压轴题06 立体几何（选填题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

试卷更新日期：2023-05-04 类型：三轮冲刺

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一、单选题

1. 已知等腰直角 $△ A B C$ 的斜边 $A B = \sqrt{2} ， M ， N$ 分别为 $A C ， A B$ 上的动点，将 $△ A M N$ 沿 $M N$ 折起，使点 $A$ 到达点 $A^{'}$ 的位置，且平面 $A^{'} M N ⊥$ 平面 $B C M N$ .若点 $A^{'} ， B ， C ， M ， N$ 均在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 表面积的最小值为（）

A、 $\frac{8 π}{3}$ B、 $\frac{3 π}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6} π}{3}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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2. 一底面半径为1的圆柱，被一个与底面成45°角的平面所截（如图）， $O$ 为底面圆的中心， $O_{1}$ 为截面的中心， $A$ 为截面上距离底面最小的点， $A$ 到圆柱底面的距离为1， $B$ 为截面图形弧上的一点，且 $∠ A O_{1} B = 60 °$ ，则点 $B$ 到底面的距离是（）

A、 $\frac{7}{4}$ B、 $\frac{14 - 2 \sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{14 - \sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$

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3. 已知圆锥的底面半径为 $3 c m$ ，高为 $3 \sqrt{3} c m$ ，当其内接正四棱柱的体积最大时，该正四棱柱的外接球的表面积（单位： $c m^{2}$ ）为（）

A、 $19 π$ B、 $21 π$ C、 $35 π$ D、 $36 π$

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4. 在棱长为6的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别为 $C D$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，则三棱锥 $M - A A_{1} N$ 外接球的表面积为（）

A、 $56 π$ B、 $66 π$ C、 $76 π$ D、 $86 π$

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5. 鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧.图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图.它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2.若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为（）

A、 $96 + 48 \sqrt{2}$ B、 $120 + 72 \sqrt{2}$ C、 $144 + 96 \sqrt{2}$ D、 $168 + 96 \sqrt{2}$

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6. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的四个顶点都在球 $O$ 的球面上， $P B = P C = 2 \sqrt{5} ， A B = A C = 4$ ， $P A = B C = 2$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $\frac{316}{15} π$ B、 $\frac{79}{15} π$ C、 $\frac{158}{5} π$ D、 $\frac{79}{5} π$

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7. 盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为 $8 c m$ 的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小时，盲盒内剩余空间的体积为（）

A、 $\frac{64 \sqrt{2}}{3} c m^{3}$ B、 $\frac{128 \sqrt{2}}{3} c m^{3}$ C、 $\frac{256 \sqrt{2}}{3} c m^{3}$ D、 $\frac{512 \sqrt{2}}{3} c m^{3}$

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8. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = \sqrt{2}$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，将 $△ A B C$ 沿 $A D$ 折叠成三棱锥 $A - B C D$ ，则当该三棱锥体积最大时它的外接球的表面积为（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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9. 在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A C D ⊥$ 平面BCD， $△ A C D$ 是以CD为斜边的等腰直角三角形，M为CD中点， $B M ⊥ B C$ ， $A C = 2 B C = 4$ ，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A、 $16 π$ B、 $24 π$ C、 $32 π$ D、 $40 π$

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10. 在正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $A B = 4$ ， $E$ 为棱 $B C$ 的四等分点（靠近点 $B$ ）， $F$ 为棱 $A^{'} D^{'}$ 的四等分点（靠近点 $A^{'}$ ），过点 $C^{'}$ ， $E$ ， $F$ 作该正方体的截面，则该截面的周长是（）

A、 $\frac{9 \sqrt{2}}{4} + \frac{25}{2}$ B、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} + \frac{25}{2}$ C、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} + \frac{40}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3} + \frac{40}{3}$

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11. 《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面 $A B C D$ 为正方形， $E F$ $∥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B F E$ ， $C D E F$ 为两个全等的等腰梯形， $E F = \frac{1}{2} A B = 2$ ，且 $A E = \sqrt{6}$ ，则此刍甍的外接球的表面积为（）

A、 $60 π$ B、 $64 π$ C、 $68 π$ D、 $72 π$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，M，N分别是侧面 $C D_{1}$ 和侧面 $B C_{1}$ 的中心，过点M的平面 $α$ 与直线ND垂直，平面 $α$ 截正方体 $A C_{1}$ 所得的截面记为S，则S的面积为（）

A、 $5 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{6}$ C、 $7 \sqrt{6}$ D、 $9 \sqrt{6}$

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二、多选题

13. 某学校课外社团活动课上，数学兴趣小组进行了一次有趣的数学实验操作，课题名称“不用尺规等工具，探究水面高度”.如图甲， $P - A B C D$ 是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不计），底面 $A B C D$ 为平行四边形，设棱锥高为 $h$ ，体积为 $V$ ，现将容器以棱 $A B$ 为轴向左侧倾斜，如图乙，这时水面恰好经过 $C D E F$ ，其中 $E ， F$ 分别为棱 $P A ， P B$ 的中点，则（）

A、水的体积为 $\frac{5}{8} V$ B、水的体积为 $\frac{3}{4} V$ C、图甲中的水面高度为 $(1 - \frac{\sqrt[3]{3}}{2}) h$ D、图甲中的水面高度为 $(1 - \frac{\sqrt[3]{5}}{2}) h$

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14. 已知 $A B$ 为圆锥 $S O$ 底面圆 $O$ 的直径，点 $C$ 是圆 $O$ 上异于 $A$ ， $B$ 的一点， $N$ 为 $S A$ 的中点， $S A = 5$ ，圆锥 $S O$ 的侧面积为 $15 π$ ，则下列说法正确的是（）

A、圆 $O$ 上存在点 $M$ 使 $M N / /$ 平面 $S B C$ B、圆 $O$ 上存在点 $M$ 使 $A M ⊥$ 平面 $S B C$ C、圆锥 $S O$ 的外接球表面积为 $\frac{625 π}{32}$ D、棱长为 $\sqrt{6}$ 的正四面体在圆锥 $S O$ 内可以任意转动

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15. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $G$ ， $E$ ， $P$ ， $H$ 分别是 $△ B C D$ ， $△ A C D$ ， $△ A B D$ ， $△ A B C$ 的重心.则下列命题中正确的有（）

A、 $G E / /$ 平面 $A B D$ B、 $V_{A - G B C} = \frac{1}{3} V_{A - D B C}$ C、四条直线 $A G$ ， $B E$ ， $C P$ ， $D H$ 相交于一点 D、 $A B = 2 G E$

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16. 已知三棱锥 $A - B C D$ 的所有棱长均相等，其外接球的球心为O．点E满足 $\vec{A E} = λ \vec{A B} (0 < λ < 1)$ ，过点E作平行于 $A C$ 和 $B D$ 的平面 $α$ ， $α$ 分别与棱 $B C ， C D ， A D$ 相交于点 $F ， G ， H$ ，则（）

A、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，平面 $α$ 经过球心O B、四边形 $E F G H$ 的周长随 $λ$ 的变化而变化 C、当 $λ = \frac{2}{3}$ 时，四棱锥 $A - E F G H$ 的体积取得最大值 D、设四棱锥 $O - E F G H$ 的体积为 $V (λ) (λ \neq \frac{1}{2})$ ，则 $V (λ) = V (1 - λ)$

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17. 勒洛Franz Reuleaux（1829～1905），德国机械工程专家，机构运动学的创始人.他所著的《理论运动学》对机械元件的运动过程进行了系统的分析，成为机械工程方面的名著.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，设正四面体 $A B C D$ 的棱长为2，则下列说法正确的是（）

A、勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 $2 - \frac{\sqrt{6}}{2}$ B、勒洛四面体被平面 $A B C$ 截得的截面面积是 $2 (π - \sqrt{3})$ C、勒洛四面体表面上交线 $A C$ 的长度为 $\frac{2 π}{3}$ D、勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2

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18. 如图的六面体中，CA＝CB＝CD＝1，AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝ $\sqrt{2}$ ，则（）

A、CD⊥平面ABC B、AC与BE所成角的大小为 $\frac{π}{3}$ C、 $C E ＝ \sqrt{3}$ D、该六面体外接球的表面积为3π

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19. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $B_{1} C$ 上的动点，则（）

A、 $A P / /$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ C、三棱锥 $C_{1} - P D A_{1}$ 的体积为定值 D、直线 $A P$ 与 $A_{1} D$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$

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20. 如图，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 2$ ，动点P满足 $\vec{A P} = a \vec{A C} + b \vec{A A_{1}}$ ，且 $a ， b \in (0 ， 1)$ .则下列说法正确的是（）

A、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，直线 $A C ⊥$ 平面 $B P B_{1}$ B、当 $a + b = 1$ 时， $P B + P B_{1}$ 的最小值为 $\sqrt{6}$ C、若直线 $B P$ 与 $B D$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，则动点P的轨迹长为 $\frac{\sqrt{2}}{2} π$ D、当 $a + 2 b = 1$ 时，三棱锥 $P - A B C$ 外接球半径的取值范围是 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$

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21. 如图，已知正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点P在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内运动（包含边界），且AP与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正切值为 $\sqrt{6}$ ，则（）

A、CP长度的最小值为 $\sqrt{3} - 1$ B、存在点P，使得 $A P ⊥ B C$ C、存在点P，存在点 $Q \in B_{1} C_{1}$ ，使得 $A P ∥ A_{1} Q$ D、所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为 $\frac{\sqrt{7} π}{3}$

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22. 已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为 $\sqrt{7}$ ，高为 $\sqrt{3}$ ．若P，Q为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（）

A、三角形 $S P Q$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{3}$ B、三棱锥 $O - S P Q$ 体积的最大值 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、四面体 $S O P Q$ 外接球表面积的最小值为11 $π$ D、直线SP与平面 $S O Q$ 所成角的余弦值的最小值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$

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三、填空题

23. 三棱锥 $D - A B C$ 中， $D C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = C D = 1$ ，点 $P$ 在三棱锥 $D - A B C$ 外接球的球面上，且 $∠ A P C = 6 0^{∘}$ ，则 $D P$ 的最小值为.

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24. 在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 是棱 $A A_{1}$ 上一点，且 $A E = 1$ .过三点 $E$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 的平面截该正方体的内切球，所得截面圆面积的大小为.

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25. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为底面 $A B C D$ 的中心， $\vec{D_{1} Q} = λ \vec{D_{1} A_{1}}$ ， $λ \in (0 ， 1)$ ， $N$ 为线段 $A Q$ 的中点，则下列命题中正确的序号为.
① $C N$ 与 $Q M$ 共面；
②三棱锥 $A - D M N$ 的体积跟 $λ$ 的取值无关；
③当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，过 $A ， Q ， M$ 三点的平面截正方体所得截面的周长为 $\frac{4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{13}}{3}$ ；
④ $λ = \frac{1}{4}$ 时， $A M ⊥ Q M$ .

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26. 已知正四棱锥 $S - A B C D$ 的所有棱长都为1，点 $E$ 在侧棱 $S C$ 上，过点 $E$ 且垂直于 $S C$ 的平面截该棱锥，得到截面多边形 $Γ$ ，则 $Γ$ 的边数至多为， $Γ$ 的面积的最大值为.

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27. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E为线段 $B_{1} D_{1}$ 上的动点，现有下面四个命题：
①点E到直线AB的距离为定值； ②直线DE与直线AC所成角为定值；

③三棱锥 $E - A_{1} B D$ 的外接球体积为定值； ④三棱锥 $E - A_{1} B D$ 的体积为定值．

其中所有真命题的序号是．

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28. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M、N分别是棱 $B B_{1}$ 、 $D D_{1}$ 的中点，P是棱 $A_{1} B_{1}$ 上靠近 $A_{1}$ 的四等分点，过M、N、P三点的平面 $α$ 交棱 $B C$ 于Q，记 $\vec{B Q} = λ \vec{B C}$ ，则 $λ =$ ．若平面 $α$ 将正方体截成两部分体积分别为 $V_{1}$ 、 $V_{2} (V_{1} \geq V_{2})$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} =$ ．

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29. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，顶点P在底面 $A B C$ 的投影为O，点O到侧面 $P A B$ ，侧面 $P A C$ ，侧面 $P B C$ 的距离均为d，若 $P O = 2 d$ ， $A B = 2$ ． $C A + C B = 4$ ，且 $△ A B C$ 是锐角三角形，则三棱锥 $P - A B C$ 体积的取值范围为．

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30. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点F是棱 $A A_{1}$ 上的一个动点，平面 $B F D_{1}$ 交棱 $C C_{1}$ 于点E，则下列正确说法的序号是.
①存在点F使得 $A_{1} C_{1} ∥$ 平面 $B E D_{1} F$ ；
②存在点F使得 $B_{1} D ∥$ 平面 $B E D_{1} F$ ；
③对于任意的点F，都有 $E F ⊥ B D$ ；
④对于任意的点F三棱锥 $E - F D D_{1}$ 的体积均不变.

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31. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F，G分别是棱BC， $C C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点，点P为底面A₁B₁C₁D₁上任意一点．若P与 $D_{1}$ 重合，则三棱锥E-PFG的体积是；若直线BP与平面EFG无公共点，则BP的最小值是．

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32. 如图直角梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 2 C D = 2 A D = 2$ ，在等腰直角三角形 $C D E$ 中， $∠ C = 90 °$ ，则向量 $\vec{A E}$ 在向量 $\vec{C B}$ 上的投影向量的模为；若 $M$ ， $N$ 分别为线段 $B C$ ， $C E$ 上的动点，且 $\vec{A M} \cdot \vec{A N} = \frac{5}{2}$ ，则 $\vec{M D} \cdot \vec{D N}$ 的最小值为．

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33. 如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A，B，M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体外接球表面上的动点，且总满足 $M N ⊥ A B$ ，若 $A B = 4$ ，则该多面体的表面积为；点N轨迹的长度为．

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34. 在四面体ABCD中，已知 $A B = C D = A C = B D = 2 \sqrt{5}$ ， $A D = B C = 4$ ，记四面体ABCD外接球的球心到平面ABC的距离为 $d_{1}$ ，四面体 $A B C D$ 内切球的球心到点A的距离为 $d_{2}$ ，则 $\frac{d_{1}}{d_{2}}$ 的值为．

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35. 已知空间四边形 $A B C D$ 的各边长及对角线BD的长度均为6平面 $A B D ⊥$ 平面 $C B D ，$ 点 $M$ 在 $A C$ 上，且 $A M = 2 M C ，$ 过点 $M$ 作四边形 $A B C D$ 外接球的截面﹐则截面面积最大值与最小值之比为.

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36. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 3$ ， $A_{1} A = 1$ ， $P$ 为线段 $C_{1} D_{1}$ 的中点，一质点从 $A$ 点出发，沿长方体表面运动到达 $P$ 点处，则质点从 $A$ 到 $P$ 的最短距离为；若沿质点 $A$ 的最短运动路线截长方体，则所得截面的面积为.

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