S$ ，求证： $| P F | \cdot {| S Q |}^{2} = | Q F | \cdot {| S P |}^{2}$ ；
（ⅱ）若 $m = - 2 k$ ，是否存在定点 $T (x_{0} ， 0)$ ，使得直线 $M T ， N T$ 的倾斜角互补?若存在，求出 $x_{0}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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20. 已知直线 $y = \frac{1}{2} x - 1$ 与抛物线 $C ： x^{2} = - 2 p y (p > 0)$ 交于 $M (x_{M} ， y_{M})$ ， $N (x_{N} ， y_{N})$ 两点，且 $(x_{M} + 1) (x_{N} + 1) = - 8 .$

(1)、求 $C$ 的方程 $.$

(2)、若直线 $y = k x - \frac{3}{2} (k \neq 0)$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，点 $A$ 与点 $A^{'}$ 关于 $y$ 轴对称，试问直线 $A^{'} B$ 是否过定点？若过定点，求定点的坐标；若不过定点，说明理由 $.$

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于 $8 \sqrt{2}$ .动直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 都过点 $M (0 ， m) (0 < m < 1)$ ，斜率分别为k、 $- 3 k$ ， $l_{1}$ 与椭圆C交于点A、P， $l_{2}$ 与椭圆C交于点B、Q，点P、Q分别在第一、四象限且 $P Q ⊥ x$ 轴.

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ 与x轴交于点N，求证： $| N P | = 2 | M N |$ ；

(3)、求直线AB的斜率的最小值，并求直线AB的斜率取最小值时的直线 $l_{1}$ 的方程.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左顶点为 $A$ ，点 $D (1 ， \frac{3}{2})$ 是椭圆 $C$ 上一点，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 过椭圆右焦点 $F_{2}$ 且与椭圆交于 $P$ 、 $Q$ 两点，直线 $A P$ 、 $A Q$ 与直线 $x = 4$ 分别交于 $M$ ， $N$ ．
①求证： $M$ ， $N$ 两点的纵坐标之积为定值；
②求 $△ A M N$ 面积的最小值．

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23. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，它的四个顶点构成的四边形的面积为4．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设过点 $M (m ， 0)$ 的直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切且与椭圆 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $| A B |$ 的最大值．

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24. 已知P为抛物线E： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上任意一点，过点P作 $P Q ⊥ y$ 轴，垂足为O，点 $C (7 ， 8)$ 在抛物线上方（如图所示），且 $| P C | + | P Q |$ 的最小值为9．

(1)、求E的方程；

(2)、若直线 $y = x + m (m \neq 0)$ 与抛物线E相交于不同的两点A，B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，且 $△ A B N$ 为等边三角形，求m的值．

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25. 在平面内，动点M（x，y）与定点F（2，0）的距离和它到定直线 $l ： x = \frac{1}{2}$ 的距离比是常数2.

(1)、求动点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、若直线 $m$ 与动点 $M$ 的轨迹交于P，Q两点，且 $O P ⊥ O Q$ （ $O$ 为坐标原点），求 $| O P |^{2} + | O Q |^{2}$ 的最小值.

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26. 如图，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0) ， F_{2} (\sqrt{3} ， 0) ， A$ 为椭圆 $C$ 上一点， $△ F_{1} A F_{2}$ 的面积最大值为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $B ､ D$ 分别为椭圆 $C$ 的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P ､ Q$ （ $P$ 在上方， $Q$ 在下方，且均不与 $B ， D$ 点重合）两点，直线 $P B ， Q D$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，且 $k_{2} = - 3 k_{1}$ ，求 $△ P B Q$ 面积的最大值.

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27. 如图，已知 $F (1 ， 0)$ ，直线l： $x = - 1$ ， P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且 $\vec{Q P} \cdot \vec{Q F} = \vec{F P} \cdot \vec{F Q}$ ．

(1)、求动点P的轨迹C的方程；

(2)、过点F的直线与轨迹C交于A，B两点，与直线l交于点M，设 $\vec{M A} = λ_{1} \vec{A F}$ ， $\vec{M B} = λ_{2} \vec{B F}$ ，证明 $λ_{1} + λ_{2}$ 定值，并求 $| λ_{1} λ_{2} |$ 的取值范围．

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28. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点为 $F (3 ， 0)$ ， F到其中一条渐近线的距离为2.

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线 $x = \frac{5}{3}$ 于点M，
（i）求 $\frac{| A F | \cdot | B M |}{| A M | \cdot | B F |}$ 的值；
（ii）过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明： $| M P | = | P Q |$ .

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29. 已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 与直线l： $y = k x - 3$ 相交于A、B两点，M为线段AB的中点．

(1)、当k变化时，求点M的轨迹方程；

(2)、若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

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30. 已知动圆 $M$ 经过定点 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0)$ ，且与圆 $F_{2}$ ： ${(x - \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = 16$ 内切.

(1)、求动圆圆心 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、设轨迹 $C$ 与 $x$ 轴从左到右的交点为点 $A ， B$ ，点 $P$ 为轨迹 $C$ 上异于 $A ， B$ 的动点，设 $P B$ 交直线 $x = 4$ 于点 $T$ ，连结 $A T$ 交轨迹 $C$ 于点 $Q$ .直线 $A P$ ､ $A Q$ 的斜率分别为 $k_{A P}$ ､ $k_{A Q}$ .
（i）求证： $k_{A P} \cdot k_{A Q}$ 为定值；
（ii）证明直线 $P Q$ 经过 $x$ 轴上的定点，并求出该定点的坐标.

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31. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ ，点 $A (1 ， 2)$ 在C上，A关于动点 $T (t ， 0) (t < 3)$ 的对称点记为M，过M的直线l与C交于 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ ， M为P，Q的中点．

(1)、当直线l过坐标原点O时，求 $△ A P Q$ 外接圆的标准方程；

(2)、求 $△ A P Q$ 面积的最大值．

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32. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，过左焦点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点.当 $P Q ⊥ x$ 轴时， $| P A | = \sqrt{10}$ ， $△ P A Q$ 的面积为3.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、证明：以 $P Q$ 为直径的圆经过定点.

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33. 已知半圆 $O$ 的直径 $A B = 2$ ，点 $C$ 为圆弧上一点（异于点 $A ， B$ ），过点 $C$ 作 $A B$ 的垂线，垂足为 $D$ .

(1)、若 $A C = \sqrt{3}$ ，求 $△ A C D$ 的面积；

(2)、求 $\frac{| A C | + | C D |}{| A C | + | A D |}$ 的取值范围.

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34. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，过原点 $O$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，若 $| P F_{1} | = 3 | Q F_{1} |$ ，且 $\cos ∠ P F_{1} Q = - \frac{1}{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的离心率；

(2)、椭圆 $C$ 的上顶点为 $D (0 ， 2)$ ，不过 $D$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，线段 $A B$ 的中点为 $M$ ，若 $∠ A M D = 2 ∠ A B D$ ，试问直线 $l$ 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由

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