浙江省浙北G2联盟2022-2023学年高一下学期数学4月期中联考试卷

试卷更新日期：2023-04-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若a与b均为实数，且 $b - 3 i = 4 + a i$ ，则 $| a + b i | =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 在 $△ A B C$ 中， $s i n A ： s i n B ： s i n C = 3 ： 5 ： 7$ ，则 $c o s C$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、0 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， m)$ ，若 $\vec{a} / / (m \vec{a} + \vec{b})$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、1 C、 $- \frac{1}{3}$ D、-1

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4. 已知 $m$ 、 $n$ 是两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 、 $γ$ 是三个不同的平面.下列说法中错误的是（）

A、若 $m / / α$ ， $m \subset β$ ， $α ∩ β = n$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / n$ ， $m / / α$ ，则 $n / / α$ C、若 $α ∩ β = n$ ， $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $n ⊥ γ$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ， $α / / γ$ ，则 $β / / γ$

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5. 如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E．从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°．若测得DC＝2 $\sqrt{3}$ ，CE＝ $\sqrt{2}$ (单位：百米)，则A，B两点的距离为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、2 $\sqrt{2}$ C、3 D、2 $\sqrt{3}$

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6. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $a$ ， $E$ 是棱 $A B$ 的中点， $F$ 是侧面 $A A_{1} D_{1} D$ 内一点，若 $E F / /$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ ，且 $E F$ 长度的最大值为 $b$ ，最小值为 $\sqrt{2}$ ，则 $b^{a} =$ （）

A、7 B、6 C、5 D、3

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7. 在 $△ A B C$ 中，点 $D ， E$ 满足 $\vec{B D} = \vec{D C} ， \vec{A E} = 2 \vec{E C} ， B E$ 与 $A D$ 交于点 $P$ ，若 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $x y =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{25}$ D、 $\frac{4}{9}$

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8. 在平面中，已知单位向量 $\vec{e_{1}}$ 、 $\vec{e_{2}}$ 的夹角为 $6 0^{∘}$ ，向量 $\vec{a} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，且 $1 \leq x^{2} \leq 4$ ， $1 \leq y^{2} \leq 4$ ，设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{e_{1}}$ 的夹角为 $α$ ，则 $c o s α$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{5 \sqrt{7}}{14}$ D、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$

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二、多选题

9. 设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ，且 $| \vec{b} - 2 \vec{a} | = \sqrt{5}$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{2}$ C、 $| 2 \vec{b} - \vec{a} | = 5$ D、向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 夹角为 $90 °$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ .下面四个结论正确的是（）

A、若 $A < B$ ，则 $s i n A < s i n B$ B、 $a = 2$ ， $A = 3 0^{∘}$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆半径是4 C、若 $\frac{a}{c o s A} = \frac{b}{s i n B}$ ，则 $A = 4 5^{∘}$ D、若 $A = 3 0^{∘}$ ， $a = 4$ ， $b = 3$ ，则 $△ A B C$ 有两解

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11. 已知在正四面体 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别是棱 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $A D$ 的中点，则（）

A、 $E F / /$ 平面 $A C D$ B、 $A C ⊥ B D$ C、 $A B ⊥$ 平面 $F G H$ D、 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 四点共面

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12. 在 $△ A B C$ 中角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 10$ ，则下列四个选项中哪些值可以作为三角形的面积（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{4}{3} \sqrt{3}$

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三、填空题

13. 边长为2的正三角形直观图的面积为.

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14. 向量 $\vec{a} = (1 ， - 1)$ ， $\vec{c} = (3 ， 5)$ ．则 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量坐标为.

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15. 正三棱锥 $P - A B C$ 的侧棱长为 $2$ ， $M$ 为 $A B$ 的中点，且 $P M ⊥ P C$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为．

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16. 如图，在平面中，圆 $O$ 是半径为1的圆， $O A = 2$ ，设 $B$ ， $C$ 为圆上的任意2个点，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B C}$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 如图 $A B C D$ 是直角梯形，以上底边 $C D$ 为轴将梯形旋转一周，得到一个旋转体，求它的表面积和体积．

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18. 已知复数 $z_{1} = 1 - 2 i$ ， $z_{2} = 4 + 3 i$ ．（ $i$ 为虚数单位）

(1)、求 $z_{1} z_{2}$ ；

(2)、若 $| z | = 2$ ，且复数 $z$ 的虚部等于复数 $3 z_{1} - z_{2}$ 的实部，复数 $z$ 在复平面内对应的点位于第三象限，求复数 $z$ ．

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19. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C ， A C = B C = C C_{1} = 2$ ， $M ， N$ 分别为 $A C ， B_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $M N$ ∥平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、线段 $C C_{1}$ 上是否存在点Q，使 $A_{1} B ⊥$ 平面 $M N Q$ ？说明理由．

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20. 在△ $A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\frac{s i n^{2} A}{a} = \frac{c o s A \cdot c o s B + 2 c o s^{2} C}{b}$ ， $C$ 为锐角．

(1)、求C；

(2)、若 $c = \sqrt{7}$ ， $a > b$ ， △ $A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $c o s (2 B - \frac{π}{3})$ 的值．

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21. 如图，某菜农有一块等腰三角形菜地，其中 $∠ B A C = 12 0^{∘}$ ， $A B = A C = 8$ 米．现将该三角形菜地分成三块，其中 $∠ D A E = 6 0^{∘}$ ．

(1)、若 $∠ C A E = 1 5^{∘}$ ，求 $D E$ 的长；

(2)、求 $△ A D E$ 面积的最小值．

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22. 如图，点 $P ， Q$ 分别是正方形 $A B C D$ 的边 $D C$ 、 $C B$ 上两点， $A B = 1$ ， $∠ P A Q = θ$ ，记点 $O$ 为 $△ A P Q$ 的外心.

(1)、若 $\vec{D P} = λ \vec{D C}$ ， $\vec{C Q} = λ \vec{C B}$ ， $0 ≤ λ ≤ 1$ ，求 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的值；

(2)、若 $θ = 45 °$ ，求 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的取值范围；

(3)、若 $θ = 60 °$ ，若 $\vec{A O} = x \vec{A P} + y \vec{A Q}$ ，求 $3 x + 6 y$ 的最大值.

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