人教版初中数学几何辅助线进阶训练——矩形的辅助线（不含相似）

试卷更新日期：2023-05-03 类型：复习试卷

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一、阶段一（较易）

1. 如图，四边形 $A B C D$ 是矩形，点 $E$ 是 $B C$ 延长线一点，连接 $D E$ ， $B F$ 垂直平分 $D E$ ，垂足为 $F$ ，点 $G$ 在 $B E$ 上，点 $H$ 在 $A B$ 上，且 $G H / / D E$ .

(1)、若 $B C = 3$ ， $C E = 2$ ，求 $D F$ ；

(2)、若 $G E = A D + B G$ ，求证： $G H = E F$ .

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2. 如图，在长方形ABCD中，AB＝8，GC＝ $\frac{9}{8}$ ， AE平分∠BAG交BC于点E，E是BC的中点，则AG的长为.

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3. 如图，四边形 $A B C D$ 和四边形 $A E F C$ 是两个矩形，点B在 $E F$ 边上，若 $A B = 2 ， A C = 3$ ，则矩形 $A E F C$ 的面积为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、6

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4. 如图，长方形ABCD中， $A B = 3$ ， $B C = 3 \sqrt{3}$ ， $∠ C B D = 30 °$ ，点M是射线BD上一点（不与点B，D重合），连接AM，过点M作 $M N ⊥ A M$ 交直线BC于点N，若 $△ B M N$ 是等腰三角形，则 $B N =$ ．

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5. 如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD，DC，CB．

(1)、求证：四边形ABCD是矩形；

(2)、以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数．

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，点E为AD的中点，作点B关于点E的对称点F，连接 $A F$ ， $C F$ ．

(1)、求证：四边形 $A D C F$ 为矩形；

(2)、若 $A D = B C$ ， $A B = 2 \sqrt{5}$ ，求 $B F$ 的长．

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7. 如图，△ABC中，AB=AC，AD为BC上的高线，E为AB边上一点，EF⊥BC于点F，交CA的延长线于点G. 已知EF=2，EG=3. 则AD的长为．

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8. 已知，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，EF．

(1)、如图①，当CF＝2BE＝2时，试说明△DEF是直角三角形；

(2)、如图②，若点E是边AB的中点，DE平分∠ADF，求BF的长．

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9. 如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，那么△ECD的面积是（）

A、2 $\sqrt{3}$ B、4 $\sqrt{3}$ C、8 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{4}{3}$ $\sqrt{3}$

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1 ， A D = 2$ ，点M在边 $B C$ 上，若 $M A$ 平分 $∠ D M B$ ，则 $C M$ 的长是（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3}$

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二、阶段二（一般）

11. 如图，将长方形纸片 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠后，点A，B分别落在 $A^{'}$ ， $B^{'}$ 的位置，再沿 $A D$ 边将 $∠ A^{^{'}}$ 折叠到 $∠ H$ 处，已知 $∠ 1 = 54 °$ ，则 $∠ A E F =$ $°$ ， $∠ F E H =$ $°$ .

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12. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E是对角线 $A C$ 上一点，有 $A E = A B = \sqrt{3} B C$ 且 $B C = a$ ，点P是 $B E$ 上一动点，则点P到边 $A B$ ， $A C$ 的距离之和 $P M + P N$ 的值（）

A、有最大值a B、有最小值 $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ C、是定值 $\frac{1}{2} a$ D、是定值 $\frac{\sqrt{3}}{2} a$

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13. 矩形 $A B C D$ 与矩形 $C E F G$ 如图放置，点 $B$ 、 $C$ 、 $E$ 共线，点 $C$ 、 $D$ 、 $G$ 共线，连接 $A F$ ，取 $A F$ 的中点 $H$ ，连接 $G H .$ 若 $B C = E F = 3$ ， $C D = C E = 1$ ，则 $G H =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\frac{4}{3}$

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14. 如图是一张矩形纸片 $A B C D$ ，点 $M$ 是对角线 $A C$ 的中点，点 $E$ 在 $B C$ 边上，把 $△ D C E$ 沿直线 $D E$ 折叠，使点 $C$ 落在对角线 $A C$ 上的点 $F$ 处，连接 $D F$ ， $E F .$ 若 $M F = A B$ ，则 $∠ D A F =$ 度 $.$

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15. AM∥BN，AB $⊥$ BN，垂足为B，点C在直线BN上，AC $⊥$ CD，AC=CD，DE $⊥$ AM，垂足为E．

(1)、如图①，求证：DE+BC=AB；

(2)、如图②、图③，请分别写出线段DE，BC与AB之间的数量关系，不需要证明；

(3)、在（1）、（2）的条件下，AC $^{2}$ =100，AB-BC =2，则线段DE= ．

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16. 如图，矩形ABCD中， $A E ⊥ B D$ 交CD于点E，点F在AD上，连接CF交AE于点G， $C G = G F = A F$ ，若 $B D = 4 \sqrt{3}$ ，则CD的值为．

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17. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC、FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为．

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18. 如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF=BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．

(1)、若∠BAE＝65°，∠DEC＝40°，求∠ECD的度数；

(2)、求证：四边形AFHD为平行四边形；

(3)、连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证： $E F ⊥ E G$ ．

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19. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $M$ ， $N$ 分别是边 $A B$ ， $C D$ 的中点， $B P ⊥ A N$ 于 $P$ ， $C P$ 的延长线交 $A D$ 于 $Q$ ．下列结论：① $P M = C N$ ；② $P M ⊥ C Q$ ；③ $P Q = A Q$ ；④ $D Q < 2 P N$ ．其中结论正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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20. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点H，G分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝8，则GH的长度为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{73}}{2}$ D、5

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三、阶段三（较难）

21. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $D E ⊥ A C$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，点 $F$ 在 $C D$ 上，连接 $B F$ 交 $D E$ 于点 $G$ ，且 $B G = G F = D F$ ，若 $A C = 6 \sqrt{2}$ ，则 $B C$ 的值是（）

A、 $3 \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{15}$ D、8

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22. 如图：在平面直角坐标系内有长方形 $O A B C$ ，点A，C分别在y轴，x轴上，点 $D (4 ， 3)$ 在 $A B$ 上，点E在 $O C$ 上，沿 $D E$ 折叠，使点B与点O重合，点C与点 $C_{1}$ 重合．若点P在坐标轴上，且 $△ A P C_{1}$ 面积是18，则点P坐标为．

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23. 阅读下列材料，完成相应任务．

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

如图1，△ABC中， $∠ A B C = 90 °$ ， BD是斜边AC上的中线．求证：BD＝ $\frac{1}{2}$ AC．

分析：要证明BD等于AC的一半，可以用“倍长法”将BD延长一倍，如图2．延长BD到E，使得DE＝BD．

连接AE，CE．可证BE＝AC，进而得到BD＝ $\frac{1}{2}$ AC．

(1)、请你按材料中的分析写出证明过程；

(2)、如图3，点C是线段AB上一点，CD⊥AB，点E是线段CD上一点，分别连接AD，BE，点F，G分别是AD和BE的中点，连接FG．若AB＝12，CD＝8，CE＝3，则

F G =

．

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24. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 9$ ， $A D = 14$ ．点 $E$ 、点 $F$ 分别在 $A D$ 、 $B C$ 上，且 $A E = C F = 1$ ，点 $G$ 是 $D C$ 边上的动点，点 $H$ 是 $A B$ 边上的动点．则 $E G + H G + H F$ 的是小值是．

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25. 在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，点P是直线AB上一点，且不与点A，点B重合，连接CP，作等边三角形PCE．

(1)、如图1，若点P在线段AB上，连接DE，则线段PB，DE之间的数量关系是；

(2)、如图2，若点P在线段AB的延长线上，连接AE，求证：EA＝EP；

(3)、如图3，若点P在线段BA的延长线上，顺次连接四边形ABCE各边的中点，则所得四边形的形状是．

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26. 如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠BAM的平分线，BE⊥AN，垂足为E.已知AD＝4，BD＝3.

(1)、求证：四边形ADBE是矩形；

(2)、如图2，延长AD至点F，使AF＝AB，连接BF，G为BF的中点，连接EG，DG.求EG的长.

(3)、如图3，在（2）问的条件下，P为BE边上的一个动点，连接PG并延长交AD延长线于点Q，连接CQ，H为CQ的中点，求点P从E点运动到B点时，点H所经过的路径长.

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27. 如图1，已知 $△ A B C ≌ △ E B D$ ， $∠ A C B = ∠ E D B = 90 °$ ，点D在 $A B$ 上，连接 $C D$ 并延长交 $A E$ 于点F，

(1)、猜想：线段 $A F$ 与 $E F$ 的数量关系为；

(2)、探究：若将图1的 $△ E B D$ 绕点B顺时针方向旋转，当 $∠ C B E$ 小于 $180 °$ 时，得到图2，连接 $C D$ 并延长交 $A E$ 于点F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)、拓展：图1中，过点E作 $E G ⊥ C B$ ，垂足为点G.当 $∠ A B C$ 的大小发生变化，其它条件不变时，若 $∠ E B G = ∠ B A E$ ， $B C = 6$ ，直接写出 $A B$ 的长.

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28. 将一块直角三角板的直角顶点和矩形ABCD（AB＜BC）的对角线的交点O重合，如图（①→②→③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．

(1)、图①（三角板一直角边与OD重合）中，连接DN，则BN与DN的数量关系是，进而得到BN，CD，CN的数量关系是；

(2)、写出图③（三角板一边与OC重合）中，CN，BN，CD的数量关系是；

(3)、试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．

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29. 如图，平行四边形ABCD中，AE⊥CD于E，BF平分∠ABC与AD交于F.AE与BF交于G.

(1)、延长DC到H，使CH＝DE，连接BH.求证：四边形ABHE是矩形.

(2)、在（1）所画图形中，在CH的延长线上取HK＝AG，当AE＝AF时，求证：CK＝AD.

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30. 如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q在边CE上，且PF＝CQ，连结AC和PQ，N，M分别是AC，PQ的中点，则MN的长为（）

A、3 B、6 C、 $\frac{\sqrt{37}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$

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