江苏省南京市秦淮区六校2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题

试卷更新日期：2023-04-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. $- \frac{1}{2}$ 的相反数是（）

A、-2 B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 南京长江隧道即将通车，这将大大改善市民过江难的问题.已知隧道洞长3790米，这个数用科学记数法可表示为（）

A、 $3.79 \times 1 0^{2}$ B、 $3.79 \times 1 0^{3}$ C、 $3.79 \times 1 0^{4}$ D、 $0.379 \times 1 0^{5}$

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3. 教练想从甲、乙、丙、丁四名运动员中选拔一人参加 $400 m$ 比赛，故先在队内举行了一场选拔比赛.下表记录了这四名运动员选拔赛成绩的平均数 $\bar{x}$ 与方差 $S^{2}$ ：

甲
乙
丙
丁
平均数 $\bar{x}$ （秒）
51
50
51
50
方差 $S^{2}$ （秒 $^{2}$ ）
3.5
3.5
14.5
15.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应选（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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4. 在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是（）

A、（7，3） B、（8，2） C、（3，7） D、（5，3）

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5. 如图， $P$ 是正六边形 $A B C D E F$ 的边 $E F$ 上一点，则 $∠ A P C$ 的度数不可能是（）

A、 $59 °$ B、 $60 °$ C、 $61 °$ D、 $62 °$

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6. 如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = B C = 1$ .点 $D$ 是 $B C$ 上一点， $B D = 2 C D$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A D$ ，交 $A B$ 于点 $E$ .则 ${S_{△}}_{B E D}$ 为（）

A、 $\frac{1}{18}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{9}{160}$ D、 $\frac{9}{80}$

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二、填空题

7. ﹣3的倒数是 ﹣3的绝对值是

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8. 计算 $\frac{\sqrt{5} \times \sqrt{12}}{\sqrt{3}}$ 的结果是．

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9. 若函数 $y = - \sqrt{x + 1}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是.

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10. 方程 $\frac{1}{x - 2} = \frac{3}{x}$ 的解是．

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11. 如图，△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，若∠B＝100°，∠F＝50°，则∠α的度数是.

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12. 已知方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根分别是2、1，则 $b + c =$ .

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13. 如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型.拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，则支柱 $M N$ 的长度为m.

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14. 如图，将等边 $△ A B C$ 折叠，折痕为 $M N$ ，使点 $A$ 落在 $B C$ 边上得到点 $D$ .若 $B D = \frac{2}{3} B C$ ，则 $\frac{A M}{A N} =$ .

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15. 根据如图所示的部分函数图象，可得不等式 $\frac{k}{x} \geq a x$ 的解集为.

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 8$ ， $B C = 5$ . $A C = 7$ ， $⊙ O$ 与 $A B$ 延长线、 $B C$ 、 $A C$ 延长线相切，切点分别为 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ，则点 $A$ 到圆心 $O$ 的距离为.

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三、解答题

17. 先化简，再求值： $(1 - \frac{2 a - 1}{a}) \div \frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 2 a + 1}$ ，其中 $a = 2$ .

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18. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例：解一元二次不等式 $x^{2} - 4 > 0$ .

解： $x^{2} - 4 > 0$ 可化为 $(x + 2) (x - 2) > 0$ ，

依据“两数相乘，同号得正”，可得不等式组① ${\begin{array}{l} x + 2 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{array}$ 或②____，

解不等式组①，得 $x > 2$ .解不等式组②，得____，

∴一元二次不等式 $x^{2} - 4 > 0$ 的解集为____.

(1)、补全例题；

(2)、分式不等式 $\frac{x + 2}{x - 2} > 0$ 的解集为；

(3)、解一元二次不等式 $2 x^{2} - 5 x < 0$ .

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19. 如图， $▱ A B C D$ 中， $∠ B A D$ 的平分线交 $B C$ 于点 $E$ ， $∠ A B C$ 的平分线交 $A D$ 于点 $F$ .

(1)、求证： $▱ A B E F$ 是菱形：

(2)、若 $▱ A B C D ∽ ▱ F D C E$ ，则 $\frac{B C}{C D}$ 的值为.

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20. 元宵节晚上，小叶和小王分别从 $A$ 、 $B$ 两地相约去夫子庙观灯.两人可以选用的交通方式如图所示，小王若选用公共交通出行则需要在 $C$ 地转乘.

(1)、小王利用公共交通出行的概率为；

(2)、小叶和小王各随机选取一种出行方式，求两人出行用时相同的概率.

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21. 南京青年志愿者协会对某校报名参加2018年羽毛球世锦赛志愿者选拔活动的学生进行了一次有关知识的测试，小英对本班所有报名参加测试的同学的测试成绩作了适当的处理，将成绩分成三个等第：一般、良好、优秀，并将统计结果绘成了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所给信息，解答下列问题：

(1)、小英班共有名学生参加了这次测试；

(2)、请将上面两幅统计图补充完整；

(3)、如果小英所在学校共有1200名学生参加了这次测试，试估计该校学生测试成绩为优秀的人数.

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22. 在 $R t △ A B C$ 和 $R t △ D E F$ 中， $∠ C = ∠ F = 90 °$ ， $∠ B = ∠ E = 30 °$ ， $A C = A F = 6$ ，用这两个直角三角形研究图形的变换.

(1)、【翻折】如图1，将 $△ D E F$ 沿线段 $A B$ 翻折，连接 $C F$ ，下列对所得四边形 $A C B F$ 的说法正确的是.
① $A B$ 平分 $∠ C B F$ 、 $∠ C A F$ ， ② $A B$ 、 $C F$ 互相平分，③ $S_{四边形 A C B F} = \frac{1}{2} A B \cdot C F$ ， ④ $A$ 、 $C$ 、 $B$ 、 $F$ 四点共圆.

(2)、【平移】
如图2，将 $△ D E F$ 沿线段 $A B$ 向右平移，使 $D$ 点移到 $A B$ 的中点，连接 $C D$ 、 $C F$ 、 $F B$ ，请猜想四边形 $C D B F$ 的形状，并说明理由.

(3)、【旋转】如图3，将 $△ D E F$ 绕点 $C (F)$ 逆时针方向旋转，使 $A C ∥ E D$ ，连接 $A E$ 、 $A D$ ，则旋转角为°， $A D =$ cm.

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23. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像经过点 $(0 ， 3)$ 、 $(1 ， 0)$ 、 $(- 1 ， 8)$ .

(1)、求该二次函数的表达式；

(2)、将该函数图象 $y \leq 0$ 的部分沿x轴翻折后与 $y > 0$ 的部分组成新函数 $y^{'}$ 的函数图象.写出新函数 $y^{'}$ 的一个性质.

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24. 现在，租赁汽车已成为外出旅行时的一种重要的交通方式.某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元.当每辆车的日租金为500元时，可全部租出：当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆.

(1)、当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大?最大是多少元?

(2)、试说明租赁公司的日收益能否为4500元?

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25. 小明和小叶同时从 $A$ 出发进行 $100 m$ 的游泳比赛，小叶游泳速度不变.图中的实线表示部分小明在游泳过程中 $A$ 与的距离 $y (m)$ 和游泳的时间 $t (s)$ 之间的关系，虚线表示小叶在游泳过程中与 $A$ 的距离 $y (m)$ 和游泳的时间 $t (s)$ 之间的关系.

(1)、小叶游泳的平均速度为 $m / s$ ，游泳池的长度为 $m$ .

(2)、若小明在 $45 s$ 后游泳的速度也保持不变，且小明和小叶同时到达终点，
①请补全小明剩余 $y$ 与 $t$ 的函数图象；
②直接写出小明和小叶相距最远时他们之间的距离.（直接写出结果）

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26. 如图，在等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 是 $A B$ 上任意一点，以 $D$ 为圆心， $D B$ 为半径作 $⊙ D$ ，分别交 $A B$ 、 $B C$ 于点 $E$ 、 $F$ ，过点 $F$ 作 $F G ⊥ A C$ ，垂足为 $G$ .

(1)、判断直线 $F G$ 与 $⊙ D$ 的位置关系并证明.

(2)、若 $A E = 2$ ， $B C = 3$ ， $\frac{B F}{C G} = 2$ ，求 $⊙ D$ 的半径.

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27. 【类比研究】类比数的运算的学习，小明发现初中所学习的函数就是变量的运算.对于一个变量x，对它进行运算，得到另一个变量y，则y是x的函数.
【概念提出】若对x只加上（减去）一个常数，则该函数为一级函数：对x只乘（除以）一个常数（不为1），则该函数为二级函数：对x只进行乘方（开方）运算，则该函数为三级函数；若对某级函数中自变量的代数式再进行不同的运算，则新函数为该级函数的衍生函数.

(1)、【特例辨别】
下列函数：① $y = - \frac{1}{2} x$ ， ② $y = x - 1$ ， ③ $y = \frac{5}{x}$ ， ④ $y = x^{4}$ ， ⑤ $y = 2 x^{2} + 3 x$ ， ⑥ $y = \sqrt{x}$ ，其中是三级函数的是.（填写所有符合要求的函数的序号）

(2)、【运算与变化】
将二级函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象向上平移5个单位长度后得其衍生函数图象，则该衍生函数关系式为；也可对 $y = \frac{1}{x}$ 进行乘法运算 $\overset{\times 2}{\to}$ 所得衍生函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象与 $y = \frac{1}{x}$ 的图象的关系为.

(3)、对于函数 $y = 3 x$ 的运算与变化，下列说法中正确的是（）
① $y = 3 x$ 是二级函数；
②将 $y = 3 x$ 再进行减法运算，所得衍生函数的图象与原图象平行；
③将 $y = 3 x$ 再除以2所得衍生函数的图象是把函数 $y = 3 x$ 的图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍；
④将 $y = 3 x$ 先减3再平方与先平方再减3所得衍生函数是同一个函数.

A、③④ B、①②③ C、①②④ D、①②③④

(4)、【知识应用】请写出一级函数 $y = x$ 如何对变量x进行运算得到衍生函数 $y = \frac{k}{x^{2} - m}$ （ $k$ 、 $m$ 是常数， $k \neq 0$ ， $m > 0$ ），并写出衍生函数的两条不同类型的性质.

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	甲	乙	丙	丁
平均数 $\bar{x}$ （秒）	51	50	51	50
方差 $S^{2}$ （秒 $^{2}$ ）	3.5	3.5	14.5	15.5