压轴题03 三角函数（选填题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

试卷更新日期：2023-05-04 类型：三轮冲刺

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一、单选题

1. 摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如静安大悦城的“Sky Ring”摩天轮是上海首个悬臂式屋顶摩天轮.摩天轮最高点离地面高度106米，转盘直径56米，轮上设置30个极具时尚感的4人轿舱，拥有360度的绝佳视野.游客从离楼顶屋面最近的平台位置进入轿舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米， $h = - 28 c o s (\frac{π t}{6}) + 78$ .若在 $t_{1}$ ， $t_{2}$ 时刻，游客距离地面的高度相等，则 $t_{1} + t_{2}$ 的最小值为（　　）

A、6 B、12 C、18 D、24

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2. 已知 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $y \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $\frac{c o s x + s i n x}{c o s x - s i n x} = \frac{1 - c o s 2 y}{s i n 2 y}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $t a n (y - x) = 1$ B、 $t a n (y - x) = - 1$ C、 $t a n (y + x) = 1$ D、 $t a n (y + x) = - 1$

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3. 已知函数 $f (x) = c o s (\frac{2}{3} x + φ)$ 满足 $f (- \frac{π}{6}) = f (\frac{2 π}{3})$ ，若 $f (x)$ 在 $[0 ， a]$ 至少有两个零点，则实数 $a$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3 π}{2}$ B、 $2 π$ C、 $\frac{5 π}{2}$ D、 $3 π$

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4. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | \leq \frac{π}{2})$ ， $x = - \frac{π}{8}$ 是函数 $f (x)$ 的一个零点， $x = \frac{π}{8}$ 是函数 $f (x)$ 的一条对称轴，若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{5} ， \frac{π}{4})$ 上单调，则 $ω$ 的最大值是（）

A、14 B、16 C、18 D、20

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5. 定义在实数集 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ ，如果 $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的不动点.给定函数 $f (x) = c o s x$ ， $g (x) = s i n x$ ，已知函数 $f (x)$ ， $f (g (x))$ ， $g (f (x))$ 在 $(0 ， 1)$ 上均存在唯一不动点，分别记为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，则（）

A、 $x_{3} > x_{1} > x_{2}$ B、 $x_{2} > x_{3} > x_{1}$ C、 $x_{2} > x_{1} > x_{3}$ D、 $x_{3} > x_{2} > x_{1}$

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6. 如图所示的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们把这样的曲线叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点 $M (\frac{3 π}{4} ， \frac{3}{2})$ ，其对应的方程为 $| y | = (2 - \frac{1}{2} [\frac{2 x}{π}]) | s i n ω x |$ （ $x \geq 0$ ，其中 $[x]$ 为不超过x的最大整数， $1 < ω < 3$ ）．若该葫芦曲线上一点N的横坐标为 $\frac{4 π}{3}$ ，则点N的纵坐标为（）

A、 $\pm \frac{1}{3}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\pm \frac{1}{2}$ D、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 已知函数 $f (x) = s i n x + s i n 2 x$ 在 $(0 ， a)$ 上有4个零点，则实数a的最大值为（）

A、 $\frac{4}{3} π$ B、 $2 π$ C、 $\frac{8}{3} π$ D、 $3 π$

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8. 已知 $ω > 0$ ，函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{6})$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增，且对任意 $x \in [\frac{π}{8} ， \frac{π}{4}]$ ，都有 $f (x) \geq 0$ ，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{4}{3} ， 2]$ B、 $(\frac{4}{3} ， 2)$ C、 $[1 ， 3]$ D、 $(1 ， 3)$

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9. 已知 $c o s (α + \frac{π}{3}) + c o s α = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，则 $s i n (α - \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{7}}{3}$

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10. 已知 $x_{1} = \frac{π}{3}$ ， $x_{2} = \frac{5 π}{6}$ 是函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）相邻的两个零点，若函数 $g (x) = | f (x) - \frac{1}{2} |$ 在 $[- \frac{π}{4} ， m]$ 上的最大值为1，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{π}{4} ， \frac{π}{3}]$ B、 $(- \frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ C、 $(- \frac{π}{4} ， \frac{5 π}{12}]$ D、 $(- \frac{π}{4} ， \frac{7 π}{12}]$

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11. 红河州个旧市是一个风景优美的宜居城市，如图是个旧宝华公园的摩天轮，半径为20米，圆心O距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度能够将个旧市区美景尽收眼底，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度（单位：分钟）为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、3 C、 $\frac{10}{3}$ D、 $\frac{11}{3}$

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12. 若函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{5})$ （ $ω > 0$ ）在区间 $(π ， 2 π)$ 上是单调函数，则 $ω$ 的取值可以是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $2$

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二、多选题

13. 已知函数 $f (x) = s i n (c o s x) + c o s (s i n x)$ ，下列关于该函数的结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称 B、 $f (x)$ 的一个周期是 $2 π$ C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的最大值为 $s i n 1 + 1$

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14. 已知函数 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{4})$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2$ ，则 $| x_{1} - x_{2} | _{m i n} = π$ B、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到的图象关于 $y$ 轴对称 C、若 $f (ω x)$ 在 $[0 ， π]$ 上有且仅有4个零点，则 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{15}{4} ， \frac{19}{4})$ D、 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，令 $g (x) = f (x) \cdot f^{'} (x)$ .则 $g (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上的值域为 $(0 ， 1)$

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15. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) (- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{8}$ 对称，则（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图像关于点 $(- \frac{π}{8} ， 0)$ 对称 B、函数 $y = f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 有且仅有2个极值点 C、若 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{4}$ D、若 $f (α - \frac{π}{8}) f (β - \frac{π}{8}) = \frac{1}{2}$ ，则 $c o s 2 (α - β) = 1 + c o s 2 (α + β)$

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16. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $M (- 2 ， 0)$ ， $N (2 ， 0)$ ，动点P满足 $| P M | \cdot | P N | = 5$ ，则下列结论正确的是（）

A、点 $P$ 的横坐标的取值范围是 $[- \sqrt{5} ， \sqrt{5}]$ B、 $| O P |$ 的取值范围是 $[1 ， 3]$ C、 $△ P M N$ 面积的最大值为 $\frac{5}{2}$ D、 $| P M | + | P N |$ 的取值范围是 $[2 \sqrt{5} ， 5]$

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17. 已知函数 $f_{n} (x) = s i n^{n} x + c o s^{n} x$ $(n \in N^{*})$ ，下列命题正确的有（）

A、 $f_{1} (2 x)$ 在区间 $[0 ， π]$ 上有3个零点 B、要得到 $f_{1} (2 x)$ 的图象，可将函数 $y = \sqrt{2} c o s 2 x$ 图象上的所有点向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 C、 $f_{4} (x)$ 的周期为 $\frac{π}{2}$ ，最大值为1 D、 $f_{3} (x)$ 的值域为 $[- 2 ， 2]$

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18. 已知 $f (x) = s i n x + a c o s x (a \neq 0)$ ，下列说法正确的有（）

A、若 $f (x)$ 过点 $(- \frac{π}{6} ， 1)$ ，则 $a = \pm \sqrt{3}$ B、若 $f (x)$ 在 $y$ 侧右侧的第一条对称轴为 $x = \frac{π}{4}$ ，则 $a = 1$ C、当 $a > 0$ 时， $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 单调递增 D、将 $g (x) = f (x) + x c o s x$ 的正零点按从小到大的顺序排列构成数列 ${x_{n}}$ ，若 $t a n x_{1} + t a n x_{3} = 0$ ，则 $a = - π$

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19. 已知函数 $f (x) = s i n (s i n x) + c o s (c o s x)$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的一个周期为 $2 π$ B、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ D、函数 $f (x)$ 图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

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20. 已知定义在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上的函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ （）

A、若 $f (x)$ 恰有两个零点，则 $ω$ 的取值范围是 $[5 ， 9)$ B、若 $f (x)$ 恰有两个零点，则 $ω$ 的取值范围是 $(5 ， 9]$ C、若 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{ω}{5}$ ，则 $ω$ 的取值个数最多为2 D、若 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{ω}{5}$ ，则 $ω$ 的取值个数最多为3

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21. 函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{5}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 有且仅有5个零点，下面结论正确的是（）

A、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{21}{10} ， \frac{13}{5})$ B、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 单调递增 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， 2 π)$ 有且仅有3个极大值点 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， 2 π)$ 有且仅有2个极小值点

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22. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的零点按照由小到大的顺序依次构成一个公差为 $\frac{π}{2}$ 的等差数列，函数 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2} f (x)$ 的图像关于原点对称，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 在单调递增 B、 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ， $| f (x_{1}) - g (x_{2}) | \leq 1 + \sqrt{2}$ C、把 $g (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位即可得到 $f (x)$ 的图像 D、若 $f (x)$ 在 $[0 ， a)$ 上有且仅有两个极值点，则 $a$ 的取值范围为 $(\frac{7}{8} π ， \frac{11}{8} π]$

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23. 已知函数 $f (x) = \cos^{2} (x - \frac{π}{6}) - \cos 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{7 π}{6} ， 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 图象的对称轴方程为 $x = \frac{5 π}{12} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$ D、 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上有4个零点

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24. 设函数 $f (x) = a \sin 2 x + b \cos 2 x (a ， b \in R)$ ，则下列说法正确的有（）

A、当 $a = 1$ ， $b = 0$ 时， $f (x)$ 为奇函数 B、当 $a = 1$ ， $b = - 1$ 时， $f (x)$ 的一个对称中心为 $(\frac{3 π}{8} ， 0)$ C、若关于 $x$ 的方程 $a \sin 2 x + b \cos 2 x = m$ 的正实根从小到大依次构成一个等差数列，则这个等差数列的公差为 $π$ D、当 $a = 1$ ， $b = - \sqrt{3}$ 时， $f (| \frac{x}{2} |)$ 在区间 $(- 2 π ， 2 π)$ 上恰有4个零点

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三、填空题

25. 已知 $ω \in R ， ω > 0$ ，函数 $y = \sqrt{3} s i n ω x - c o s ω x$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上有唯一的最小值-2，则 $ω$ 的取值范围为．

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26. 已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} x - {(s i n x + c o s x)}^{2} - 2$ .若存在 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， \frac{3 π}{4}]$ ，使不等式 $f (x_{1}) < k < f (x_{2})$ 成立，则整数 $k$ 的值可以为.（写出一个即可）.

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27. 设函数 $f (x) = A s i n (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0)$ 相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ， $| f (\frac{π}{3}) | = A$ ，则 $| φ |$ 的最小值为．

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28. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数 $y = A s i n ϖ t$ .我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音.已知一个复合音的数学模型是函数 $f (x) = s i n x + \frac{1}{2} s i n 2 x$ .给出下列四个结论：
① $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ ；
② $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上有3个零点；
③ $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上是增函数；
④ $f (x)$ 的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ .
其中所有正确结论的序号是.

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29. 已知函数 $f (x) = 2 s i n ω x (ω > 0)$ 在区间 $[- \frac{3 π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增，且直线 $y = - 2$ 与函数 $f (x)$ 的图象在 $[- 2 π ， 0]$ 上有且仅有一个交点，则实数 $ω$ 的取值范围是.

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30. 将函数 $f (x) = 2 c o s x$ 的图象先向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2 ω} (ω > 0)$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上没有零点，则 $ω$ 的取值范围是.

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