2023年苏科版数学八年级下册全方位训练卷12.3二次根式的加减法

试卷更新日期：2023-05-02 类型：同步测试

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一、单选题（每题3分，共24分）

1. 化简 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 的结果是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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2. $\sqrt{2}$ 的倒数是（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 下列二次根式中，可以与 $\sqrt{3}$ 合并的是（）

A、 $\sqrt{9}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ D、 $\sqrt{3 a}$

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4. 下列计算中，正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} = \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{15} \div \sqrt{3} = 5$ D、 $\sqrt{15} \times \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}$

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5. 已知a= $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ，b= $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，则a与b的关系是（）

A、相等 B、互为相反数 C、互为倒数 D、平方值相等

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6. 若 $x + \frac{1}{x} = 7$ ，则 $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ 的值是（）

A、3 B、±3 C、 $\sqrt{5}$ D、± $\sqrt{5}$

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7. 已知m、n是两个连续自然数（m＜n），且 $q = m n$ ， $p = \sqrt{q + n} + \sqrt{q - m}$ ，则p（）

A、总是奇数 B、总是偶数 C、有时奇数，有时偶数 D、有时是有理数，有时是无理数

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8. 如图，甲，乙，丙三人手中各有一张纸质卡片，卡片的正面分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（）

A、0张 B、1张 C、2张 D、3张

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二、填空题（每空3分，共24分）

9. 已知n是正整数， $\sqrt{18 n}$ 是整数，则n的最小值为.

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10. 分母有理化： $\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}}$ ＝．

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11. 最简二次根式 $\sqrt{4 - 3 x}$ 与二次根式 $\sqrt{8}$ 是同类二次根式，则x＝．

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12. 若x为实数，在“ $(\sqrt{3} + 1)$ □ $x$ ”的“□”中填上一种运算符号（在“+，-，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数.给出下列四个数：① $\sqrt{3} + 1$ ；② $\sqrt{3} - 1$ ；③ $2 \sqrt{3}$ ；④ $1 - \sqrt{3}$ .则x不可能是（填序号即可）

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13. 计算： ${(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2023} \cdot {(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2022} =$ ．

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14. 当a＝1＋ $\sqrt{2}$ ，b＝ $\sqrt{3}$ 时，a²＋b²－2a＋1＝．

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15. 电流通过导线时会产生热量，电流，（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足 $Q = I^{2} R t$ ．已知导线的电阻为8Ω，2s时间导线产生72J的热量，则I的值为A．

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16. 阅读理解：对于任意正整数a，b，∵ ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ， ∴ $a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ ， ∴ $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，只有当 $a = b$ 时，等号成立；结论：在 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ （a、b均为正实数）中，只有当 $a = b$ 时， $a + b$ 有最小值 $2 \sqrt{a b}$ .若 $m > 1$ ， $\sqrt{m} + \frac{1}{\sqrt{m} - 1}$ 有最小值为．

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三、解答题（共9题，共72分）

17. 化简：

(1)、 $\sqrt{0 . 3^{2}}$ ；

(2)、 ${(5 \sqrt{5})}^{2}$ ；

(3)、 $\sqrt{{(- \frac{1}{7})}^{2}}$ ；

(4)、 ${(- \sqrt{\frac{2}{3}})}^{2}$

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18. 计算：

(1)、 $2 \sqrt{12} - 6 \sqrt{\frac{1}{3}} + 3 \sqrt{48}$ ；

(2)、 $(\sqrt{24} - \sqrt{\frac{1}{2}}) - (\sqrt{\frac{1}{8}} + \sqrt{6})$ ；

(3)、 $(4 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6}) \div 2 \sqrt{2}$ ；

(4)、 $(2 \sqrt{5} - \sqrt{2}) {}^{2}$ .

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19. 已知 $a = 3 + 2 \sqrt{2}$ ， $b = 3 - 2 \sqrt{2}$ ，分别求下列代数式的值：

(1)、a²-b²；

(2)、a²-2ab+b² ．

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20. 若 $x = \sqrt{6} + 2$ ，求 $(10 - 4 \sqrt{6}) x^{2} - (\sqrt{6} - 2) x + 6$ 的值.

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21. 小明家装修，电视背景墙长BC为 $\sqrt{27}$ m，宽AB为 $\sqrt{8}$ m，中间要镶一个长为2 $\sqrt{3}$ m宽为 $\sqrt{2}$ m的长方形大理石图案（图中阴影部分）.除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面积（结果化为最简二次根式）

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22. 如图，有一张边长为 $6 \sqrt{3} c m$ 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为 $\sqrt{3} c m$ .

(1)、求长方体盒子的容积；

(2)、求这个长方体盒子的侧面积.

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23. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为.据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足 $t = \sqrt{\frac{h}{5}}$ （不考虑风速的影响）.

(1)、从200m高空抛物到落地所需时间t是多少？

(2)、从高空抛物经过3s落地，该物体下落的高度是多少？

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24. 阅读下面解题过程．
例：化简 $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{1}}$ ．
解： $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{1}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{1}}{(\sqrt{2} + \sqrt{1}) (\sqrt{2} - \sqrt{1})} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{1}}{{(\sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{1})}^{2}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{1}}{1} = \sqrt{2} - 1$
请回答下列问题．

(1)、归纳：请直接写出下列各式的结果：
① $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$ ＝；
② $\frac{1}{\sqrt{11} - \sqrt{10}}$ ＝．

(2)、应用：化简 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2022}} .$

(3)、拓展： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2 n + 1} + \sqrt{2 n - 1}} =$ ．（用含n的式子表示，n为正整数）

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25. 阅读材料：像 $(\sqrt{5} + 2) \times (\sqrt{5} - 2) = 1$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a (a \geq 0)$ ， ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求 $3 a^{2} - 6 a - 1$ 的值．”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：

因为 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1) \times (\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1$

所以 $a - 1 = \sqrt{2}$

所以 ${(a - 1)}^{2} = 2$ ，所以 $a^{2} - 2 a + 1 = 2$

所以 $a^{2} - 2 a = 1$ ，所以 $3 a^{2} - 6 a = 3$ ，所以 $3 a^{2} - 6 a - 1 = 2$

请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：

(1)、 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ 的有理化因式是， $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} =$ ；
$\sqrt{3} - 2$ 的有理化因式是， $\frac{1}{\sqrt{3} - 2} =$ ；

(2)、若 $a = \frac{2}{3 - \sqrt{7}}$ ，求 $- 2 a^{2} + 12 a + 3$ 的值．

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