压轴题01 数列（选填题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

试卷更新日期：2023-05-04 类型：三轮冲刺

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一、单选题

1. 若数列 ${b_{n}}$ 、 ${c_{n}}$ 均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得 $b_{m} \in [c_{n} ， c_{n + 1}]$ ，则称数列 ${b_{n}}$ 为数列 ${c_{n}}$ 的“M数列”．已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则下列选项中为假命题的是（）

A、存在等差数列 ${a_{n}}$ ，使得 ${a_{n}}$ 是 ${S_{n}}$ 的“M数列” B、存在等比数列 ${a_{n}}$ ，使得 ${a_{n}}$ 是 ${S_{n}}$ 的“M数列” C、存在等差数列 ${a_{n}}$ ，使得 ${S_{n}}$ 是 ${a_{n}}$ 的“M数列” D、存在等比数列 ${a_{n}}$ ，使得 ${S_{n}}$ 是 ${a_{n}}$ 的“M数列”

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2. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ．若 $f (x + 3)$ 为奇函数， $g (\frac{3}{2} + 2 x)$ 为偶函数，且 $g (0) = - 3$ ， $g (1) = 2$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2023} g (i) =$ （）

A、670 B、672 C、674 D、676

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3. 我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列，那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列 ${f_{n} (x)}$ （ $n \in N_{+}$ ）的通项公式为 $f_{n} (x) = \frac{n^{2} + 2 n x + x^{2} + 1}{(n + x) (n + 1)}$ ， $x \in (0 ， 1)$ ，记 $E_{n}$ 为 $f_{n} (x)$ 的值域， $E = U_{n = 1}^{+ \infty} E_{n}$ 为所有 $E_{n}$ 的并集，则E为（）

A、 $(\frac{5}{6} ， \frac{10}{9})$ B、 $(1 ， \frac{10}{9})$ C、 $(\frac{5}{6} ， \frac{5}{4})$ D、 $(1 ， \frac{5}{4})$

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4. 已知等比数列 ${x_{n}}$ 的公比 $q > - \frac{1}{2}$ ，则（）

A、若 $| x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{100} | < 1$ ，则 $\sqrt{| x_{1} |} + \sqrt{| x_{2} |} + \cdot \cdot \cdot + \sqrt{| x_{100} |} < 10$ B、若 $| x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{100} | > 1$ ，则 $\sqrt{| x_{1} |} + \sqrt{| x_{2} |} + \cdot \cdot \cdot + \sqrt{| x_{100} |} > 10$ C、若 $| x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{101} | < 1$ ，则 $\sqrt{| x_{1} |} + \sqrt{| x_{2} |} + \cdot \cdot \cdot + \sqrt{| x_{101} |} < 10$ D、若 $| x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{101} | > 1$ ，则 $\sqrt{| x_{1} |} + \sqrt{| x_{2} |} + \cdot \cdot \cdot + \sqrt{| x_{101} |} > 10$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $b_{1} = \frac{1}{2}$ ， ${\begin{array}{l} a_{n + 1} = b_{n} + \frac{1}{a_{n}} \\ b_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{b_{n}} \end{array} ， n \in N^{*}$ ，则下列选项错误的是（）

A、 $\frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{1}{4}$ B、 $a_{50} \cdot b_{50} < 112$ C、 $a_{50} + b_{50} = \frac{5}{2} \sqrt{a_{50} \cdot b_{50}}$ D、 $| a_{50} - b_{50} | \leq 15$

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{1}{3} (\sqrt{a_{n}} + 2 a_{n}) (n \in N^{*})$ ．记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $12 < S_{10} < 14$ B、 $14 < S_{10} < 16$ C、 $16 < S_{10} < 18$ D、 $18 < S_{10} < 20$

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 100 ， a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}}$ ，则（）

A、 $\sqrt{200 + 10000} < a_{101} < \sqrt{200.01 + 10000}$ B、 $\sqrt{200.01 + 10000} < a_{101} < \sqrt{200.1 + 10000}$ C、 $\sqrt{200.1 + 10000} < a_{101} < \sqrt{201 + 10000}$ D、 $\sqrt{201 + 10000} < a_{101} < \sqrt{210 + 10000}$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = a (a > 0)$ ， $\sqrt{a_{n + 1} a_{n}} = a_{n} + 1$ ，给出下列三个结论：①不存在 $a$ ，使得数列 ${a_{n}}$ 单调递减；②对任意的a，不等式 $a_{n + 2} + a_{n} < 2 a_{n + 1}$ 对所有的 $n \in N *$ 恒成立；③当 $a = 1$ 时，存在常数 $C$ ，使得 $a_{n} < 2 n + C$ 对所有的 $n \in N *$ 都成立.其中正确的是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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9. 已知 $F$ 为抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点，点 $P_{n} (x_{n} ， y_{n}) (n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯)$ 在抛物线上.若 $| P_{n + 1} F | - | P_{n} F | = 1$ ，则（）

A、 ${x_{n}}$ 是等差数列 B、 ${x_{n}}$ 是等比数列 C、 ${y_{n}}$ 是等差数列 D、 ${y_{n}}$ 是等比数列

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10. 已知数列 $\frac{1}{1}$ ， $\frac{2}{1}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{3}{1}$ ， $\frac{2}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{4}{1}$ ， $\frac{3}{2}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，…，其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数，并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排列，依次类推.此数列第n项记为 $a_{n}$ ，则满足 $a_{n} = 5$ 且 $n \geq 20$ 的n的最小值为（）

A、47 B、48 C、57 D、58

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11. 已知 $△ A_{n} B_{n} C_{n} (n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯)$ 是直角三角形， $A_{n}$ 是直角，内角 $A_{n} ， B_{n} ， C_{n}$ 所对的边分别为 $a_{n} ， b_{n} ， c_{n}$ ，面积为 $S_{n}$ ．若 $b_{1} = 4 ， c_{1} = 3 ， b_{n + 1}^{2} = \frac{a_{n + 1}^{2} + c_{n}^{2}}{3} ， c_{n + 1}^{2} = \frac{a_{n + 1}^{2} + b_{n}^{2}}{3}$ ，则下列选项错误的是（）

A、 ${S_{2 n}}$ 是递增数列 B、 ${S_{2 n - 1}}$ 是递减数列 C、数列 ${b_{n} - c_{n}}$ 存在最大项 D、数列 ${b_{n} - c_{n}}$ 存在最小项

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项都是正数， $a_{n + 1}^{2} - a_{n + 1} = a_{n} (n \in N^{*})$ ．记 $b_{n} = \frac{(- 1)^{n - 1}}{a_{n} - 1}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，给出下列四个命题：
①若数列 ${a_{n}}$ 各项单调递增，则首项 $a_{1} \in (0 ， 2)$ ②若数列 ${a_{n}}$ 各项单调递减，则首项 $a_{1} \in (2 ， + \infty)$ ③若数列 ${a_{n}}$ 各项单调递增，当 $a_{1} = \frac{3}{2}$ 时， $S_{2022} > 2$ ④若数列 ${a_{n}}$ 各项单调递增，当 $a_{1} = \frac{2}{3}$ 时， $S_{2022} < - 5$ ，
则以下说法正确的个数（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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13. 已知正项数列 ${a_{n}}$ ，对任意的正整数m、n都有 $2 a_{m + n} \leq a_{2 m} + a_{2 n}$ ，则下列结论可能成立的是（）

A、 $\frac{a_{n}}{m} + \frac{a_{m}}{n} = a_{m n}$ B、 $n a_{m} + m a_{n} = a_{m + n}$ C、 $a_{m} + a_{n} + 2 = a_{m n}$ D、 $2 a_{m} \cdot a_{n} = a_{m + n}$

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14. 古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A点走向B点，要先走完总路程的三分之一，再走完剩下路程的三分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走，这个人永远走不到终点．另一方面，我们可以从上述第一段“三分之一的路程”开始，通过分别计算他在每一个“三分之一距离”上行进的时间并将它们逐个累加，不难推理出这个人行进的总时间不会超过一个恒定的实数．记等比数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，公比为q，前n项和为 $S_{n}$ ，则造成上述悖论的原理是（）

A、 $q = \frac{1}{6} ， \exists t \in R ， \forall n \in N^{*} ， S_{n} < t$ B、 $q = \frac{1}{3} ， \exists t \in R ， \forall n \in N^{*} ， S_{n} < t$ C、 $q = \frac{1}{2} ， \exists t \in R ， \forall n \in N^{*} ， S_{n} < t$ D、 $q = \frac{2}{3} ， \exists t \in R ， \forall n \in N^{*} ， S_{n} < t$

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15. 已知 $s i n x ， s i n y ， s i n z$ 依次组成严格递增的等差数列，则下列结论错误的是（）

A、 $t a n x ， t a n y ， t a n z$ 依次可组成等差数列 B、 $c o s x ， c o s y ， c o s z$ 依次可组成等差数列 C、 $c o s x ， c o s z ， c o s y$ 依次可组成等差数列 D、 $c o s z ， c o s x ， c o s y$ 依次可组成等差数列

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16. 记 $U = {1 ， 2 ， ⋯ ， 100}$ ．对数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 和U的子集T，若 $T = \emptyset$ ，定义 $S_{T} = 0$ ；若 $T = {t_{1} ， t_{2} ， ⋯ ， t_{k}}$ ，定义 $S_{T} = a_{t_{1}} + a_{t_{2}} + ⋯ + a_{t_{k}}$ ．则以下结论正确的是（）

A、若 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 满足 $a_{n} = 2 n - 1 ， T = {1 ， 2 ， 4 ， 8}$ ，则 $S_{T} = 15$ B、若 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 满足 $a_{n} = 2 n - 1$ ，则对任意正整数 $k (1 \leq k \leq 100) ， T \subseteq {1 ， 2 ， ⋯ ， k} ， S_{T} < a_{k}$ C、若 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 满足 $a_{n} = 3^{n - 1}$ ，则对任意正整数 $k (1 \leq k \leq 100) ， T \subseteq {1 ， 2 ， ⋯ ， k} ， S_{T} \geq a_{k + 1}$ D、若 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 满足 $a_{n} = 3^{n - 1}$ ，且 $C \subseteq U ， D \subseteq U ， S_{C} \geq S_{D}$ ，则 $S_{C} + S_{C ∩ D} \geq 2 S_{D}$

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17. 已知数列 ${a_{n}} 、 {b_{n}} 、 {c_{n}}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = c_{1} = 1 ， c_{n} = a_{n + 1} - a_{n} ， c_{n + 2} = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} \cdot c_{n} (n \in N^{*}) ， S_{n} = \frac{1}{b_{2}} + \frac{1}{b_{3}} + \dots + \frac{1}{b_{n}} （ n \geq 2 ）， T_{n} = \frac{1}{a_{3} - 3} + \frac{1}{a_{4} - 4} + \dots + \frac{1}{a_{n} - n} （ n \geq 3 ）$ ，则下列有可能成立的是（）

A、若 ${a_{n}}$ 为等比数列，则 $a_{2022}^{2} > b_{2022}$ B、若 ${c_{n}}$ 为递增的等差数列，则 $S_{2022} < T_{2022}$ C、若 ${a_{n}}$ 为等比数列，则 $a_{2022}^{2} < b_{2022}$ D、若 ${c_{n}}$ 为递增的等差数列，则 $S_{2022} > T_{2022}$

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + 4 (\sqrt{a_{n - 1}} + \frac{1}{\sqrt{a_{n - 1}}}) (n \in N^{*} ， n \geq 2)$ ， $S_{n}$ 为数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前n项和，则（）

A、 $\frac{7}{3} < S_{2022} < \frac{8}{3}$ B、 $2 < S_{2022} < \frac{7}{3}$ C、 $\frac{5}{3} < S_{2022} < 2$ D、 $1 < S_{2022} < \frac{5}{3}$

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} \cdot a_{n + 1} \cdot a_{n + 2} = - 1 (n \in N^{*}) ， a_{1} = - 3$ ，若 ${a_{n}}$ 的前n项积的最大值为3，则 $a_{2}$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1 ， 0) ∪ (0 ， 1]$ B、 $[- 1 ， 0)$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $(- \infty ， - 1) ∪ (1 ， + \infty)$

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20. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， ${(a_{n} + 1)}^{2} = 4 S_{n}$ ，记 $b_{n} = S_{n} \cdot s i n \frac{n π}{2} + S_{n + 1} \cdot s i n \frac{(n + 1) π}{2}$ ，若数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，则 $T_{100} =$ （）

A、-400 B、-200 C、200 D、400

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21. 设 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{2} = - 7$ ， $S_{5} = 2 a_{1}$ ，当 $| S_{n} |$ 取得最小值时， $n =$ （）

A、10 B、9 C、8 D、7

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{4} + a_{6} = 285$ ， $n a_{n} = (n - 1) a_{n + 1} + 101 (n \in N^{*})$ ，当数列 ${a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2}} (n \in N^{*})$ 的前 $n$ 项和取得最大值时， $n$ 的值为（）

A、53 B、49 C、49或53 D、49或51

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23. 定义在 $R$ 上的函数序列 ${f_{n} (x)}$ 满足 $f_{n} (x) < \frac{1}{n} {f_{n}}^{^{'}} (x)$ （ ${f_{n}}^{^{'}} (x)$ 为 $f_{n} (x)$ 的导函数），且 $\forall x \in N^{*}$ ，都有 $f_{n} (0) = n$ ．若存在 $x_{0} > 0$ ，使得数列 ${f_{n} (x_{0})}$ 是首项和公比均为 $q$ 的等比数列，则下列关系式一定成立的是（）．

A、 $0 < q < 2 \sqrt{2} e^{x_{0}}$ B、 $0 < q < \sqrt[3]{3} e^{x_{0}}$ C、 $q > 2 \sqrt{2} e^{x_{0}}$ D、 $q > \sqrt[3]{3} e^{x_{0}}$

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24. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{n} = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1} (n \geq 2)$ ，则（）

A、 $a_{1} ： a_{2} ： a_{3} = a_{6} ： a_{7} ： a_{8}$ B、 $a_{n} ： a_{n + 1} ： a_{n + 2} = 1 ： 2 ： 2$ C、 $S_{6}$ ， $S_{12}$ ， $S_{18}$ 成等差数列 D、 $S_{6 n}$ ， $S_{12 n}$ ， $S_{18 n}$ 成等比数列

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25. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} + a_{n} = 3 \times 2^{n}$ ，则 $S_{100} =$ （）

A、 $2^{100} - 3$ B、 $2^{100} - 2$ C、 $2^{101} - 3$ D、 $2^{101} - 2$

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26. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列， ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，前n项积为 $T_{n}$ ，则下列选项中正确的是（）

A、若 $S_{2022} > S_{2021}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 单调递增 B、若 $T_{2022} > T_{2021}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 单调递增 C、若数列 ${S_{n}}$ 单调递增，则 $a_{2022} \geq a_{2021}$ D、若数列 ${T_{n}}$ 单调递增，则 $a_{2022} \geq a_{2021}$

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二、多选题

27. “冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数 $x$ ，如果 $x$ 是奇数㩆乘以3再加1，如果 $x$ 是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设 $k \in N^{*}$ ，各项均为正整数的数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{2} ， & a_{n} 为偶数， \\ a_{n} + k ， & a_{n} 为奇数， \end{array}$ 则（）

A、当 $k = 5$ 时， $a_{5} = 4$ B、当 $n > 5$ 时， $a_{n} \neq 1$ C、当 $k$ 为奇数时， $a_{n} \leq 2 k$ D、当 $k$ 为偶数时， ${a_{n}}$ 是递增数列

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28. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $a_{2} = \frac{1}{2}$ ，且满足 $a_{n + 1} a_{n}^{2} = a_{n} - a_{n + 1}$ ， $n \in N^{*}$ ，则（）

A、 $a_{4} - a_{1} = \frac{19}{29}$ B、 $a_{n}$ 的最大值为 $1$ C、 $a_{n + 1} \geq \frac{1}{n + 1}$ D、 $\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}} + \sqrt{a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \sqrt{a_{35}} > 10$

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29. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $4 a_{n} \cdot a_{n + 1} = a_{n} - 3 a_{n + 1}$ （ $n = 1$ ， 2，…），则（）

A、 $3 a_{n + 1} < a_{n}$ B、 $a_{5} = \frac{1}{243}$ C、 $l n (\frac{1}{a_{n}}) < n + 1$ D、 $1 \leq S_{n} < \frac{17}{14}$

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30. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为 $P_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $P_{2} = \frac{5}{9}$ B、 $P_{n + 1} = \frac{2}{3} P_{n} + \frac{1}{3}$ C、点Q移动4次后恰好位于点 $C_{1}$ 的概率为0 D、点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为 $\frac{1}{2} (\frac{1}{3})^{10} + \frac{1}{2}$

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31. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ，有 $a_{n + 1} = a_{n} - b_{n}$ ， $b_{n + 1} = b_{n} - a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则（）

A、若存在 $m > 1$ ， $a_{m} = b_{m}$ ，则 $a_{1} = b_{1}$ B、若 $a_{1} \neq b_{1}$ ，则存在大于2的正整数n，使得 $a_{n} = 0$ C、若 $a_{1} = a$ ， $a_{2} = b$ ，且 $a \neq b$ ，则 $b_{2022} = - b \times 2^{2020}$ D、若 $a_{1} = - 1$ ， $a_{2} = - 3$ ，则关于 $x$ 的方程 $2 a_{3} + (2 a_{3} + 1) c o s x + 2 c o s 2 x + c o s 3 x = 0$ 的所有实数根可构成一个等差数列

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32. 已知 $△ A_{n} B_{n} C_{n} (n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯)$ 是直角三角形， $A_{n}$ 是直角，内角 $A_{n}$ 、 $B_{n}$ 、 $C_{n}$ 所对的边分别为 $a_{n}$ 、 $b_{n}$ 、 $c_{n}$ ，面积为 $S_{n}$ ，若 $b_{1} = 4$ ， $c_{1} = 3$ ， $b_{n + 1}^{2} = \frac{a_{n + 1}^{2} + c_{n}^{2}}{3}$ ， $c_{n + 1}^{2} = \frac{a_{n + 1}^{2} + b_{n}^{2}}{3}$ ，则（）

A、 ${S_{2 n}}$ 是递增数列 B、 ${S_{2 n - 1}}$ 是递减数列 C、 ${b_{n} - c_{n}}$ 存在最大项 D、 ${b_{n} - c_{n}}$ 存在最小项

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33. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n + 1} = - S_{n} + n^{2}$ ，则下列选项中正确的是（）.

A、 $a_{n} + a_{n + 1} = 2 n - 1$ （ $n \geq 2$ ） B、 $a_{n + 2} - a_{n} = 2$ C、若 $a_{1} = 0$ ，则 $S_{100} = 4950$ D、若数列 ${a_{n}}$ 单调递增，则 $a_{1}$ 的取值范围是 $(- \frac{1}{4} ， \frac{1}{3})$

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三、填空题

34. 已知 $n \in N^{*}$ ，将数列 ${2 n - 1}$ 与数列 ${n^{2} - 1}$ 的公共项从小到大排列得到新数列 ${a_{n}}$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{10}} =$ .

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35. 若函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ ，且 $f (x) + f (y) = f (x y)$ ， $f (a_{n}) = n + f (n)$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} f (\frac{a_{i}}{i}) =$ ．

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36. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}}$ （n∈ $N^{*}$ ），若 $t \in Z$ ，则当 $| a_{7} - t |$ 取得最小值时，整数 $t$ 的值为.

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37. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x - 2) = f (x + 2) ， 0 \leq x < 4$ 时， $f (x) = \sqrt{4 - (x - 2)^{2}}$ ， $g (x) = f (x) - k_{n} x (n \in N^{*} ， k_{n} > 0)$ ．若函数 $g (x)$ 的图像与x轴恰好有 $2 n + 1$ 个不同的交点，则 $k_{1}^{2} + k_{2}^{2} + \cdot \cdot \cdot + k_{n}^{2} =$ ．

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38. 已知复数 $z = 1 + i$ ，对于数列 ${a_{n}}$ ，定义 $P_{n} = \frac{a_{1} + 2 a_{2} + \cdot \cdot \cdot + 2^{n - 1} a_{n}}{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的“优值”．若某数列 ${a_{n}}$ 的“优值” $P_{n} = {| z |}^{2 n}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ ；若不等式 $a_{n}^{2} - a_{n} + 4 \geq {(- 1)}^{n} k n$ 对于 $\forall n \in N^{*}$ 恒成立，则k的取值范围是．

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39. 数列 ${a_{n}}$ 是公比为 $q (q \neq 1)$ 的等比数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和. 已知 $a_{1} \cdot a_{3} = 16$ ， $\frac{S_{3}}{q} = 12$ ，给出下列四个结论：
① $q < 0$ ；
②若存在 $m$ 使得 $a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{m}$ 的乘积最大，则 $m$ 的一个可能值是 $3$ ；
③若存在 $m$ 使得 $a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{m}$ 的乘积最大，则 $m$ 的一个可能值是 $4$ ；
④若存在 $m$ 使得 $a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{m}$ 的乘积最小，则 $m$ 的值只能是 $2$ ．
其中所有正确结论的序号是.

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40. 如图，某荷塘里浮萍的面积y（单位： $m^{2}$ ）与时间t（单位：月）满足关系式： $y = a^{t} l n a$ （a为常数），记 $y = f (t)$ （ $t \geq 0$ ）．给出下列四个结论：
①设 $a_{n} = f (n) (n \in N^{*})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是等比数列；
②存在唯一的实数 $t_{0} \in (1 ， 2)$ ，使得 $f (2) - f (1) = f^{'} (t_{0})$ 成立，其中 $f^{'} (t)$ 是 $f (t)$ 的导函数；
③常数 $a \in (1 ， 2)$ ；
④记浮萍蔓延到 $2 m^{2}$ ， $3 m^{2}$ ， $6 m^{2}$ 所经过的时间分别为 $t_{1}$ ， $t_{2}$ ， $t_{3}$ ，则 $t_{1} + t_{2} > t_{3}$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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41. 在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型： $a_{n + 1} = 2 a_{n} + b_{n} ， b_{n + 1} = a_{n} + 2 b_{n} (n = 1 ， 2 ⋯)$ ，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足 $a_{1} > b_{1}$ ，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：
① $\forall n \in N^{*} ， a_{n} > b_{n}$ ；
② $\forall n \in N^{*} ， a_{n + 1} > a_{n} ， b_{n + 1} > b_{n}$ ；
③ $\exists k \in N^{*}$ ，使得当 $n > k$ 时，总有 $| \frac{a_{n}}{b_{n}} - 1 | < 1 0^{- 10}$
④ $\exists k \in N^{*}$ ，使得当 $n > k$ 时，总有 $| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} - 2 | < 1 0^{- 10}$ ．
其中，所有正确结论的序号是

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