压轴题05 三角函数、解三角形（解答题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

试卷更新日期：2023-05-04 类型：三轮冲刺

进入出卷网下载

一、解答题

1. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $\frac{1 - s i n A}{c o s A} = \frac{1 - c o s 2 B}{s i n 2 B}$ ．

(1)、判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由；

(2)、求 $\frac{a^{2}}{c^{2}} - \frac{5 a}{4 c c o s B}$ 的最小值．

查看试题解析
2. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $a c o s (B - C) = (2 \sqrt{3} c s i n B - a) c o s A$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且外接圆的半径为 $\sqrt{3}$ ，求 $\frac{b^{2} + a^{2}}{b}$ 的取值范围.

查看试题解析
3. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $\frac{1}{t a n B}$ ， $\frac{1}{s i n A}$ ， $\frac{1}{t a n C}$ 依次组成等差数列.

(1)、求 $\frac{a^{2}}{b c}$ 的值；

(2)、若 $b > c$ ，求 $\frac{b^{2} + c^{2}}{a^{2}}$ 的取值范围.

查看试题解析
4. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $2 a - c = 2 b c o s C$ ．

(1)、求B；

(2)、A的角平分线与C的角平分线相交于点D， $A D = 3$ ， $C D = 5$ ，求 $A C$ 和 $B D$ ．

查看试题解析
5. 已知 $△ A B C$ 的三个角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b c o s C + c c o s B = 6$ .

(1)、求边 $a$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，且________，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ 的取值范围.
要求：从① $A = \frac{π}{4}$ ， ② $b + c = 10$ 从这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

查看试题解析
6. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且 $b^{2} + 2 c^{2} - 2 a^{2} = 0$ ．

(1)、若 $t a n C = \frac{1}{3}$ ，求A的大小；

(2)、当 $A - C$ 取得最大值时，试判断 $△ A B C$ 的形状．

查看试题解析
7. 在 $△ A B C$ 中， $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， a c o s B - 2 a c o s C = (2 c - b) c o s A$ .

(1)、若 $c = \sqrt{3} a$ ，求 $c o s B$ 的值；

(2)、若 $b = 1 ， ∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，求 $A D$ 长度的取值范围.

查看试题解析
8. 已知半圆 $O$ 的直径 $A B = 2$ ，点 $C$ 为圆弧上一点（异于点 $A ， B$ ），过点 $C$ 作 $A B$ 的垂线，垂足为 $D$ .

(1)、若 $A C = \sqrt{3}$ ，求 $△ A C D$ 的面积；

(2)、求 $\frac{| A C | + | C D |}{| A C | + | A D |}$ 的取值范围.

查看试题解析
9. 在 $△ A B C$ 中， $c = 2 a c o s A$ ， $∠ C = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 $△ A B C$ 存在且唯一确定，求 $△ A B C$ 的面积.
条件①： $c = \sqrt{2} b$ ；
条件②： $B C$ 边上的中线 $A D = \sqrt{7}$ ；
条件③： $△ A B C$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ ．

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = c o s^{2} ω x + \sqrt{3} s i n ω x c o s ω x + m (ω > 0 ， m \in R)$ ．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数 $f (x)$ 的解析式的两个作为已知．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及最小值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， t] (t > 0)$ 上有且仅有1个零点，求t的取值范围．
条件①：函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ；
条件②：函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(0 ， \frac{1}{2})$ ；
条件③：函数 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{3}{2}$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．

查看试题解析
11. 在 $△ A B C$ 中， $\tan A = \frac{12}{5} ， D$ 为 $B C$ 上一点， $A D = 3 \sqrt{2}$ ．

(1)、若D为 $B C$ 的中点，求 $△ A B C$ 的面积的最大值；

(2)、若 $∠ D A B = 45 °$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最小值．

查看试题解析
12. 已知向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} s i n \frac{x}{2} ， 1)$ ， $\vec{n} = (c o s \frac{x}{2} ， s i n^{2} \frac{x}{2})$ ，设函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且_________，求 $f (B)$ 的取值范围．
从下面三个条件中任选一个，补充在上面的问题中作答．

① $\frac{\sqrt{3} c}{a c o s B} + t a n A + t a n B = 0$ ；② $(2 c + b) c o s A + a c o s B = 0$ ；③ $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列．注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分．

查看试题解析
13. 设 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\sqrt{3} (a - b c o s C) = c s i n B$ ，点M为AC的中点，且 $B M = 1$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

查看试题解析
14. 在 $△ A B C$ .中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{2 b - c}{a} = \frac{c o s C}{c o s A}$ ， $a = 3$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若点 $D$ 在边 $A C$ 上，且 $\vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B A} + \frac{2}{3} \vec{B C}$ ，求 $△ B C D$ 面积的最大值.

查看试题解析
15. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $c o s C = \frac{a - c s i n B}{b}$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若边 $A B$ 上的高为 $\frac{c}{4}$ ，求 $c o s C$ ．

查看试题解析
16. D为 $△ A B C$ 边 $A B$ 上一点，满足 $A D = 2$ ， $D B = 8$ ，记 $∠ A B C = α$ ， $∠ C A B = β$ ．

(1)、当 $C D ⊥ A B$ 时，且 $β = 2 α$ ，求CD的值；

(2)、若 $α + β = \frac{π}{4}$ ，求 $△ A C D$ 面积的最大值．

查看试题解析
17. 如图，扇形 $O P Q$ 区域（含边界）是一风景旅游区，其中P，Q分别在公路OA和OB上．经测得，扇形 $O P Q$ 区域的圆心角 $∠ P O Q = \frac{π}{3}$ ，半径为5千米．为了方便旅游参观，打算在扇形 $O P Q$ 区域外修建一条公路 $M N$ ，分别与OA和OB交于M，N两点，并且MN与 $\overset{⌢}{P Q}$ 相切于点S（异于点P，Q），设 $∠ P O S = α$ （弧度），将公路 $M N$ 的长度记为 $y$ （单位：千米），假设所有公路的宽度均忽略不计．

(1)、将y表示为 $α$ 的函数，并写出 $α$ 的取值范围；

(2)、求y的最小值，并求此时 $α$ 的值．

查看试题解析
18. 如图所示，边长为2（百米）的正方形 $A B C D$ 区域是某绿地公园的一个局部，环线 $A E F C D A$ 是修建的健身步道（不计宽度），其中弯道段 $E F$ 是抛物线的一段，该抛物线的对称轴与 $A D$ 平行，端点 $E$ 是该抛物线的顶点且为 $A B$ 的中点，端点 $F$ 在 $B C$ 上，且 $F B$ 长为 $0.5$ （百米），建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题.

(1)、求弯道段 $E F$ 所确定的函数 $y = f (x)$ 的表达式；

(2)、绿地管理部门欲在弯道段 $E F$ 上选取一点 $P$ 安装监控设备，使得点 $P$ 处监测 $C D$ 段的张角 $(∠ C P D)$ 最大，求点 $P$ 的坐标.

查看试题解析
19. 设函数 $f (x) = \sqrt{2} s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ ，该函数图象上相邻两个最高点之间的距离为 $4 π$ ，且 $f (x)$ 为偶函数.

(1)、求 $ω$ 和 $ϕ$ 的值；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A ､ B ､ C$ 的对边分别为 $a ､ b ､ c$ ，若 $(2 a - c) c o s B = b c o s C$ ，求 $f^{2} (A) + f^{2} (C)$ 的取值范围.

查看试题解析
20. 落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设.如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ，迎宾区的入口设置在点A处，出口在点B处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，其中 $A C = 300$ 米， $B C = 200$ 米，也可以沿便捷通道A-P-B到达出口（P为△ABC内一点）.

(1)、若△PBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）

(2)、园区计划将△PBC区域修建成室外游乐场，若 $∠ B P C = \frac{2 π}{3}$ ，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由.

查看试题解析
21. 某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图， $A O$ 、 $O B$ 为直线岸线， $O A = 1000$ 米， $O B = 1500$ 米， $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧 $\overset{⌢}{A B}$ ，过弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点 $P$ 按线段 $P A$ 和 $P B$ 修建养殖网箱，已知 $∠ A P B = \frac{2 π}{3}$ .

(1)、求岸线上点 $A$ 与点 $B$ 之间的直线距离；

(2)、如果线段 $P A$ 上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段 $P B$ 上的网箱每米可获得30元的经济收益.记 $∠ P A B = θ$ ，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）

查看试题解析
22. 在① $b \sin \frac{A + B}{2} = c \sin B$ ，② $\sqrt{3} (c \cos A - b) = - a \sin C$ ，③ $\frac{c}{\cos C} = \frac{a + b}{\cos A + \cos B}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足________.

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $8 \sqrt{3}$ ， $A C$ 的中点为 $D$ ，求 $B D$ 的最小值.

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{3} - x) + \cos^{2} (x - \frac{π}{3})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $g (x) = f (x + φ - \frac{π}{24}) - \frac{1}{2}$ ， $φ \in (0, π)$ 且 $\tan φ = \frac{3}{4}$ ，求函数 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的取值范围.

查看试题解析
24. 已知锐角 $Δ A B C$ 的外接圆半径为 $1$ ，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $S$ 且 $\sqrt{3} a^{2} = 4 S + \sqrt{3} (c^{2} - b^{2})$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、求 $\frac{b c}{a}$ 的取值范围．

查看试题解析
25. 如图所示，在平面四边形ABCD（A，C在线段BD异侧）中， $∠ B A D = \frac{π}{6}$ ， $∠ B C D = \frac{π}{2}$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 4$ .

(1)、求BD的长；

(2)、请从下面的三个问题中任选一个作答：（作答时用笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框填涂）
①求四边形ABCD的面积的取值范围；

②求四边形ABCD的周长的取值范围；

③求四边形ABCD的对角线AC的长的取值范围.

查看试题解析
26. 设函数 $f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{ω x}{2} + \frac{π}{6}) + \sqrt{3} \sin (ω x + \frac{π}{3}) - 1$ ．

(1)、当 $0 < ω < 1$ 时，若函数 $f (x)$ 的最大值为 $f (\frac{π}{2})$ ，求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(π ， 2 π)$ 内不存在零点，求正实数 $ω$ 的取值范围．

查看试题解析
27. 设 $ω > 0$ ，函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3})$ 在 $[\frac{π}{12}, \frac{7 π}{12}]$ 上是减函数．

(1)、求 $ω$ ；

(2)、比较 $f (- 6)$ ， $f (0)$ ， $f (6)$ 的大小．

查看试题解析
28. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D ， ∠ B C D = 135 ° ， B D = \sqrt{5} C D = \sqrt{10}$ ．

(1)、求 $\sin ∠ C B D$ 的值；

(2)、若 $△ A B D$ 的面积为4，求 $A D$ 的长．

查看试题解析
29. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，点 $D$ 满足 $3 \vec{B D} = \vec{B C}$ 与 $\vec{A D} \cdot \vec{A C} = 0$ .

(1)、若 $b = c$ ，求 $A$ 的值；

(2)、求 $B$ 的最大值.

查看试题解析
30. 设函数 $f (x) = \lg (1 - \cos 2 x) + \cos (x + θ)$ ， $θ \in [0 ， \frac{π}{2})$

(1)、讨论函数 $y = f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、设 $θ > 0$ ，解关于 $x$ 的不等式 $f (\frac{π}{4} + x) - f (\frac{3 π}{4} - x) < 0$ .

查看试题解析
31. 已知函数 $f (x) = s i n^{2} x + 2 \sqrt{3}$ $s i n x c o s x - c o s^{2} x$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的对称轴；

(2)、在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a = f (\frac{π}{3})$ ， $s i n (\frac{π}{3} - A) c o s (\frac{π}{6} + A) = \frac{1}{4}$ ， $M$ 是 $A B$ 边上一点，且 $M A = 2 M B$ ，求 $△ M B C$ 的最大面积.

查看试题解析
32. 已知向量 $\vec{m} = (s i n x ， 1) ， \vec{n} = (\sqrt{3} c o s x ， - \frac{1}{2})$ ．令函数 $f (x) = (\vec{m} + \vec{n}) \cdot \vec{m}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $∠ A C B$ 的角平分线交 $A B$ 于D．其中，函数 $f (C)$ 恰好为函数 $f (x)$ 的最大值，且此时 $C D = f (C)$ ，求 $3 a + b$ 的最小值．

查看试题解析
33. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，且 $f (x)$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．

(1)、确定 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x)$ 图象的对称轴只有一条落在区间 $[0 ， a]$ 上，求a的取值范围．
条件①： $f (x)$ 的最小值为 $- 2$ ；

条件②： $f (x)$ 图象的一个对称中心为 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ ；

条件③； $f (x)$ 的图象经过点 $(\frac{5 π}{6} ， - 1)$ ．

查看试题解析