重庆市九校联盟2022-2023学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2023-04-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知i是复数单位，求 $i^{2023}$ =（）

A、1 B、 $- i$ C、-1 D、 $i$

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2. 已知 $s i n α = \frac{4}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $c o s 2 α$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $- \frac{24}{25}$ D、 $- \frac{7}{25}$

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3. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， x)$ ， $\vec{b} = (2 ， 2 - x)$ ，且 $\vec{a}$ // $\vec{b}$ ，则 $x$ =（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、-1 D、 $- \frac{2}{3}$

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4. 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261）提出“三斜求积”求三角形面积的公式．以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上．余四约之，为实．一为从隅开方得积．如果把以上这段文字写成公式，就是： $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ．在 $△ A B C$ 中，已知角A、B、C所对边长分别为 $a ， b ， c$ ，其中 $a ， c$ 为方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的两根， $B = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 在 $△ A B C$ 中，已知角 $A ， B ， C$ 所对边长分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $c = 5 ， b = 7$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点， $A D = 5$ ，则 $a =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、3 C、 $4 \sqrt{3}$ D、4

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6. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = \sqrt{3}$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 3$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、2 B、4 C、 $\sqrt{7}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} s i n 2 ω x + \frac{\sqrt{3}}{2} c o s 2 ω x ， (ω > 0)$ ，且 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，给出下列结论：
①函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{2} ， \frac{7 π}{12}]$ 单调递减；
②函数 $f (x)$ 关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称；
③把函数 $y = s i n 2 x$ 的图象上所有点向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，可得到函数 $y = f (x)$ 的图象.
其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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8. 已知点 $A$ 在线段 $B C$ 上（不含端点）， $O$ 是直线 $B C$ 外一点，且 $\vec{O A} - 2 a \vec{O B} - b \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $\frac{a}{a + 2 b} + \frac{2 b}{1 + b}$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{2} + 2$ B、 $2 \sqrt{2} - 2$ C、 $\sqrt{2} - 2$ D、 $2 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 下列叙述中正确的是（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b} ， \vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ B、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ，则 $3 \vec{a} > 2 \vec{b}$ C、已知非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 且 $\vec{a}$ // $\vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的方向相同或相反 D、对任一非零向量 $\vec{a} ， \frac{\vec{a}}{| \vec{a} |}$ 是一个单位向量

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10. 已知复数 $z = \frac{2}{1 + \sqrt{3} i}$ 则（）

A、复数 $z$ 在复平面内对应的点在第三象限 B、复数 $z$ 的实部为 $\frac{1}{2}$ C、 $\bar{z} = \frac{1}{z}$ D、复数 $z^{2}$ 的虚部为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $(b + c) ： (c + a) ： (a + b) = 4 ： 5 ： 6$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $s i n A ： s i n B ： s i n C = 7 ： 5 ： 3$ B、 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} < 0$ C、若 $c = 6$ ，则 $△ A B C$ 的面积是15 D、若 $b + c = 8$ ，则 $△ A B C$ 外接圆半径是 $\frac{7 \sqrt{3}}{3}$

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12. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $(a + b) (s i n A - s i n B) = c (s i n C + s i n B)$ ，若角A的内角平分线 $A D$ 的长为3，则 $4 b + c$ 的可能取值有（）

A、21 B、24 C、27 D、36

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三、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中， $E$ 是 $A B$ 的中点，点 $F$ 在 $B C$ 上，满足 $\vec{B F} = 2 \vec{F C}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{E F} =$ （用 $\vec{a} ， \vec{b}$ 表示）．

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14. $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .若 $b = 6, a = 2 c, B = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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15. 已知 $α ， β$ 是锐角，且 $s i n α = \frac{4}{7} \sqrt{3} ， c o s (α + β) = - \frac{11}{14}$ ，则 $s i n β =$ ．

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16. （理）在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且| $\overset{⇀}{O C}$ |＝2，求 $\overset{⇀}{O C}$ 的坐标为．

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四、解答题

17. 已知复数z=m（m+2）+（m²+m-2）i．

(1)、若z是纯虚数，求实数m的值；

(2)、若z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = 2 c o s x (s i n x - \sqrt{3} c o s x) + \sqrt{3}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、当 $x \in [\frac{π}{2} ， π]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值及取得最小值时x的值.

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19. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 2)$ ， $\vec{b} = (x ， - 1)$ .

(1)、当 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ 时，求 $| \vec{a} + 2 \vec{b} |$ ；

(2)、当 $\vec{c} = (- 8 ， - 1)$ ， $\vec{a} / / (\vec{b} + \vec{c})$ ，求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $α$ .

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20. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ B = \frac{π}{3}$ ， $A B = 8$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上，且 $C D = 2$ ， $cos ∠ A D C = \frac{1}{7}$ .

(1)、求 $sin ∠ B A D$ ；

(2)、求 $B D ， A C$ 的长.

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21. 已知向量 $\vec{a} = (c o s ω x - s i n ω x ， s i n ω x)$ ， $\vec{b} = (- c o s ω x - s i n ω x ， 2 \sqrt{3} c o s ω x)$ ，设函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} + λ (x \in R)$ 的图像关于直线 $x = π$ 对称，其中 $ω$ ， $λ$ 为常数，且 $ω \in (\frac{1}{2}$ ， $1)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $y = f (x)$ 的图像经过点 $(\frac{π}{4}$ ， $0)$ ，求函数 $f (x)$ 在区间 $[0$ ， $\frac{3 π}{5}]$ 上的取值范围．

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22. 一个 $△ A B C$ ，它的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ .

(1)、如果这个三角形为锐角三角形，且满足 $a^{2} - b^{2} = b c$ ，求 $\frac{a}{b}$ 的取值范围；

(2)、若 $△ A B C$ 内部有一个圆心为P，半径为1的圆，它沿着 $△ A B C$ 的边内侧滚动一周，且始终保持与三角形的至少一条边相切.现用21米的材料刚好围成这个三角形，请你设计一种 $△ A B C$ 的围成方案，使得P经过的路程最大并求出该最大值.（说明理由）

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