2023年苏科版数学七年级下册全方位训练卷 12.2 证明

试卷更新日期：2023-05-01 类型：同步测试

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一、单选题（每题3分，共21分）

1. 如图，不能推出 $a ∥ b$ 的条件是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 3$ B、 $∠ 2 + ∠ 3 = 180 °$ C、 $∠ 2 = ∠ 4$ D、 $∠ 1 = ∠ 4$

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2. 如图所示，不能证明AB $/ /$ CD的是（）

A、∠BAC＝∠ACD B、∠ABC＝∠DCE C、∠DAC＝∠BCA D、∠ABC+∠DCB＝180°

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3. 下列各图中，已知∠1=∠2，不能证明AB∥CD的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：

证明：如图，∵ $b ⊥ a$ ， ∴∠1=90°．

∵ $c ⊥ a$ ， ∴∠2=90°，

∴∠1=∠2，∴ $b ∥ c$ ．

已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（）

A、在同一平面内，若 $b ⊥ a$ ，且 $c ⊥ a$ ，则 $b ∥ c$ B、在同一平面内，若 $b ∥ c$ ，且 $b ⊥ a$ ，则 $c ⊥ a$ C、同位角相等，两直线平行 D、两直线平行，同位角相等

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D为 $B C$ 边上一点，给出如下关系：① $A D$ 平分 $∠ B A C$ ；② $A D ⊥ B C$ 于D；③D为 $B C$ 中点.甲说：如果①②同时成立，可证明 $A B = A C$ ；乙说：如果②③同时成立，可证明 $A B = A C$ ；丙说：如果①③同时成立，可证明 $A B = A C$ .则正确的说法是（）

A、甲、乙正确，丙错误 B、甲正确，乙、丙错误 C、乙正确，甲、丙错误 D、甲、乙、丙都正确

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6. 定理：三角形的内角和等于180°．

已知： $△ A B C$ 的三个内角为 $∠ A$ 、 $∠ B$ 、 $∠ C$

求证： $∠ A + ∠ B + ∠ C = 180 °$ ．

证法1：如图

∵ $∠ A = 100 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $∠ C = 50 °$ （量角器测量）

∵ $100 ° + 30 ° + 50 ° = 180 °$ （计算所得）

∴ $∠ A + ∠ B + ∠ C = 180 °$ （等量代换）

证法2：如图，延长 $B C$ 到 $D$ ，过点 $C$ 作 $C E / / A B$ ．

∴ $∠ A = ∠ 2$ （两直线平行，内错角相等）

$∠ B = ∠ 3$ （两直线平行，同位角相等）

∵ $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180 °$ （平角定义）．

∴ $∠ 1 + ∠ A + ∠ B = 180 °$ （等量代换）

即 $∠ A + ∠ B + ∠ C = 180 °$ ．

下列说法正确的是（）

A、证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理 B、证法1还需要测量一百个进行验证，就能证明该定理 C、证法2还需证明其它形状的三角形，该定理的证明过程才完整 D、证法2用严谨的推理证明了该定理

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7. 定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．

证法1：如图，

∵∠A＝70°，∠B＝63°，

且∠ACD＝133°（量角器测量所得）

又∵133°＝70°+63°（计算所得）

∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．

证法2：如图，

∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理），

又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义），

∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）．

∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．

下列说法正确的是（）

A、证法1用特殊到一般法证明了该定理 B、证法1只要测量够100个三角形进行验证，就能证明该定理 C、证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 D、证法2用严谨的推理证明了该定理

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二、解答题

8. 证明：等腰三角形的两底角相等

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9. 完成下面的证明.
如图、 $∠ B A P$ 与 $∠ A P D$ 互补， $∠ B A E = ∠ C P F$ ，求证： $∠ E = ∠ F$ .对于本题小丽是这样证明的，请你将她的证明过程补充完整.
证明： $∵ ∠ B A P$ 与 $∠ A P D$ 互补，(已知)
$∴ A B / / C D$ .（）
$∴ ∠ B A P = ∠ A P C$ .（）
$∵ ∠ B A E = ∠ C P F$ ， (已知)
$∴ ∠ B A P - ∠ B A E = ∠ A P C - ∠ C P F$ ， (等量代换)
即_▲_=_▲_.
$∴ A E / / F P$ .（）
$∴ ∠ E = ∠ F$ .（）

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10. 完成下面的证明过程：
已知：如图， $∠ D = 110 °$ ， $∠ E F D = 70 °$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ，求证： $∠ 3 = ∠ B$ .
证明：∵ $∠ D = 110 °$ ， $∠ E F D = 70 °$ （已知），
∴ $∠ D + ∠ E F D = 180 °$ ，
∴ $A D$ $∥$       ▲      （   ）.
又∵ $∠ 1 = ∠ 2$ （已知），
∴      ▲       $∥$ $B C$ ，
∴ $E F$ $∥$       ▲      （   ）.
∴ $∠ 3 = ∠ B$ （   ）.

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11. 已知：如图 $， ∠ B + ∠ 3 = 90 ° ， ∠ B + ∠ E = 90 ° ， ∠ 1 = ∠ E$ .求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ .
请完善证明过程，并在括号内填上相应依据：
证明：
∵ $∠ B + ∠ 3 = 90 ° ， ∠ B + ∠ E = 90 °$ ，（    ）
∴      ▲       $=$       ▲       ，（    ）
∴ $A D ∥ E G$ ，（    ）
∴ $∠ 2 = ∠ 1$ ，（    ）
∵ $∠ E = ∠ 1$ (已知)，
∴      ▲       $=$       ▲       ，（    ）
∴ $A D$ 平分 $∠ B A C$ .（    ）

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12. 叙述并证明三角形内角和定理.

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13. 如图， $A D ∥ B C$ ， $∠ B A D$ 的平分线交 $C D$ 于点F，交 $B C$ 的延长线于点E， $∠ B + ∠ B C D = 180 °$ ，求证： $∠ C F E = ∠ E$ .

请将下面的证明过程补充完整：

证明：∵ $A D ∥ B C$ （已知），

∴ $∠ 2 = ∠ E$ ，（①      ）

∵ $A E$ 平分 $∠ B A D$ ，

∴②▲ .（③     ）

∴ $∠ 1 = ∠ E$ .（④     ）

∵ $∠ B + ∠ B C D = 180 °$ （已知），

∴⑤▲ .（⑥     ）

∴ $∠ 1 = ∠ C F E$ .（⑦     ）

∴ $∠ C F E = ∠ E$ .（⑧     ）

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14. 阅读下面的解答过程，并填空．
如图， $∠ A B C = ∠ A C B$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $C E$ 平分 $∠ A C B$ ， $∠ D B F = ∠ F$ ．求证： $C E ∥ D F$ ．
证明：∵ $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $C E$ 平分 $∠ A C B$ ，（已知）
∴ $∠ D B C = \frac{1}{2} ∠$       ▲ ， $∠ E C B = \frac{1}{2} ∠$       ▲ ．（角平分线的定义）
又∵ $∠ A B C = ∠ A C B$ ，（已知）
∴∠      ▲ =∠       ▲ ．（等量代换）
又∵ $∠ D B F = ∠ F$ ，（已知）
∴∠      ▲ ∠      ▲ ．（等量代换）
∴ $C E ∥ D F$ ．（      ）

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15. 证明命题“三角形三个内角的和等于180°”是真命题．
已知：

求证：

证明：

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16. 下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，

已知：如图， $Δ A B C$ ，

求证： $∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{∘} .$

方法一

证明：如图，过点A作 $D E ∥ B C .$

方法二

证明：如图，过点C作 $C D ∥ A B .$

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17. 证明 $9^{24} - 1$ 是13的倍数．

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18. 【阅读】在证明命题“如果 $a > b > 0$ ， $c < 0$ ，那么 $a^{2} + b c > a b + a c$ ”时，小明的证明方法如下：
证明：∵ $a > b > 0$ ，
∴ $a^{2}$ >  ▲  . ∴ $a^{2} + b c >$   ▲  .
∵ $a > b$ ， $c < 0$ ，
∴ $b c >$   ▲  . ∴ $a b + b c >$   ▲   .
∴ $a^{2} + b c > a b + a c$ .
【问题解决】

(1)、请将上面的证明过程填写完整；

(2)、有以下几个条件：① $a > b$ ， ② $a < b$ ， ③ $a < 0$ ， ④ $b < 0$ .请从中选择两个作为已知条件，得出结论 $| a | > | b |$ .你选择的条件序号是     ，并给出证明过程 .

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