压轴题02 数列（解答题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

试卷更新日期：2023-05-04 类型：三轮冲刺

进入出卷网下载

一、解答题

1. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 满足： $a_{1} + 2 b_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{3}{4} a_{n} - \frac{b_{n}}{2}$ ， $2 b_{n + 1} = \frac{3}{2} b_{n} - \frac{a_{n}}{4}$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n} + 2 b_{n}}$ 是等比数列；

(2)、若________（从下列三个条件中任选一个），求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .① $a_{1} - 2 b_{1} = 1$ ；② $b_{2} = - \frac{1}{8}$ ；③ $a_{2} - 2 b_{2} = 1$ .

查看试题解析
2. 已知公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{9} = 81$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{5}$ ， $a_{14}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \sqrt{1 + \frac{1}{S_{n}} + \frac{1}{S_{n + 1}}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
3. 已知数列 ${a_{n}}$ 是首项为1的等差数列，公差 $d > 0$ ，设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{4}$ 成等比数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${| a_{n} - 8 |}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

查看试题解析
4. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $\frac{1}{t a n B}$ ， $\frac{1}{s i n A}$ ， $\frac{1}{t a n C}$ 依次组成等差数列.

(1)、求 $\frac{a^{2}}{b c}$ 的值；

(2)、若 $b > c$ ，求 $\frac{b^{2} + c^{2}}{a^{2}}$ 的取值范围.

查看试题解析
5. 已知 $T_{n}$ 为正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项的乘积，且 $a_{1} = 3$ ， $T_{n}^{2} = a_{n}^{n + 1}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n} - 1}{a_{n} + 1}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求 $[S_{2023}]$ （ $[x]$ 表示不超过x的最大整数）．

查看试题解析
6. 为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为 $\frac{3}{4}$ ，各次答题结果互不影响.

(1)、求甲前3次答题得分之和为40分的概率；

(2)、记甲第i次答题所得分数 $X_{i} (i \in N^{*})$ 的数学期望为 $E (x_{i})$ .
①写出 $E (X_{i - 1})$ 与 $E (x_{i})$ 满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：
②若 $E (x_{i}) > 100$ ，求i的最小值.

查看试题解析
7. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{3} = 7$ ，且 $a_{1} - a_{4} = - 7$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} + 2 n - 1$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明：当 $n \geq 5$ 时， $T_{n} \geq 56$ .

查看试题解析
8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + 2^{n} = 2 a_{n} + 1$

(1)、求 $a_{1}$ ，并证明数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 是等差数列：

(2)、若 $2 a_{k}^{2} < S_{2 k}$ ，求正整数 $k$ 的所有取值.

查看试题解析
9. 对于每项均是正整数的数列 $A_{1} ： a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $⋯$ 、 $a_{n}$ ，定义变换 $T_{1}$ ， $T_{1}$ 将数列 $A$ 变换成数列 $T_{1} (A) ： n$ 、 $a_{1} - 1$ 、 $a_{2} - 1$ 、 $⋯$ 、 $a_{n} - 1$ ．对于每项均是非负整数的数列 $B ： b_{1}$ 、 $b_{2}$ 、 $⋯$ 、 $b_{m}$ ，定义变换 $T_{2}$ ， $T_{2}$ 将数列 $B$ 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 $T_{2} (B)$ ；又定义 $S (B) = 2 (b_{1} + 2 b_{2} + ⋯ + m b_{m}) + b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + ⋯ + b_{m}^{2}$ ．设 $A_{0}$ 是每项均为正整数的有穷数列，令 $A_{k + 1} = T_{2} (T_{1} (A_{k})) (k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯)$ ．

(1)、如果数列 $A_{0}$ 为 $5$ 、 $1$ 、 $3$ ，写出数列 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ ；

(2)、对于每项均是正整数的有穷数列 $A$ ，证明 $S (T_{1} (A)) = S (A)$ ；

(3)、证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 $A_{0}$ ，存在正整数 $K$ ，当 $k \geq K$ 时， $S (A_{k + 1}) = S (A_{k})$ ．

查看试题解析
10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 和等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = 4$ ， $b_{1} = 2$ ， $a_{2} = 2 b_{2} - 1$ ， $a_{3} = b_{3} + 2$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 中的所有项分别构成集合 $A$ ， $B$ ，将 $A ∪ B$ 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列 ${c_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前60项和 $S_{60}$ .

查看试题解析
11. 在① $S_{n} = \frac{3}{2} a_{n} - 3$ ，其中 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和；② $a_{1} = 1$ ， $a_{n} - a_{n + 1} = a_{n} a_{n + 1}$ 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：已知数列 ${a_{n}}$ 满足____．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、是否存在正整数m，使得 $a_{m} + a_{m + 1}$ 为数列 ${a_{n}}$ 中的项？若存在，求出m；若不存在，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

查看试题解析
12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ，又 $a_{n}$ ， $\sqrt{2 S_{n}}$ ， $a_{n + 1} (n \in N^{*})$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式：

(2)、求 $S_{2 n}$ ，并证明 $\frac{1}{S_{4}} + \frac{1}{S_{6}} + \frac{1}{S_{8}} + ⋯ + \frac{1}{S_{2 n + 2}} > \frac{n}{4 (n + 2)}$ ．

查看试题解析
13. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，满足 $a_{1} = 3$ ， $b_{1} = 1$ ， $b_{2} + S_{2} = 10$ ， $a_{5} - 2 b_{2} = a_{3}$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）已知数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = {(- 1)}^{n} (a_{n} - b_{n})$ ，设 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若实数 $λ$ 满足 $T_{2 n} < λ < T_{2 n - 1}$ 对任意的 $n \geq 3 ， n \in N *$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围.

查看试题解析
14. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q > 1 ， a_{1} + a_{2} + a_{3} = 14 ， a_{2} + 1$ 是 $a_{1} ， a_{3}$ 的等差中项．等差数列 ${b_{n}}$ 满足 $4 b_{1} = a_{2} ， b_{8} = a_{3}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、将数列 ${a_{n}}$ 与数列 ${b_{n}}$ 的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前50项和；

(3)、 $c_{n} = {\begin{array}{l} \frac{b_{n}}{a_{n}} ， n 为奇数 \\ \frac{b_{n}^{2} - 4 {(b_{n} - 2)}^{2}}{a_{n}} ， n 为偶数 \end{array} (n \in N *)$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $\sum_{i = 1}^{2 n} c_{i}$ ．

查看试题解析
15. 已知 ${a_{n}}$ 是由正整数组成的无穷数列，该数列前 $n$ 项的最大值记为 $A_{n}$ ，最小值记为 $B_{n}$ ，令 $b_{n} = \frac{A_{n}}{B_{n}}$ $(n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯)$ ，并将数列 ${b_{n}}$ 称为 ${a_{n}}$ 的“生成数列”．

(1)、若 $a_{n} = 2^{n} (n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯)$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 的“生成数列”为 ${c_{n}}$ ，求证： $b_{1} (c_{1} + c_{2} + ⋯ + c_{n}) = b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{n}$ ；

(3)、若 ${b_{n}}$ 是等比数列，证明：存在正整数 $n_{0}$ ，当 $n \geq n_{0}$ 时， $a_{n} ， a_{n + 1} ， a_{n + 2} ， ⋯$ 是等比数列．

查看试题解析
16. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} a_{n + 1} = 2^{n}$ ，令 $b_{n} = a_{2 n}$ ．

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = {\begin{array}{l} \sqrt{b_{n}} ， n 为偶数， \\ \frac{2}{\sqrt{l o g_{2} b_{n}} + \sqrt{l o g_{2} b_{n + 2}}} ， n 为奇数， \end{array}$ 求数列 ${c_{n}}$ 的前23项和．

查看试题解析
17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，对任意的正整数 $n$ ，都有 $2 S_{n} = a_{n + 1} - 2^{n + 1} + 1$ 成立，且 $a_{1}$ ， $a_{2} + 5$ ， $a_{3}$ 成等差数列．

(1)、证明：数列 ${a_{n} + 2^{n}}$ 为等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、证明：对一切正整数 $n$ ， $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}} < \frac{4}{3}$ ．

查看试题解析
18. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{1} = 1$ ， $\frac{S_{n + 1}}{S_{n}} = \frac{n + c}{n}$ （ $c$ 为常数， $c \neq 1$ ， $n \in N^{*}$ ），且 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3}$ 成等差数列．

(1)、求 $c$ 的值；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、若数列 ${b_{n}}$ 是首项为1，公比为 $c$ 的等比数列，记 $A_{n} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + ⋯ + a_{n} b_{n}$ ， $B_{n} = a_{1} b_{1} - a_{2} b_{2} + ⋯ + (- 1)^{n - 1} a_{n} b_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ．证明： $A_{2 n} + 3 B_{2 n} = \frac{4}{3} (1 - 4^{n})$ ．

查看试题解析
19. 从一个无穷数列 ${a_{n}}$ 中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为 ${a_{n}}$ 的一个无穷递增子列．已知数列 ${b_{n}}$ 是正实数组成的无穷数列，且满足 $b_{n} = | b_{n + 1} - b_{n + 2} |$ ．

(1)、若 $b_{1} = 1$ ， $b_{2} = 2$ ，写出数列 ${b_{n}}$ 前 $4$ 项的所有可能情况；

(2)、求证：数列 ${b_{n}}$ 存在无穷递增子列；

(3)、求证：对于任意实数 $M$ ，都存在 $k \in N^{*}$ ，使得 $b_{k} > M$ ．

查看试题解析
20. 已知数列 $A$ ： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{2 m}$ ，其中 $m$ 是给定的正整数，且 $m \geq 2$ .令 $b_{i} = m i n {a_{2 i - 1} ， a_{2 i}}$ ， $i = 1 ， \cdot \cdot \cdot ， m$ ， $X (A) = m a x {b_{1} ， b_{2} ， ⋯ ， b_{m}}$ ， $c_{i} = m a x {a_{2 i - 1} ， a_{2 i}}$ ， $i = 1 ， \cdot \cdot \cdot ， m$ ， $Y (A) = m i n {c_{1} ， c_{2} ， ⋯ ， c_{m}}$ .这里， $m a x {}$ 表示括号中各数的最大值， $m i n {}$ 表示括号中各数的最小值.

(1)、若数列 $A$ ：2，0，2，1，-4，2，求 $X (A)$ ， $Y (A)$ 的值；

(2)、若数列 $A$ 是首项为1，公比为 $q$ 的等比数列，且 $X (A) = Y (A)$ ，求 $q$ 的值；

(3)、若数列 $A$ 是公差 $d = 1$ 的等差数列，数列 $B$ 是数列 $A$ 中所有项的一个排列，求 $X (B) - Y (B)$ 的所有可能值（用 $m$ 表示）.

查看试题解析
21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 3$ ，且满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、证明数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n - 1}}}$ 是等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $\sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ 的值；

(3)、设 $b_{n} = \frac{(- 1)^{n} \cdot (2 n^{2} + 10 n + 13) \cdot 2^{4 n - 2}}{a_{n}^{2} \cdot a_{n + 1}^{2}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ 的最大值和最小值．

查看试题解析
22. 设正整数数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{2} ， a_{n} 为偶数 \\ a_{n} + 3 ， a_{n} 为奇数 \end{array}$ $(n = 1 ， 2 ， . . . . . .)$ ．

(1)、若 $a_{5} = 1$ ，请写出 $a_{1}$ 所有可能的取值；

(2)、记集合 $M = {a_{n} | n \in N^{*}}$ ，证明：若集合 $M$ 存在一个元素是3的倍数，则 $M$ 的所有元素都是3的倍数；

(3)、若 ${a_{n}}$ 为周期数列，求 $a_{1}$ 所有可能的取值.

查看试题解析
23. 已知 ${a_{n}}$ 是递增的等差数列， $a_{1} + a_{5} = 18$ ， $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{9}$ 分别为等比数列 ${b_{n}}$ 的前三项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、删去数列 ${b_{n}}$ 中的第 $a_{i}$ 项（其中 $i = 1 ， 2 ， 3 ， \dots$ ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列 ${c_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

查看试题解析
24. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 2} = q a_{n}$ （q为实数，且 $q \neq 1$ ）， $n \in N^{*}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，且 $a_{2} + a_{3}$ ， $a_{3} + a_{4}$ ， $a_{4} + a_{5}$ 成等差数列．

(1)、求q的值和 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{l o g_{2} a_{2 n}}{a_{2 n - 1}} ，$ $n \in N^{*}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若对任意的 $n \in N^{*}$ ，满足 $4 (λ n + b_{n}) - (n + 1) b_{n} > λ n S_{n}$ ，试求实数 $λ$ 的取值范围．

查看试题解析
25. 已知数列{ $a_{n}$ }的前n项和 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} > 0$ ， $a_{n} a_{n + 1} = 4 S_{n} - 1$ .

(1)、计算 $a_{2}$ 的值，求{ $a_{n}$ }的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n} a_{n + 1}$ ，求数列{ $b_{n}$ }的前n项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
26. 已知正项等差数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{3 n} = 3 a_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $2 a_{1} ， a_{3} + 1 ， a_{8}$ 成等比数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{2^{a_{n + 1}}}{(1 + 2^{a_{n}}) (1 + 2^{a_{n + 1}})}$ ， $R_{n}$ 是数列 ${c_{n}}$ 的前n项和，若对任意 $n \in N^{*}$ 均有 $R_{n} < λ$ 恒成立，求 $λ$ 的最小值．

查看试题解析
27. 已知数列 ${a_{n}}$ 单调递增且 $a_{1} > 2$ ，前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $4 S_{n} = a_{n}^{2} + 4 n - 1$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $\frac{b_{n + 1}^{2}}{b_{n}} = b_{n + 2}$ ，且 $a_{1} + a_{2} = b_{3}$ ， $b_{2} + 3 = a_{3}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{1}{a_{n} b_{n}}$ ，求证： $c_{1} + c_{2} + c_{3} + \dots + c_{n} < \frac{4}{15}$ .

查看试题解析
28. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是首项为1公比为 $q (q \in N^{*})$ 的等比数列，其前n项和为 $T_{n}$ ，且 $n^{2} (T_{n} + 1) = 2^{n} S_{n}$ ，对任意 $n \in N$ 恒成立.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，记 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $R_{n}$ ，若 $a_{n}^{2} \cdot b_{n} \geq λ (R_{n} - 3)$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

查看试题解析
29. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n}^{2} + 2 a_{n} = 4 S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = {(- 2)}^{\frac{a_{n}}{2}}$ ．

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $B_{n}$ ，并证明 $B_{n + 1}$ ， $B_{n}$ ， $B_{n + 2}$ 是等差数列；

(2)、设 $c_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n} + b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

查看试题解析
30. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = 4$ ， $\frac{S_{n} - n}{n} = \frac{1}{2} a_{n}$ ．

(1)、求证：数列 ${a_{n}}$ 是等差数列；

(2)、从下面两个条件中选一个，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项的和 $T$ ．
① $b_{n} = | a_{n} - 11 |$ ；
② $b_{n} = a_{2 n - 1} a_{2 n} - a_{2 n} a_{2 n + 1}$ ．

查看试题解析