湖北省武汉市江夏区2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2023-04-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若二次根式 $\sqrt{3 - x}$ 有意义，则 x 的取值范围是（）

A、 $x \neq 3$ B、 $x > 3$ C、 $x ⩽ 3$ D、 $x \geq 3$

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2. 在下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{0.8}$ C、 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ D、 $\sqrt{15}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $2 + \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$ C、 $\sqrt{9} = \pm 3$ D、 $\sqrt{27} - \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$

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4. △ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a，b，c，则满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）

A、 $a ： b ： c = 6 ： 8 ： 10$ B、 $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 1 ： 1 ： 3$ C、 $a^{2} + c^{2} = b^{2}$ D、 $∠ A + ∠ B = ∠ C$

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5. 菱形的边长为5，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为（）

A、8 B、6 C、5 D、4

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6. 下列四个命题：①平行四边形的两组对角分别相等；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；③矩形是轴对称图形；④对角线相等的菱形是正方形；其中真命题的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 如图，有一个水池，水面是边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（）

A、7.5尺 B、8尺 C、8.5尺 D、9尺

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8. 如图，已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的中点，则FG＝（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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9. 如图，矩形ABCD的周长为1，连接矩形ABCD四条边中点得到四边形A₁B₁C₁D₁ ，再连接四边形A₁B₁C₁D₁四条边中点得到四边形A₂B₂C₂D₂ ，如此继续下去…，则四边形A₁₀B₁₀C₁₀D₁₀的周长为（）

A、（ $\frac{1}{2}$ ）⁵ B、（ $\frac{1}{2}$ ）¹⁰ C、（ $\frac{1}{4}$ ）⁵ D、（ $\frac{1}{4}$ ）¹⁰

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10. 如图，矩形 $A E F G$ 的顶点E、F分别在菱形 $A B C D$ 的边 $A B$ 和对角线 $B D$ 上，连接 $E G 、 G F$ ，若 $∠ B A D = 120 °$ ， $A B = \sqrt{5}$ ，当 $E G$ 的长最小时，则 $C F$ 的长为（）

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{4}$

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二、填空题

11. 计算 ${(\sqrt{3} - 1)}^{2} =$ .

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12. 如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为．

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13. 已知 $a = 2$ ， $b = - 2 \sqrt{2}$ ， $c = - 1$ ，则代数式 $\frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ 的值为.

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14. 如图，将 $▱ A B C D$ 沿 $B D$ 翻折得到 $△ A^{'} B D$ ，若 $∠ A B D = 37 °$ ， $∠ C D A^{'} = 12 °$ ，则 $∠ A^{'}$ 的度数为.

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15. $△ A B C$ 中， $A B = 2 A C$ ， $C D$ 是的边 $A B$ 上的高，若 $A D = 1$ ， $C D = \sqrt{3}$ ，则 $B C$ 边的长度是.

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16. 如图，在四边形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 8$ cm， $A D = 24$ cm， $B C = 26$ cm.点P从点A出发，以2cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.若运动t s时 $P Q = C D$ ，则运动时间t的值是s.

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三、解答题

17. 计算

(1)、 $3 \sqrt{12} - 6 \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{48}$

(2)、 $\sqrt{10} \times \sqrt{\frac{3}{5}} \div \sqrt{12}$

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18. 如图，在▱ $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 是AB， $C D$ 上的点，且 $B E = D F$ ，求证：四边形 $A E C F$ 是平行四边形.

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19. 如图1，在 $△ D B F$ 中， $D B = D F$ ， $D C ⊥ B F$ 于点C，点E是 $B D$ 的中点，连接 $C E$ 并延长，使 $A E = C E$ ，连接 $A D 、 A B$ .

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是矩形.

(2)、如图2，点H为 $D F$ 的中点，连结 $C H$ ，若 $A B = 4$ ， $B C = 2$ ，求四边形 $E C H D$ 的面积.

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20. 如图是一个 $9 \times 8$ 的网格图，每个小正方形的边长都为单位1，每一个小正方形的顶点叫做格点.图中已画出了线段 $A B$ 和线段 $E G$ ，其端点A，B，E，G均在小正方形的顶点上，点P是线段 $A B$ 上一非格点，请按要求画出图形（过程用虚线，结果为实线）并计算.

(1)、画出以 $A B$ 为边的正方形 $A B C D$ ；

(2)、画一个以 $E G$ 为一条对角线的菱形 $E F G H$ （点F在 $E G$ 的左侧），且 $S_{菱形 E F G H} = S_{正方形 A B C D}$ ；

(3)、在（1）正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上画一点Q，使得 $C Q = A P$ ；

(4)、在（1）中菱形 $E F G H$ 的边 $F G$ 上画一点M，使得经过点M的直线同时将菱形 $E F G H$ 和正方形 $A B C D$ 的面积二等分.

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21. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ， $C D = 10$ ， $A D = 10 \sqrt{2}$ .

(1)、判断 $△ A C D$ 的形状，并说明理由；

(2)、求 $B D$ 的长.

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22. 如图，矩形 $A B C D$ 内三个相邻的正方形的边长分别为m、n和1.

(1)、求图中阴影部分的面积（用含m和n的式子表示）；

(2)、若 $m = {(a + \frac{1}{a})}^{2} + 2 \sqrt{5}$ ， $n = a - \frac{1}{a} = \sqrt{5} - 1$ ，求阴影部分的面积.

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23.

(1)、【操作与探究】如图1，正方形 $A B C D$ 中，点E、F分别是 $B C ， C D$ 上一点 $∠ E A F = 45 °$ .延长 $C B$ 至点Q，使得 $B Q = D F$ ，连接A $Q ， E F$ ，请根据题意画出图形.

①求证： $B E + D F = E F$ ；

②若 $B E = 3$ ， $C F = 4$ ，求正方形的边长AB.

(2)、【迁移与应用】如图2，正方形 $A B C D$ 中，点E在 $A B$ 边上（不与端点重合），F、G分别是 $C D ， B C$ 上一点， $E F$ 交 $A G$ 于点M， $∠ F M G = 45 °$ ，若 $G C = 2 B G$ ，直接写出 $\frac{E F}{A G}$ 的值：.

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24. 在平面直角坐标系中，已知点A是x轴负半轴上一点，B点是y轴正半轴上一点，将线段 $A B$ 绕A点顺时针旋转90°，得到线段 $A C$ ，连接 $B C$ 交x轴于一点P.

(1)、如图1，试判断线段 $P A 、 P B 、 P C$ 之间的数量关系，并证明你的结论；

(2)、如图2，D为 $A B$ 的中点， $A E ⊥ P D$ 交 $B C$ 于点E，若 $P A = P D$ ，求证： $A P = A E$ ；

(3)、已知 $A (- 2 ， 0) ， P (3 ， 0)$ ，在（2）的条件下，请求出点C的坐标.

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