人教版初中数学几何辅助线进阶训练——等腰三角形的辅助线（不含相似）

试卷更新日期：2023-05-03 类型：复习试卷

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一、一阶段（较易）

1. 如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，DC＝EF.

(1)、求证：四边形EFCD是平行四边形；

(2)、若BF＝EF，求证：AE＝AD.

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 75 °$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $A C = 6$ ，点D在 $A C$ 上，过点D作 $A C$ 的垂线，分别交射线 $B C$ ，线段 $A B$ 于点E，F，连接 $C F$ ， $C F$ 恰好平分 $∠ A C B$ ，则线段 $B E$ 的长是.

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中，过点B作 $△ A B C$ 的角平分线 $A D$ 的垂线，垂足为F， $F G ∥ A B$ 交 $A C$ 于点G，若 $A B = 4$ ，则线段 $F G$ 的长为 .

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4. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形，D是 $A C$ 边上一点，在 $C A$ 右侧作 $∠ A C E = ∠ A B D$ ，且 $C E = B D$ ，连接 $A E$ ， $D E$ ．

(1)、求证： $△ A D E$ 是等边三角形；

(2)、若D是等边 $△ A B C$ 外一点，且与点A都在直线 $B C$ 同侧，若 $∠ B D C = 60 °$ ，连接 $A D$ ，画出图形，探究线段 $A D$ 、 $B D$ 、 $C D$ 之间的数量关系，并说明理由．

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5. 如图，在 $△ ABC$ 中，已知 $AB = AC$ ， $AD$ 是 $BC$ 边上的中线，点 $E$ 是 $AB$ 边上一动点，点 $P$ 是 $AD$ 上的一个动点．

(1)、若 $∠ BAD = 37 °$ ，求 $∠ ACB$ 的度数；

(2)、若 $BC = 6$ ， $AD = 4$ ， $AB = 5$ ，且 $CE ⊥ AB$ 时，求 $CE$ 的长；

(3)、在（2）的条件下，请直接写出 $BP + EP$ 的最小值．

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6. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．

(1)、求证：△ADC≌△AEB；

(2)、判断△EGM是什么三角形，并证明你的结论；

(3)、判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．

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7. 如图， $∠ A O B = 15 °$ ，点 $P$ 是 $O A$ 上一点，点 $Q$ 与点 $P$ 关于 $O B$ 对称， $Q M ⊥ O A$ 于点 $M$ ，若 $O P = 6$ ，则 $Q M$ 的长为．

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8. 如图，在等边△ABC中，点D为边BC上一点，∠ABE＝∠CAD，CF∥BE交AD的延长线于点F.

(1)、求∠AEB的度数；

(2)、若BE＝10，AF＝15，求AE的长.

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9. 已知，在等边三角形 $A B C$ 中，点O在 $A B$ 上，点P在 $C B$ 的延长线上，且 $O P = O C$ .

(1)、如图1，当点O为 $A B$ 的中点时，确定线段 $A O$ 与 $P B$ 的大小关系，请你直接写出结论；

(2)、如图2，当点O为 $A B$ 边上任意一点，确定线段 $A O$ 与 $P B$ 的大小关系，请你写出结论，并说明理由；

(3)、在等边三角形 $A B C$ 中，点O在直线 $A B$ 上，点P在线段 $C B$ 的延长线上，且 $O P = O C$ ，若 $△ A B C$ 的边长为2， $A O = 5$ ，求 $C P$ 的长.（请画出相应图形，并写出解题过程）

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10. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ C A B = ∠ C B A = 48 °$ ，点 $O$ 为 $△ A B C$ 内一点， $∠ O A B = 12 °$ ， $∠ O B C = 18 °$ ，则 $∠ A C O =$ （）

A、60° B、72° C、70° D、65°

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二、二阶段（中等）

11. 如图，在 ▱ ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，AE平分∠FAD，交CD于中点E，连接EF．若∠FAD＝60°，AD＝5，CF＝3，则EF＝．

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12. 如图，正方形ABCD的边长为2，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连结EF．给出四种情况：

①若G为BD上任意一点，则AG=EF；

②若BG=AB，则∠DAG=22.5°；

③若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；

④若DG：BG=1：3，则S_△_ADG= $\frac{1}{2}$

则其中正确的是.

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13. 如图，分别以正方形ABCD的两条边AD、CD为边向外作两个正三角形，即△ADG与△CDF，然后延长GA，FC交于点E，得到一个“镖型”ABCE.已知正方形ABCD的边长为2，则“镖型”ABCE的周长为（）

A、8+ $\sqrt{10}$ B、4+4 $\sqrt{5}$ C、4+4 $\sqrt{3}$ D、8+4 $\sqrt{3}$

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14. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ C D$ ， $E$ 为 $B C$ 中点，点 $M$ 在线段 $B E$ 上，连接 $A M$ ，在 $B C$ 下方有一点 $N$ ，满足 $∠ C A D = ∠ B C N$ ，连接 $M N$ ．

(1)、若 $∠ B C N = 60 °$ ， $A E = 5$ ，求 $Δ A B E$ 的面积；

(2)、若 $M A = M N$ ， $M C = E A + C N$ ，求证： $A B = \sqrt{3} A E$ ．

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15. 如图，已知射线BC⊥AB，以AB为斜边作Rt△ABD，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，BF平分∠CBE交AE于点F．

(1)、求证：BD＝DF；

(2)、若AB＝2，以AE为边向下作∠AEG＝45°，交射线BC于点G，求BG的长．

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16. 如图，点A，B，C，D顺次在直线l上， $A C = a$ ， $B D = b$ ，以 $A C$ 为边向下作等边 $△ A C F$ ，以 $B D$ 为底边向上作等腰 $R t △ B D E$ ，当 $A B$ 的长度变化时， $△ C D F$ 与 $△ A B E$ 的面积差S始终保持不变，则a，b满足（）

A、 $b = \sqrt{3} a$ B、 $a = \sqrt{3} b$ C、 $b = \sqrt{2} a$ D、 $a = b$

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17. 如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD为△ABC的角平分线；

(1)、若AB＝BD，则∠A的度数为 °（直接写出结果）；

(2)、如图1，若E为线段BC上一点，∠DEC＝∠A；求证：AB＝EC.

(3)、如图2，若E为线段BD上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC.

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18. $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等边三角形，当 $△ A D E$ 绕点A旋转到图1的位置时，连接连接 $B D$ ， $C E$ 相交于点 $P$ ，连接 $P A$ ．

(1)、请猜想线段 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 之间有怎样的数量关系？并加以证明；

(2)、将 $△ A D E$ 绕点A旋转到图2的位置时，其他条件不变，请直接写出线 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 之间的数量关系，不需要证明．

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19. 如图，在 $△ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $D$ 为边 $AB$ 的中点， $E$ 、 $F$ 分别为边 $AC$ 、 $BC$ 上的点，且 $AE = AD$ ， $BF = BD .$ 若 $DE = \sqrt{2}$ ， $DF = 2$ ，则 $∠ EDF =$ $°$ ，线段 $AB$ 的长度 $=$ ．

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20. 如图，在等边 $△ A B C$ 中，点D，E分别是 $A C ， A B$ 上的动点，且 $A E = C D$ ， $B D$ 交 $C E$ 于点P.

(1)、如图1，求证： $∠ B P C = 120 °$ ；

(2)、点M是边 $B C$ 的中点，连接 $P A ， P M$ .
①如图2，若点A，P，M三点共线，则 $P A$ 与 $P M$ 的数量关系是 .

②若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由.

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三、三阶段（较难）

21. 问题提出：一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形.我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题.

如图①，两条长度相等的线段 $A B$ 和 $C D$ 相交于O点， $∠ A O C = 60 °$ ，直线 $A C$ 与直线 $B D$ 的夹角为 $α$ ，求线段 $A C$ 、 $B D$ 、 $A B$ 满足的数量关系.

分析：考虑将 $A C$ 、 $B D$ 和 $A B$ 集中到同一个三角形中，以便运用三角形的知识寻求三条线段的数量关系：

如图②，作 $C E / / A B$ 且 $C E = A B$ ，则四边形 $A B E C$ 是平行四边形，从而 $A C = B E$ ；

由于 $C D = A B = C E$ ， $∠ E C D = ∠ A O C = 60 °$ ，所以 $△ E C D$ 是等边三角形，故 $E D = A B$ ；

通过平行又求得 $∠ E B D = 180 ° - α$ .

在 $△ B E D$ 中，研究三条线段的大小关系就可以了.

(1)、如图②，若 $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $B D = 6$ ， $α = 30 °$ ，请直接写出线段 $A B$ 的长；

(2)、问题解决：如图③，矩形 $A B C D$ 中，E、F分别是 $A D$ 、 $C D$ 上的点，满足 $A E = C D$ ， $D E = C F$ ，求证： $A F = \sqrt{2} C E$ ；

(3)、拓展应用：如图④， $△ A B C$ 中， $∠ A = 45 °$ ， D、E分别在 $A C$ 、 $A B$ 上， $B D$ 、 $C E$ 交于点O， $B D = C E$ ， $∠ B O C = 120 °$ ，若 $B E = 4$ ， $C D = 3 \sqrt{2}$ ，则 $B D =$ .

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22. 对于一个四边形给出如下定义：一组对角为 $60 °$ ，一组邻边相等的四边形称为“六零”四边形．

(1)、图1是一个“六零”四边形，其中 $∠ A = ∠ C = 60 °$ ， $D A = D C$ ．
①猜想 $B A$ 与 $B C$ 的数量关系是 ▲ ；
②证明你的猜想．

(2)、图2是一个“六零”四边形，其中 $∠ B A D = ∠ B C D = 60 °$ ， $A B = A D$ ，连接 $A C$ ， $B D$ ．
① $△ A B D$ 是三角形；
②若 $C B = m$ ， $C D = n$ ，则 $A C^{2} =$ （用含m，n的代数式表示）．

(3)、在（2）的条件下，如图3，延长 $B C$ 到点F，使得 $B C = C F$ ，连接DF．求证： $∠ F = ∠ A C D$ ．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中，P为平面内的一点，连接 $A P 、 P B 、 P C$ ，若 $∠ A C B = 30 ° ， A C = 8 ， B C = 10$ ，则 $4 P A + 2 P B + 2 \sqrt{3} P C$ 的最小值是（）

A、 $4 \sqrt{89}$ B、36 C、 $4 \sqrt{10} + 2 \sqrt{5} + 6 \sqrt{7}$ D、 $16 \sqrt{10} - 10$

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24. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上， $A (0 ， 4 \sqrt{3})$ .在第一象限内作等腰 $△ A O C$ ， $A O = A C$ ， $∠ O A C = a (0 ° < a \leq 90 °)$ .点D为x轴正半轴上的动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转a度，得到线段AE，连接EC并延长交x轴于点F.

(1)、如图1，当 $a = 90 °$ 时，线段OF与CF的数量关系是；

(2)、如图2，当 $0 ° < a < 90 °$ 时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(3)、若 $a = 60 °$ ，
①求点F的坐标；
②过点E作 $E P ⊥ x$ 轴，垂足为P，当 $△ P C E$ 是等腰三角形时，求P点的坐标.

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25. 如图，在边长为 $6$ 的正方形 $A B C D$ 中，过 $A D$ 中点E作正 $△ E A F$ ，过点F的直线分别交边 $A B$ 、 $D C$ 于点G、H、已知点M、N分别是线段 $F H$ 、 $A B$ 的动点，且 $△ E M N$ 是等边三角形.

(1)、判断 $E F$ 与 $G H$ 的位置关系，并说明理由.

(2)、当点N在线段 $G B$ 上时
①求证： $A G = F G$
②试判断 $M H + G N$ 的结果是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值.

(3)、设 $∠ N E A = α$ ，点A关于 $E N$ 的对称点为 $A^{'}$ ，若点 $A^{'}$ 落在 $△ E M N$ 的内部，请直接写出 $α$ 的范围.

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26. 如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，以AB为边在AB上方作等边△ABD，以BC为边在BC右侧作等边△CBE，连结DE.

(1)、当AC＝5时，求BE的长.

(2)、求证：BD⊥DE.

(3)、如图2，点C′与点C关于直线AD对称，连结C′E.
①求C′E的长.

②连结C′D，当△C′DE是以C′E为腰的等腰三角形时，写出所有满足条件的AC长：　 .（直接写出答案）

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27. 如图，在△ABC中，E是AB中点，F是AC上一动点，连结EF，将△AEF沿直线EF折叠得△DEF．

(1)、如图①，若∠B=45°，且点D恰好落在线段BC上，求证：点F为线段AC的中点；

(2)、如图②，若△ABC为等边三角形，且边长为4，当点D落在线段CE上时，求AF的长度；

(3)、如图③，若△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，AC=8．连结AD、BD、CD，若△ACD与△BDC面积相等，且CD=4，求△ABC的面积．

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28. 如图，在等边 $△ A B C$ 中，D为 $B C$ 上一点， $D E ∥ A B$ ，且 $D E = B D$ .

(1)、如图1，若点E在 $A C$ 边上，求证： $A E = C E$ ；

(2)、如图2，若点E在 $△ A B C$ 内，连接CE，F为 $C E$ 的中点，连接 $A F ， D F$ ，求证： $A F ⊥ D F$ .

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29. 如图，已知 $△ A B C$ 为等腰直角三角形，且面积为4.点D是 $B C$ 的中点，点F是直线 $A B$ 上一动点，连结 $D F$ .

(1)、求线段 $B C$ 的长；

(2)、当点E在射线 $B C$ 上，且 $C E = 2 B C$ 时，连结 $F E$ ，若 $A F = 3 A B$ ，试判断 $△ D E F$ 是否为等腰三角形，并说明理由；

(3)、直线 $A B$ 上是否存在点F（F不与 $A B$ 重合），使 $△ A C F$ 的其中两边之比为 $1 ： \sqrt{2}$ ？若存在，求出 $B F$ 的长；若不存在，请说明理由.

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30. 如图1，已知 $∠ E A F = 30 °$ ，定点P在射线 $A E$ 上，动点B在射线 $A F$ 上，作凸四边形 $A B P C$ ，使 $P C = P B$ ，且 $∠ C P B = 150 °$ .

(1)、如图1，当 $∠ P B A$ 为锐角时.
①若 $∠ P B A = α$ ，试用含 $α$ 的式子表示 $∠ C P A$ ；
②过点C作 $C H ⊥ A P$ 于点H，求证： $C H = \frac{1}{2} A P$ .

(2)、如图2，当点B运动到 $P C ∥ A B$ 时，连接 $B C$ 交 $A P$ 于点K，试用等式表示线段 $P C$ ， $P K$ ， $A B$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3)、若点B关于直线 $A P$ 的对称点为点D，连接 $D P$ ， $D C$ ，当 $△ D P C$ 为等腰直角三角形时，请直接写出 $\frac{S_{△ P A C}}{S_{△ P C D}}$ 的值.

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