压轴题08 解析几何（选填题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

试卷更新日期：2023-05-04 类型：三轮冲刺

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一、单选题

1. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ．椭圆 $C$ 在第一象限存在点 $M$ ，使得 $| M F_{1} | = | F_{1} F_{2} |$ ，直线 $F_{1} M$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，且 $F_{2} A$ 是 $∠ M F_{2} F_{1}$ 的角平分线，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

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2. 德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点 $A$ ， $B$ 是 $∠ M O N$ 的 $O N$ 边上的两个定点， $C$ 是 $O M$ 边上的一个动点，当 $C$ 在何处时， $∠ A C B$ 最大？问题的答案是：当且仅当 $△ A B C$ 的外接圆与边 $O M$ 相切于点 $C$ 时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点 $D$ ， $E$ 的坐标分别是 $(0 ， 1)$ ， $(0 ， m)$ ， $F$ 是 $x$ 轴正半轴上的一动点.若 $∠ D F E$ 的最大值为 $\frac{π}{6}$ ，则实数 $m$ 的值可以为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、3 D、4

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3. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，直线 $y = k x (k > 0)$ 与双曲线 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点，且 $∠ P F_{1} Q = \frac{2 π}{3}$ ， $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{F_{1} Q} = 4$ ，则当 $\frac{1}{2} a^{2} + \frac{b^{2}}{a^{2}}$ 取得最小值时，双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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4. 已知 $P$ 是离心率为 $2$ 的双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{m} = 1 (m > 0)$ 的右支上一点，则 $P$ 到直线 $12 x - 5 y = 0$ 的距离与 $P$ 到点 $A (- 2 ， 0)$ 的距离之和的最小值为（）

A、 $\frac{50}{13}$ B、 $\frac{42}{13}$ C、 $\frac{64}{13}$ D、 $\frac{24}{13}$

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5. 已知正三角形 $A B C$ 的边长为6， $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ， $λ \in [0 ， 1]$ ， $μ \in [0 ， 1]$ 且 $3 λ + 4 μ = 2$ ，则点 $P$ 到直线 $B C$ 距离的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、3 C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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6. 已知抛物线 $C$ 的顶点为坐标原点 $O$ ，焦点 $F$ 在 $x$ 轴上，过点 $(2 ， 0)$ 的直线交 $C$ 于 $P ， Q$ 两点，且 $O P ⊥ O Q$ ，线段 $P Q$ 的中点为 $M$ ，则直线 $M F$ 的斜率的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的右焦点为F，左顶点为A，过F的直线交双曲线C于P、Q两点，连接 $A P$ 、 $A Q$ ，分别与直线 $x = m$ 交于M、N两点，若 $M F ⊥ N F$ ，则 $m =$ （）

A、21 B、9 C、21或 $\frac{9}{5}$ D、21或9

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8. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线与 $x$ 轴的交点为 $P$ ，过点 $F$ 的直线与 $C$ 交于A， $B$ 两点，且 $| A B | = \frac{25}{4}$ ，设直线 $P A$ 的斜率为 $k$ ，则 $| k | =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、2

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9. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 以 $F_{1} ， F_{2}$ 为左右焦点，点P、Q在椭圆上，且 $P Q$ 过右焦点 $F_{2}$ ， $Q F_{1} ⊥ Q P$ ，若 $s i n ∠ F_{1} P Q = \frac{5}{13}$ ，则该椭圆离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{26}}{26}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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10. 已知 $F$ 为抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点，点 $P_{n} (x_{n} ， y_{n}) (n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯)$ 在抛物线上.若 $| P_{n + 1} F | - | P_{n} F | = 1$ ，则（）

A、 ${x_{n}}$ 是等差数列 B、 ${x_{n}}$ 是等比数列 C、 ${y_{n}}$ 是等差数列 D、 ${y_{n}}$ 是等比数列

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11. 已知曲线 $C$ 的方程为 $\sqrt{| x |} + \sqrt{| y |} = 1$ ，直线 $l$ 的方程为 $y = - x + a$ ．当直线 $l$ 与曲线 $C$ 有两个交点时，实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}) ∪ {- 1 ， 1}$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(- \sqrt{2} ， \sqrt{2})$

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12. 已知直线l： $x + y + m = 0$ 和圆C： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，若存在三点A，B，D，其中点A在直线l上，点B和D在圆C上，使得四边形ABCD是正方形，则实数m的取值范围是（）

A、 $[- \sqrt{2} - 1 ， \sqrt{2} - 1]$ B、 $[1 - \sqrt{2} ， 1 + \sqrt{2}]$ C、 $[- 3 ， 1]$ D、 $[- 1 ， 3]$

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13. 中心在坐标原点O的椭圆的上顶点为A，左顶点为B，左焦点为F．已知 $∠ B A F = ∠ F A O$ ，记该椭圆的离心率为e，则（）

A、 $0 < e < \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4} < e < \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3} < e < \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2} < e < 1$

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14. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D ， A P = 2$ ，点M是矩形 $A B C D$ 内（含边界）的动点，且 $A B = 1 ， A D = 3$ ，直线 $P M$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ．记点M的轨迹长度为 $α$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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15. 已知 $M$ ， $N$ 为圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 0$ 上两点，且 $| M N | = 4$ ，点 $P$ 在直线 $l$ ： $x - y + 3 = 0$ 上，则 $| \vec{P M} + \vec{P N} |$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} - 2$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2} + 2$ D、 $2 \sqrt{2} - \sqrt{5}$

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16. 实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $y_{1}$ ， $y_{2}$ 满足： $x_{1}^{2} - l n x_{1} - y_{1} = 0$ ， $x_{2} - y_{2} - 4 = 0$ ，则 ${(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}$ 的最小值为（）

A、0 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、8

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17. 已知点 $P$ 是双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上的动点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为其左，右焦点， $O$ 为坐标原点.则 $\frac{| P F_{1} | + | P F_{2} |}{| O P |}$ 的最大值是（）

A、7 B、6 C、5 D、4

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18. 平面直角坐标系中有两点 $O_{1} (- 1 ， 0)$ 和 $O_{2} (1 ， 0)$ ，以 $O_{1}$ 为圆心，正整数i为半径的圆记为 $A_{i}$ ，以O₂为圆心，正整数j为半径的圆记为 $B_{j}$ .对于正整数 $k$ （ $1 \leq k \leq 5$ ），点 $P_{k}$ 是圆 $A_{k}$ 与圆 $B_{k + 1}$ 的交点，且 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$ ， $P_{5}$ 都位于第二象限，则这5个点都在同一（）

A、直线上 B、椭圆上 C、抛物线上 D、双曲线上

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19. 已知，点P是抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点 $M (3 ， 4)$ ，则 $| P M | + | P N |$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{5} - 1$ B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $\sqrt{5} + 1$ D、 $2 \sqrt{5} + 1$

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20. 已知双曲线 $C$ 的一条渐近线为直线 $\sqrt{3} x - y = 0$ ， $C$ 的右顶点坐标为 $(1 ， 0)$ ．若点 $M (x_{M} ， y_{M})$ 是双曲线 $C$ 右支上的动点，点 $A$ 的坐标为 $(3 ， 5)$ ，则 $| M A | + 2 x_{M}$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{26} - 1$ B、 $\sqrt{26}$ C、 $\sqrt{26} + 1$ D、 $\sqrt{26} + 2$

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21. 已知直线 $k x - y + 2 k = 0$ 与直线 $x + k y - 2 = 0$ 相交于点P，点 $A (4 ， 0)$ ， O为坐标原点，则 $t a n ∠ O A P$ 的最大值为（）

A、 $2 - \sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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二、多选题

22. 设抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 焦点为 $F$ ，点 $D$ 为抛物线 $C$ 准线上的点，经过点 $P (m ， 0)$ 的动直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于不同的两点 $A ， B$ ，其中坐标原点为 $O$ ，则（）

A、若 $m = 1$ ，则 $∠ A D B > 9 0^{∘}$ B、若 $m = 3$ ，则 $∠ A D B < 9 0^{∘}$ C、若 $m = 3$ ，则 $∠ A F B > 9 0^{∘}$ D、若 $m = 4$ ，则 $∠ A O B = 9 0^{∘}$

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23. 已知 $A$ 、 $B$ 为抛物线 $y = x^{2}$ 上两点，以 $A$ ， $B$ 为切点的抛物线的两条切线交于点 $P$ ，设以 $A$ ， $B$ 为切点的抛物线的切线斜率为 $k_{A}$ ， $k_{B}$ ，过 $A$ ， $B$ 的直线斜率为 $k_{A B}$ ，则以下结论正确的有（）

A、 $k_{A}$ ， $k_{A B}$ ， $k_{B}$ 成等差数列； B、若点 $P$ 的横坐标为 $\frac{1}{2}$ ，则 $k_{A B} = \frac{1}{2}$ ； C、若点 $P$ 在抛物线的准线上，则 $△ A B P$ 不是直角三角形； D、若点 $P$ 在直线 $y = 2 x - 2$ 上，则直线 $A B$ 恒过定点；

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24. 已知点 $M (0 ， - 2)$ ， $N (1 ， - 1)$ ，且点 $P$ 在圆 $C ： x^{2} - 4 x + y^{2} = 0$ 上， $C$ 为圆心，则下列结论正确的是（）

A、直线 $M N$ 与圆 $C$ 相交所得的弦长为4 B、 $| P M | - | P N |$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ C、 $△ P M N$ 的面积的最大值为2 D、当 $∠ P M N$ 最大时， $△ P M N$ 的面积为1

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25. 设双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F ， M (0 ， 3 b)$ ，若直线 $l$ 与 $E$ 的右支交于 $A ， B$ 两点，且 $F$ 为 $△ M A B$ 的重心，则（）

A、 $E$ 的离心率的取值范围为 $(\frac{\sqrt{13}}{3} ， \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3} ， + ∞)$ B、 $E$ 的离心率的取值范围为 $(\frac{2 \sqrt{13}}{7} ， \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3} ， + ∞)$ C、直线 $l$ 斜率的取值范围为 $(- ∞ ， - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6} ， - \frac{2 \sqrt{13}}{9})$ D、直线 $l$ 斜率的取值范围为 $(- ∞ ， - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6} ， - \frac{2 \sqrt{13}}{3})$

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26. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $E (0 ， b)$ ， $A (m ， n)$ 为椭圆C上一点， $m \neq 0$ ，点 $B ， A$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $E A ， E B$ 分别与 $x$ 轴交于 $M ， N$ 两点，则（）

A、 $| A E |$ 的最大值为 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ B、直线 $E A ， E B$ 的斜率乘积为定值 C、若 $y$ 轴上存在点 $P$ ，使得 $∠ M P O = ∠ P N O$ ，则 $P$ 的坐标为 $(0 ， a)$ 或 $(0 ， - a)$ D、直线 $A N$ 过定点

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27. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $M (- 2 ， 0)$ ， $N (2 ， 0)$ ，动点P满足 $| P M | \cdot | P N | = 5$ ，则下列结论正确的是（）

A、点 $P$ 的横坐标的取值范围是 $[- \sqrt{5} ， \sqrt{5}]$ B、 $| O P |$ 的取值范围是 $[1 ， 3]$ C、 $△ P M N$ 面积的最大值为 $\frac{5}{2}$ D、 $| P M | + | P N |$ 的取值范围是 $[2 \sqrt{5} ， 5]$

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28. 已知双曲线 $E ： x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过点 $C (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 的直线 $l$ 与双曲线 $E$ 的左､右两支分别交于 $P$ 、 $Q$ 两点，下列命题正确的有（）

A、当点 $C$ 为线段 $P Q$ 的中点时，直线 $l$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ B、若 $A (- 1 ， 0)$ ，则 $∠ Q F_{2} A = 2 ∠ Q A F_{2}$ C、 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | > {| P O |}^{2}$ D、若直线 $l$ 的斜率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，且 $B (0 ， \sqrt{3})$ ，则 $| P F_{1} | + | Q F_{1} | = | P B | + | Q B |$

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29. 如图，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 2$ ，动点P满足 $\vec{A P} = a \vec{A C} + b \vec{A A_{1}}$ ，且 $a ， b \in (0 ， 1)$ .则下列说法正确的是（）

A、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，直线 $A C ⊥$ 平面 $B P B_{1}$ B、当 $a + b = 1$ 时， $P B + P B_{1}$ 的最小值为 $\sqrt{6}$ C、若直线 $B P$ 与 $B D$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，则动点P的轨迹长为 $\frac{\sqrt{2}}{2} π$ D、当 $a + 2 b = 1$ 时，三棱锥 $P - A B C$ 外接球半径的取值范围是 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$

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30. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 x$ 的准线为 $l$ ，直线 $x = m y + n$ 与C相交于A、B两点，M为AB的中点，则（）

A、当 $n = \frac{1}{2}$ 时，以AB为直径的圆与 $l$ 相交 B、当 $n = 2$ 时，以AB为直径的圆经过原点O C、当 $| A B | = 4$ 时，点M到 $l$ 的距离的最小值为2 D、当 $| A B | = 1$ 时，点M到 $l$ 的距离无最小值

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31. 已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，以该抛物线上三点 $A ， B ， C$ 为切点的切线分别是 $l_{1} ， l_{2} ， l_{3}$ ，直线 $l_{1} ， l_{2}$ 相交于点 $D ， l_{3}$ 与 $l_{1} ， l_{2}$ 分别相交于点 $P ， Q$ .记 $A ， B ， D$ 的横坐标分别为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，则（）

A、 $\vec{D A} \cdot \vec{D B} = 0$ B、 $x_{1} + x_{2} = 2 x_{3}$ C、 $| A F | \cdot | B F | = | D F |^{2}$ D、 $| A P | \cdot | C Q | = | P C | \cdot | P D |$

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三、填空题

32. 已知抛物线 $C_{1}$ ： $y^{2} = 8 x$ ，圆 $C_{2}$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ ，点M的坐标为 $(4 ， 0)$ ， P、Q分别为 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 上的动点，且满足 $| P M | = | P Q |$ ，则点P的横坐标的取值范围是．

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33. 过点 $O (0 ， 0)$ 作直线与圆 $(x - 4 \sqrt{5})^{2} + (y - 8)^{2} = 169$ 相交，则在弦长为整数的所有直线中，等可能的任取一条直线，则弦长长度不超过14的概率为.

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34. 已知曲线 $C_{1} ： y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 与曲线 $C_{2} ： y = \sqrt{2 - x^{2}}$ ，长度为1的线段AB的两端点A、B分别在曲线 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 上沿顺时针方向运动，若点A从点 $(- 1 ， 0)$ 开始运动，点B到达点 $(\sqrt{2} ， 0)$ 时停止运动，则线段AB所扫过的区域的面积为.

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35. 已知AB为圆C： ${(x - 2)}^{2} + {(y - m)}^{2} = 3$ 的一条弦，M为线段AB的中点．若 $C M^{2} + O M^{2} = 3$ （O为坐标原点），则实数m的取值范围是．

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36. 已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线 $P F_{1}$ 与 $y$ 轴交于Q点．若 $A Q / / P F_{2}$ ，则双曲线E的离心率的取值范围为．

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37. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过坐标原点 $O$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于A，B两点.在 $△ A F B$ 中， $∠ A F B = 120 °$ ，且满足 $S_{△ A F B} \geq \frac{1}{2} a c$ ，则椭圆 $C$ 的离心率 $e$ 的取值范围为.

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