人教版初中数学几何辅助线进阶训练——菱形的辅助线（不含相似）

试卷更新日期：2023-05-03 类型：复习试卷

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一、阶段一（较易）

1. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $E$ 为 $B C$ 中点， $A E ⊥ B C$ ， $A F ⊥ C D$ ， $C G ∥ A E$ ， $C G$ 交 $A F$ 于点 $H$ ，交 $A D$ 于点 $G$ .

(1)、求证：四边形 $A E C G$ 是矩形.

(2)、求 $∠ C H A$ 的度数.

(3)、求菱形 $A B C D$ 的面积.

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2. 在 $R t △ A B C$ 中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作 $A F ∥ B C$ 交BE的延长线于点F.

(1)、求证： $△ A E F ≌ △ D E B$ ；

(2)、证明：四边形ADCF是菱形：

(3)、若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积.

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3. 如图，四边形 $A B C D$ 为菱形，点E是 $A D$ 的中点，点F，H是对角线 $B D$ 上两点，且 $F H = 3$ ，点G在边 $B C$ 上．若四边形 $E F G H$ 是矩形，则菱形 $A B C D$ 的周长为．

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4. 如图1，平行四边形 $A B C D$ 中，点E、点F分别是 $A D 、 C D$ 上的点，连接 $C E 、 A F$ ， $∠ B A F = ∠ B C E ， A F = C E$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形．

(2)、如图2，当点E是AD中点时， $A F$ 与 $C E$ 交于点O，连接 $B E 、 B F$ ，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积等于 $△ A E O$ 面积3倍．

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5. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = B D = 10$ ，点F为 $A D$ 的中点， $F E ⊥ B D$ 于E，则 $E F$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ D、 $5 \sqrt{3}$

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6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形．则AE的长是（）

A、15 B、20 C、 $6 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{3}$

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7. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点O， $A C = 2 A B$ ， $B E ∥ A C ， O E ∥ A B$ ．

(1)、求证：四边形 $A B E O$ 是菱形．

(2)、若 $A C = 4 \sqrt{5}$ ， $B D = 8$ ，求四边形 $A B E O$ 的面积．

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8. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $A D$ 的中点，连接 $E F$ 交对角线 $A C$ 于点 $M$ ，连接 $B M .$ 若 $∠ B A D = 120 °$ ， $A E = 2$ ，则 $B M$ 的长为．

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9. 如图，菱形ABCD中， $∠ A = 108 °$ ， AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为N，连结CP，则∠BPC＝度．

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10. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE=BF，连接AE，CF．

(1)、求证：△ADE≌△CBF；

(2)、试连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．

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二、阶段二（中等）

11. 如图所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．当点E、F在BC、CD上滑动时，△CEF的面积最大值是（）

A、4 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{5}{4} \sqrt{3}$ C、3 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{9}{4} \sqrt{3}$

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12. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 24$ ， $B C = 12$ ，点 $E$ 在边 $A B$ 上，点 $F$ 在边 $C D$ 上，点 $G$ 、 $H$ 在对角线 $A C$ 上，若四边形 $E G F H$ 是菱形．则 $A E$ 的长是（）

A、15 B、20 C、 $6 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{3}$

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13. 如图， $A B \begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l} ∥ \end{array} \end{array} \end{array} C D$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $A B$ ， $C D$ 上，连接 $E F$ ， $∠ A E F$ 、 $∠ C F E$ 的平分线交于点 $G$ ， $∠ B E F$ 、 $∠ D F E$ 的平分线交于点 $H$ ．

(1)、求证：四边形 $E G F H$ 是矩形；

(2)、过 $G$ 作 $M N \begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l} ∥ \end{array} \end{array} \end{array} E F$ ，分别交 $A B$ ， $C D$ 于点 $M$ ， $N$ ，过 $H$ 作 $P Q \begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l} ∥ \end{array} \end{array} \end{array} E F$ ，分别交 $A B$ ， $C D$ 于点 $P$ ， $Q$ ，得到四边形 $M N Q P$ ，此时，求证四边形 $M N Q P$ 是菱形．

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14. 如图，菱形ABCD的边长是4，∠A=60°，点G为AB的中点，以BG为边作菱形BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，连接PB．则PB= ．

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15. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E是AD边上一点，且 $O D = O E$ ．若 $A C = 8$ ， $B D = 6$ ，则AE的长是．

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16. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $C D = 2 A D$ ， $B E ⊥ A D$ 于点 $E$ ， $F$ 为 $D C$ 的中点，连结 $E F$ ， $B F$ ，下列结论：① $∠ A B C = 2 ∠ A B F$ ，② $∠ D E F + ∠ E B F = 90^{\circ}$ ；③ $S_{四边形 D E B C} = 2 S_{△ E F B}$ ；④ $∠ C F E = 3 ∠ D E F$ ，其中正确结论的个数共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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17. ▱ ABCD 中， ∠BAD的平分线交直线 BC 于点 E，线 DC于点 F

(1)、求证： $C E = C F$ ；

(2)、若 $∠ A B C = 120 °$ ， $F G / / C E$ ， $F G = C E$ ，求 $∠ B D G$ .

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18. （问题发现）数学小组成员小明做作业时遇到以下问题：

图1 图2 图3

(1)、若四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ A B C = 60 °$ ，点 $P$ 是射线 $B D$ 上一动点，以 $A P$ 为边向右侧作等边 $△ A P E$ ，如图1，当点E在菱形 $A B C D$ 内部或边上时，连接 $C E 、 C A$ ，则 $B P$ 与 $C E$ 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；

(2)、（类比探究）数学小组对该问题进行进一步探究：
若四边形 $A B C D$ 是正方形，点P是射线 $B D$ 上一动点，以 $A P$ 为直角边在 $A P$ 边的右侧作等腰 $R t △ A P E$ ，其中 $∠ A P E = 90 ° ， A P = P E$ .

①如图2，当点 $P$ 在对角线 $B D$ 上时，小组发现点 $E$ 恰好在射线 $C D$ 上，求 $B P$ 与 $C E$ 之间的数量关系（过程只用说明点 $E$ 在线段 $C D$ 上的情况即可）；

②如图3，当P是对角线 $B D$ 的延长线上一动点时，小组发现点 $E$ 恰好在射线 $C D$ 上，连接 $B E$ ，若 $B E = 6 ， A B = 2$ ，求 $△ B P E$ 的面积．

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19. 在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE，EF。

(1)、如图1，当E是线段AC的中点时，BE和EF的数量关系是；

(2)、如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断(1)中的结论是否成立？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；

(3)、如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，(1)中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。

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20. 如图，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=120°，过对角线AC延长线上的一点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为E、F，则PE-PF= 。

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三、阶段三（较难）

21. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $O A B C$ 的对角线 $O B$ 上有P，Q两个动点，且 $P Q = 2$ ，已知点 $A (2 \sqrt{3} ， 0) ， ∠ A O C = 60 °$ ，当 $△ C P Q$ 周长最小时，点P的坐标为.

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22. 在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， P是直线 $B D$ 上一动点，以 $A P$ 为边向右侧作等边 $△ A P E$ （A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化.

(1)、如图1，当点P在线段 $B D$ 上，且点E在菱形 $A B C D$ 内部或边上时，连接 $C E$ ，则 $B P$ 与 $C E$ 的数量关系是， $B C$ 与 $C E$ 的位置关系是；

(2)、如图2，当点P在线段 $B D$ 上，且点E在菱形 $A B C D$ 外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；

(3)、当点P在直线 $B D$ 上时，其他条件不变，连接 $B E$ ，若 $A B = 2$ ， $B E = \sqrt{31}$ ，请直接写出 $△ A P E$ 的面积.

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23. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B = 60 °$ ， $M$ 、 $N$ 分别为线段 $A B$ 、 $B C$ 上的两点．且 $B M = C N$ ， $A N$ ， $C M$ 相交于点 $E$

(1)、证明： $△ B C M$ ≌ $△ C A N$ ；

(2)、求 $∠ A E M$ 的度数；

(3)、证明： $A E + C E = D E$ ．

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24. 菱形 $A B C D$ 的边长为 $30$ ， $∠ A D C = 120 °$ ，点 $O$ 是对角线 $A C$ 中点， $M$ 是线段 $O C$ 上任一点，连接 $D M$ ，作 $∠ D M N = 120 °$ ，边 $M N$ 与直线 $A B$ 相交于点 $N$ ．

小南和小浦观察以上问题时，猜想 $D M = M N$ ，老师引导他们用“从特殊到一般”的思想方法去尝试研究．

(1)、【特例发现】
小南发现：当点 $M$ 与点重合时， $D M$ 与 $M N$ 的长度相等，为；

(2)、【探究证明】
小浦认为当 $N$ 在线段 $A B$ 上时，均有“ $D M = M N$ ”，请帮助完成证明．

(3)、【拓展运用】
①连结 $D N$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，求证： $∠ A D E + ∠ M D C$ 为定值．
②当 $M N^{2} + D E^{2} = A E^{2}$ 时， $S_{△ A D E} =$ ▲ ．

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25. 小明同学学习了菱形的知识后，结合之前学习的赵爽弦图，编了一个菱形版“赵爽弦图” $.$ 如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ，四边形 $E F G H$ 是矩形，若 $F A = F B = 2 \sqrt{2}$ ，则矩形 $E F G H$ 的面积为．

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26. 已知，菱形ABCD（∠C＜90°）的对角线长分别为6和8，点E在边BC上，BE＝1，若点F在直线AB上，且AE＝DF，则BF的长为.

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27. 如图，四边形ABCD是菱形，点M在CD边上，点N在菱形ABCD外部，且满足MN∥AD，CM＝MN，连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC.

(1)、探究BE与AC的关系；

(2)、若∠ABC＝120°，探究线段BE、AD、CM所满足的等量关系；

(3)、若∠ABC＝60°，M在DC的延长线上时，其余条件不变，CM＝1，AD＝3，请求出BE的长度.

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28. 如图，菱形ABCD中，AB＝12，∠BAD＝60°，E为线段BC的中点.若点P是线段AB上的一动点，Q为线段AD上一动点，则 $△$ PQE的周长的最小值是.

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29. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 60 °$ ， E是对角线 $B D$ 上一点，F是线段 $A B$ 延长线上一点且 $B F = D E$ ，连接 $A E$ ．

(1)、如图，若E是线段 $B D$ 的中点，连接 $E F$ ，其他条件不变，直接写出线段 $A E$ 与 $E F$ 的数量关系；

(2)、如图，若E是线段 $B D$ 上任意一点，连接 $E F$ ，其他条件不变，猜想线段 $A E$ 与 $E F$ 的数量关系是什么？并证明你的猜想；

(3)、如图，若E是线段 $D B$ 延长线上一点，其他条件不变，且 $∠ E A B = 30 °$ ，菱形 $A B C D$ 的周长为 $4 \sqrt{7}$ ，直接写出 $D F$ 的长度．

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30. 如图，在▱ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC，BD相交于点E，F，O．

(1)、求证：四边形BEDF是菱形；

(2)、在▱ABCD中，若AB＝2.5，AD＝4，有两动点P，Q分别从B，D两点同时出发，沿△BAE和△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是x，点Q运动的路程是y，当四边形BPDQ是平行四边形时，则请直接写出x+y的值为．

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