压轴题07 立体几何（解答题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

试卷更新日期：2023-05-04 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 如图，在多面体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} / / B B_{1} / / C C_{1}$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 为等边三角形， $A_{1} B_{1} = B B_{1} = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， $C C_{1} = 1$ ，点 $M$ 是 $A C$ 的中点．

(1)、若点 $G$ 是 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的重心，证明；点 $G$ 在平面 $B B_{1} M$ 内；

(2)、求二面角 $B_{1} - B M - C_{1}$ 的正弦值．

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2. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是梯形， $A B / / C D$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $C D = 2 A B = 2 A D = 2$ ，侧面 $S C D$ 是等边三角形，侧面 $S B C$ 是等腰直角三角形， $S B = B C$ .

(1)、求证： $S B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $P$ 是棱 $S C$ 上的一点，且 $S A / /$ 平面 $P B D$ .求平面 $P B D$ 与平面 $A B C D$ 所成二面角的余弦值.

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3. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为平行四边形，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ ， $P B = 2 P C = 2$ ， $A B = A P$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $B P$ ， $A D$ 的中点，且 $P C ⊥ M N$ ．

(1)、证明： $P C ⊥ A D$ ；

(2)、若 $△ A B P$ 为等边三角形，求直线 $M N$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值．

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4. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $P A = A D = C D = 2$ ， $B C = 3$ ， E为 $P D$ 的中点，F在 $P C$ 上，满足 $E F ⊥ P C$ .

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求二面角 $B - A F - C$ 的余弦值.

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5. 如图，在多面体ABCDEF中，A，B，C，D四点共面， $A B = A C = A F = C E = 2$ ， $A F ∥ C E$ ， AF⊥平面ABCD， $D E^{2} + D F^{2} = 12$ ．

(1)、求证：CD⊥平面ADF；

(2)、若 $A D = C D$ ， $A B ⊥ A C$ ，求平面 $B E F$ 和平面 $D E F$ 的夹角的余弦值．

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6. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，点M为棱 $A A_{1}$ 的中点，P，Q分别为棱 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ 上的点，且 $B_{1} P = C Q = 1$ ， PQ交 $B C_{1}$ 于点N．

(1)、求证： $M N / /$ 平面ABCD；

(2)、求多面体 $B D M P Q$ 的体积．

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7. 如图，在四棱锥 $P - O A B C$ 中，已知 $O A = O P = 1$ ， $C P = 2$ ， $A B = 4$ ， $∠ C P O = \frac{π}{3}$ ， $∠ A B C = \frac{π}{6}$ ， $∠ A O C = \frac{π}{2}$ ， $E$ 为 $P B$ 中点， $F$ 为 $A B$ 中点.

(1)、证明：平面 $C E F / /$ 平面 $P A O$ ；

(2)、若 $P A = \sqrt{3}$ ，求平面 $P O C$ 与平面 $P A B$ 所成夹角的余弦值.

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8. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = 1$ ， $A C = \sqrt{2}$ ， E为线段 $B B_{1}$ 的中点.

(1)、证明：平面 $E A C_{1} ⊥$ 平面 $A A_{1} C C_{1}$ ；

(2)、若二面角 $A_{1} - A E - C_{1}$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求 $A A_{1}$ 的长.

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9. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P C D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D ⊥ C D$ ， $E$ 为 $P C$ 中点，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A B / / C D$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $A B = A D = P D = 1$ ， $C D = 2$ ．

(1)、求证： $B E / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(3)、设 $Q$ 为棱 $P C$ 上一点， $\vec{P Q} = λ \vec{P C}$ ，试确定 $λ$ 的值使得二面角 $Q - B D - P$ 为 $45 °$ ．

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10. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $D D_{1} = 4$ ， E，F分别是 $C C_{1} ， B_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $A_{1} F$ ∥平面 $A E D_{1}$ ；

(2)、设H在棱 $B B_{1}$ 上，且 $B H = \frac{1}{4} B B_{1}$ ， N为 $C D$ 的中点，求证： $N H ⊥$ 平面 $A E D_{1}$ ；并求直线 $A N$ 与平面 $A E D_{1}$ 所成角的正弦值．

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11. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $A B / / C D$ ， $A B = 2 C D = 4$ ， $A D = B C = \sqrt{2}$ ， $△ P A B$ 是斜边为 $A P$ 的等腰直角三角形．

(1)、若 $P C = 3 \sqrt{2}$ 时，求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $P C = \sqrt{22}$ 时，求直线 $P D$ 与平面 $A B C D$ 所成的角的正弦值．

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12. 已知底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何体如图所示.

(1)、若 $C E ⊥ B G$ ，求证： $F G ⊥ B G$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ， $∠ D A B = 6 0^{°}$ ，三棱锥GACD的体积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，直线AF与底面ABCD所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求锐二面角 $A - E C - B$ 的余弦值.

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13. 如图，多面体 $A B C D E F$ 的底面 $A B C D$ 是平行四边形， $F A ⊥$ 底面 $A B C D ， 2 E F = F A = A B = A D = 1$ ，平面 $A B E F \cap$ 平面 $C D F E = E F$ ．

(1)、证明： $A B / / E F$ ；

(2)、若直线 $A C$ 与平面 $D E F$ 所成的角为 $30 °$ ，求该多面体的体积．

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14. 如图，D为圆锥的顶点， $O$ 是圆锥底面的圆心，AE为底面直径， $A E = A D$ ， $△ A B C$ 是底面的内接正三角形，且 $D O = 6$ ， P是线段 $D O$ 上一点．

(1)、若 $P A ⊥$ 平面 $P B C$ ，求 $P O$ ；

(2)、当 $P O$ 为何值时，直线 $E P$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值最大？

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15. 如图，四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 6 0^{∘}$ ， $A B = 2$ ，平面 $A B E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E F / / A B$ ， $∠ B A F = 9 0^{∘}$ ， $A F = E F = 1$ ，点 $P$ 在线段 $C E$ 上（不包含端点）．

(1)、求证： $B D ⊥ F C$ ；

(2)、是否存在点 $P$ ，使得二面角 $P - A B - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ？若存在，则求出 $\frac{E P}{P C}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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16. 如图在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = A C = B C = 12 ， ∠ A_{1} A C = 60 °$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ，点M，N分别为 $A_{1} B ， B C$ 的中点，点D为线段 $A C$ 上一点，且 $A D = \frac{1}{3} A C$ ．

(1)、求证： $A M / /$ 平面 $A_{1} D N$ ；

(2)、求二面角 $M - A N - C$ 的正弦值．

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17. 如图，已知直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 为正方形， $A B = B C = 2$ ， D，E，F分别为 $A C$ ， $B C$ ， $B_{1} B$ 的中点， $C_{1} F ⊥ A_{1} B_{1}$ ， G为线段 $D E$ 上一动点.

(1)、证明： $C_{1} F ⊥ A_{1} G$ ；

(2)、求二面角 $C_{1} - A_{1} G - B_{1}$ 的余弦值的最大值.

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18. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，F是PC的中点．

(1)、证明： $P A / /$ 平面BDF；

(2)、若 $∠ B A D = 60 °$ ， $A B = A D = 2$ ， $P A = P D = 4$ ， $P B = 3 \sqrt{2}$ ，求平面BFP与平面PAD所成二面角的正弦值．

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19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，PD＝AD，PD⊥平面ABCD，M为BC中点， $\vec{P N} = λ \vec{P B} (0 < λ < 1)$ ．

(1)、求证：平面DMN⊥平面PAD；

(2)、当 $λ$ 取何值时，二面角B－DN－M的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ．

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20. 如图，线段AC是圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的点， $A C = 2$ ， $B C = 1$ ， PA⊥底面ABC，M是PB上的动点，且 $\vec{P M} = λ \vec{P B} (0 < λ < 1)$ ， N是PC的中点．

(1)、若 $λ = \frac{1}{2}$ 时，记平面AMN与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PBC的位置关系，并加以证明；

(2)、若平面PBC与平面ABC所成的角为 $\frac{π}{4}$ ，点M到平面PAC的距离是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $λ$ 的值．

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21. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F分别是棱 $A A_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点，过点 $D_{1}$ 作出正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的截面，使得该截面平行于平面 $B E F$ ．

(1)、作出该截面与正方体表面的交线，并说明理由；

(2)、求 $B D_{1}$ 与该截面所在平面所成角的正弦值．
（截面：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形．）

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22. 如图所示，C为半圆锥顶点，O为圆锥底面圆心，BD为底面直径，A为弧BD中点． $△ B C D$ 是边长为2的等边三角形，弦AD上点E使得二面角 $E - B C - D$ 的大小为30°，且 $\vec{A E} = t \vec{A D}$ ．

(1)、求t的值；

(2)、对于平面ACD内的动点P总有 $O P / /$ 平面BEC，请指出P的轨迹，并说明该轨迹上任意点P都使得 $O P / /$ 平面BEC的理由．

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23. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P B D ⊥$ 平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形， $A B$ ∥ $D C$ ， $A B = 2 C D = 4$ ， $B C = \sqrt{10}$ ， $P C = \sqrt{6}$ ， $P B = 2$ ．

(1)、求证： $P D ⊥ A C$ ；

(2)、求直线CA与平面PBC所成角的正弦值．

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24. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 是正三角形， $O_{1}$ 是其中心，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 是正方形， $O_{2}$ 是其中心．
（Ⅰ）判断直线 $O_{1} O_{2}$ 与直线 $A A_{1}$ 的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）若四面体 $A_{1} A B C$ 是正四面体，求平面 $B C C_{1} B_{1}$ 与平面 $A B C$ 所成锐二面角的余弦值．

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25. 如图，在四面体ABCD中， $A B = A D$ ， $B C = C D$ ， E为BD的中点，F为AC上一点.

(1)、求证：平面 $A C E ⊥$ 平面BDF；

(2)、若 $∠ B C D = 90 °$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $A C = \sqrt{3} B C$ ，求直线BF与平面ACD所成角的正弦值的最大值.

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26. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形， $∠ D A B = 60 °$ ， $△ P A D$ 为等边三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD，F为AB的中点．

(1)、求证： $P B ⊥ A D$ ；

(2)、求直线 $D B$ 与平面 $P D F$ 所成角的正弦值．

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27. 在四棱锥 $M - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $△ A D M$ 是等边三角形， $B D ⊥ M A$ .

(1)、证明： $B M = B A$ ；

(2)、若 $B M ⊥ B A$ ， $B D = A D = 2$ ，求二面角 $B - M C - D$ 的正弦值.

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28. 如图，一个半圆柱的轴截面为矩形 $A B C D$ ，点 $E$ 在上底面上，连接 $A E$ ， $B E$ .

(1)、证明： $C E ⊥ A E$ ；

(2)、若 $A D = 3$ ， $A B = 2$ ， $∠ D C E = 30 °$ ，求直线 $C E$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值.

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29. 如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是矩形，P为棱 $A_{1} B_{1}$ 上一点.且 $P A = P B$ ， F为 $C D$ 的中点.

(1)、证明： $A B ⊥ P F$ ；

(2)、若 $A B = A D = P D = 2$ .当直线PB与平面 $P C D$ 所成的角为 $45 °$ ，且二面角 $P - C D - A$ 的平面角为锐角时.求三棱锥 $B - A P D$ 的体积.

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30. 如图，多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为4的菱形， $∠ B A D = 60 ° ， A E = E D = \sqrt{7}$ ，平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C D ， C F ⊥$ 平面 $A B C D ， C F = \sqrt{3}$ ．

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $E - A F - C$ 的正弦值．

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31. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C = C C_{1}$ ， D，E分别为BC， $C C_{1}$ 的中点， $A_{1} C ⊥ B E$ ， ∠ABC=60°.

(1)、证明： $A_{1} C$ $∥$ 平面 $A B_{1} D$ ；

(2)、求二面角D-AE-B的余弦值.

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32. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ A B C$ 是正三角形，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B D ⊥ C D$ ，点 $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $D C$ 的中点.

(1)、证明：平面 $A C D ⊥$ 平面 $A E F$ ；

(2)、若 $∠ B C D = 60 °$ ，点 $G$ 是线段 $B D$ 上的动点，问：点 $G$ 运动到何处时，平面 $A E G$ 与平面 $A C D$ 所成的锐二面角最小.

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33. 在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D = 6 0^{∘}$ ， $A B = \frac{1}{2} A A_{1} = 2$ ， $E$ 、 $F$ 分别是线段 $A A_{1}$ 、 $C_{1} D_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $B D ⊥ C E$ ；

(2)、求平面 $A B C D$ 与平面 $C E F$ 所成锐二面角的余弦值.

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34. 如图， $A B C D$ 为圆柱 $O O^{'}$ 的轴截面， $E F$ 是圆柱上异于 $A D$ ， $B C$ 的母线.

(1)、证明： $B E ⊥$ 平面DEF；

(2)、若 $A B = B C = 2$ ，当三棱锥 $B - D E F$ 的体积最大时，求二面角 $B - D F - E$ 的余弦值.

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35. 如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ B D$ ， $A C ∩ B D = O$ ， $O D = O B = 1$ ， $O C = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $A D$ 上的点， $E F / / B D$ ， $A C ∩ E F = H$ ， $A H = 2$ ， $H O = 1$ .将 $△ A E F$ 沿 $E F$ 折起到 $△ A_{1} E F$ 的位置，得到五棱锥 $A_{1} - B C D F E$ ，如图2.

(1)、求证： $E F ⊥$ 平面 $A_{1} H C$ ；

(2)、若平面 $A_{1} E F ⊥$ 平面 $B C D F E$ ，
（i）求二面角 $D - A_{1} C - H$ 的余弦值；
（ii）对线段 $A_{1} F$ 上任意一点 $N$ ，求证：直线 $B N$ 与平面 $A_{1} D C$ 相交.

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36. 已知四棱锥 $A - B C E F$ 中， $B F / / C E$ ， $C E ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $M$ 为 $A E$ 三等分点（靠近 $A$ 点）， $A B = B C = C E = 3$ ， $B F = 1$ ， $A C = 3 \sqrt{3}$ .

(1)、求证： $F M / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求二面角 $M - F B - A$ 的余弦值.

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