压轴题04 解三角形（选填题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

试卷更新日期：2023-05-04 类型：三轮冲刺

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一、单选题

1. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 上一点，且 $\vec{B D} = 3 \vec{D C}$ ， $∠ A B C = ∠ C A D$ ， $∠ B A D = \frac{2 π}{3}$ ，则 $t a n ∠ A B C =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{39}}{13}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$

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2. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等差数列， $C = 2 (A + B)$ ，则 $\frac{b}{a} =$ （）

A、 $\frac{7}{5}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{7}{4}$

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3. 在 $△ A B C$ 中，D是BC边的中点，且 $A B = 3$ ， $A C = 2$ ， $A D = \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定

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4. 锐角 $△ A B C$ 是单位圆的内接三角形，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = 4 a^{2} c o s A - 2 a c c o s B$ ，则 $a$ 等于（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、1

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5. 已知点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上一点，椭圆的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，且 $c o s ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{1}{3}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、6 B、12 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，角A，B和C所对的边长为a，b和c，面积为 $\frac{1}{3} (a^{2} + c^{2} - b^{2})$ ，且 $∠ C$ 为钝角， $\frac{c}{a}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{5}{3} ， + \infty)$ B、 $(\frac{7}{3} ， + \infty)$ C、 $(\frac{3}{5} ， + \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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7. 已知 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ .若 $c = 1 ， 4 a^{2} c o s^{2} B + 4 b^{2} s i n^{2} A = 3 b^{2} - 3$ ，则 $t a n A$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{4 \sqrt{7}}{7}$

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8. 已知 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ， $P$ 是圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 45$ 上的一个动点，则 $s i n ∠ A P B$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$

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9. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 $b = 2$ ， $\frac{c}{a} + \frac{a}{c} = 3$ ， $B = \frac{2 π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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10. 在 $△ A B C$ 中，设 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应的边，记 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $b \sin B + 2 c \sin C = 4 a \sin A$ ，则 $\frac{S}{a^{2}}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{10}}{3}$ D、 $\sqrt{10}$

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11. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} = \frac{a}{\sin A}$ ， $\cos C = \frac{1}{4}$ ， $a^{2} + b^{2} = 68$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{15}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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12. 已知四边形ABCD是圆内接四边形， $A B = 4 ， A D = 5 ， B D = 3$ ，则ABCD的周长取最大值时，四边形ABCD的面积为（）

A、 $\frac{27}{4}$ B、 $\frac{51}{4}$ C、 $9 + 3 \sqrt{10}$ D、 $3 + 3 \sqrt{10}$

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13. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=csinB，则tanA的最大值为（）

A、1 B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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14. 在平面四边形ABCD中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，则四边形ABCD面积的最大值为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{7}}{4}$ B、 $\frac{5 \sqrt{7}}{8}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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15. 已知△ABC的三边分别为a ， b ， c ，若满足a²+b²+2c²＝8，则△ABC面积的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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二、多选题

16. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $M (- 2 ， 0)$ ， $N (2 ， 0)$ ，动点P满足 $| P M | \cdot | P N | = 5$ ，则下列结论正确的是（）

A、点 $P$ 的横坐标的取值范围是 $[- \sqrt{5} ， \sqrt{5}]$ B、 $| O P |$ 的取值范围是 $[1 ， 3]$ C、 $△ P M N$ 面积的最大值为 $\frac{5}{2}$ D、 $| P M | + | P N |$ 的取值范围是 $[2 \sqrt{5} ， 5]$

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17. 已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为 $\sqrt{7}$ ，高为 $\sqrt{3}$ ．若P，Q为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（）

A、三角形 $S P Q$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{3}$ B、三棱锥 $O - S P Q$ 体积的最大值 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、四面体 $S O P Q$ 外接球表面积的最小值为11 $π$ D、直线SP与平面 $S O Q$ 所成角的余弦值的最小值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$

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18. 在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $B C$ ， $A C$ 的中点，且 $B C = 6$ ， $A D = 2$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 面积最大值是12 B、 $\cos B \geq \frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $| \vec{A D} + \vec{B E} |$ 不可能是5 D、 $\vec{B E} \cdot \vec{A C} \in (\frac{11}{2} ， \frac{35}{2})$

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三、填空题

19. 在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{6}$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = 4 5^{∘}$ ， $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内任意一点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ 的最小值是.

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20. 已知 $△ A B C$ 的三边长分别为4、5、7，记 $△ A B C$ 的三个内角的正切值所组成的集合为 $M$ ，则集合 $M$ 中的最大元素为.

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21. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a c o s B = b \cos A$ ， $M$ 是 $B C$ 的中点，若 $A M = 4$ ，则 $A C + \sqrt{2} A B$ 的最大值为.

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22. 在△ $A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．若 $2 c s i n B = (2 a + c) t a n C$ ， $b s i n A s i n C = \sqrt{3} s i n B$ ，则△ $A B C$ 面积的最小值是．

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23. 2022年3月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于构建更高水平的全民健身公共服务体系的意见》，再次强调持续推进体育公园建设．如图，某市拟建造一个扇形体育公园，其中 $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ， $O A = O B = 2$ 千米．现需要在 $O A$ ， OB， $\overset{⌢}{A B}$ 上分别取一点D，E，F，建造三条健走长廊DE，DF，EF，若 $D F ⊥ O A$ ， $E F ⊥ O B$ ，则 $D E + E F + F D$ 的最大值为千米．

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24. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $C = \frac{π}{2}$ ，点 $D$ 是边 $A B$ （端点除外）上的一动点.若将 $△ A C D$ 沿直线 $C D$ 翻折，能使点 $A$ 在平面 $B C D$ 内的射影 $A^{'}$ 落在 $△ B C D$ 的内部（不包含边界），且 $A^{'} C = \frac{\sqrt{7}}{3}$ .设 $A D = t$ ，则t的取值范围是.

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25. $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 120 ° ， A O$ 为 $B C$ 边上的中线， $A O = \sqrt{3}$ ，则 $A B - 2 A C$ 的取值范围是．

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26. 设 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a = 2 ， 6 c o s B = b (1 - 3 c o s A)$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为.

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27. 已知 $△ A B C$ 中，点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (1 ， 0)$ ，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，面积为 $S$ ，且 $a^{2} + b^{2} = c^{2} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} S$ ，则满足条件的点 $C$ 的轨迹长度为．

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28. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\sqrt{3} b \sin \frac{B + C}{2} = a \sin B$ ， $△ A B C$ 的外接圆面积为 $12 π$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值是.

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29. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a \cos C + \sqrt{3} a \sin C - b - c = 0$ ， $△ A B C$ 外接圆周长与 $△ A B C$ 周长之比的最小值为．

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30. 在锐角三角形ABC中，已知4sin²A+sin²B＝4sin²C，则 $\frac{1}{t a n A} + \frac{1}{t a n B} + \frac{1}{t a n C}$ 的最小值为．

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