浙江省衢温51联盟2022-2023学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2023-04-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 6 \leq 0}$ ， $B = {x | l g x > 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[- 2 ， 3]$ B、 $(1 ， 2]$ C、 $[- 3 ， 2]$ D、 $(1 ， 3]$

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2. 已知复数 $z = a + b i (a \in R ， b \in R)$ ，且 $z (1 + 2 i) = 1 - i$ ，则 $a - b =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- \frac{2}{5}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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3. 函数 $y = \frac{x s i n x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 随着杭州亚运会的临近，吉祥物“琮琮、莲莲、宸宸”开始走俏国内外.现有 $3$ 个完全相同的“宸宸”，甲、乙、丙 $3$ 位体育爱好者要与这 $3$ 个“宸宸”站成一排拍照留念，则有且只有 $2$ 个“宸宸”相邻的排队方法数为（）

A、36 B、48 C、72 D、144

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5. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ， $E$ 是线段 $P B$ 的中点， $F$ 是线段 $B C$ 的中点，则点 $D$ 到平面 $A E F$ 的距离是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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6. 如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为 $m$ ，圆柱的表面积与球的表面积之比为 $n$ ，则 ${(\frac{n}{m} x - \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中的常数项是（）

A、-15 B、-20 C、15 D、20

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7. 已知圆 $C ： {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 和点 $M (\frac{3}{2} ， 0)$ ， $O$ 为坐标原点，若圆 $C$ 上存在点 $P$ 满足 $| P O | = 2 | P M |$ ，则 $r$ 的最大值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8. 设 $a = e$ ， $b = e^{0.9} + 0.1$ ， $c = e^{1.1} - 0.1$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < b < c$ D、 $c < a < b$

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二、多选题

9. 空间直角坐标系中，已知 $O (0 ， 0 ， 0)$ ， $\vec{O A} = (- 1 ， 2 ， 1)$ ， $\vec{O B} = (- 1 ， 2 ， - 1)$ ， $\vec{O C} = (2 ， 3 ， - 1)$ ，则（）

A、 $| \vec{A B} | = 2$ B、 $△ A B C$ 是等腰直角三角形 C、与 $\vec{O A}$ 平行的单位向量的坐标为 $(\frac{\sqrt{6}}{6} ， - \frac{\sqrt{6}}{3} ， - \frac{\sqrt{6}}{6})$ 或 $(- \frac{\sqrt{6}}{6} ， \frac{\sqrt{6}}{3} ， \frac{\sqrt{6}}{6})$ D、 $\vec{O A}$ 在 $\vec{O B}$ 方向上的投影向量的坐标为 $(- \frac{2}{3} ， \frac{4}{3} ， \frac{2}{3})$

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10. 已知函数 $f (x) = (x + 1) l n x + x - 1$ ，则（）

A、函数 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程是 $3 x - y + 3 = 0$ B、函数 $y = f^{'} (x)$ 的单调递减区间为 $(0 ， 1)$ C、函数 $y = f (x) - f^{'} (x)$ 有唯一的零点 D、函数 $y = f^{'} (x)$ 的最大值为3

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11. 《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．如图正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $F$ 是该正方体的侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 上的一个动点（含边界），且 $A F / /$ 平面 $D A_{1} Q$ ， $Q$ ， $M$ 分别是棱 $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、直线 $F Q$ 与直线 $A_{1} D$ 不可能垂直 B、三棱锥 $D - A_{1} F Q$ 的体积为定值 C、直线 $F Q$ 与平面 $A_{1} D Q$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、阳马 $M - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外接球 $R$ 与内切球 $r$ 的半径之比为 $R ： r = 3 ： (3 - \sqrt{5})$

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12. 已知 $O$ 为坐标原点， $M$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 上一点，直线 $l ： x = m y + 3$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，过 $A$ ， $B$ 作 $C$ 的切线交于点 $P$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 3$ B、若点 $M$ 为 $(9 ， - 6)$ ，且直线 $A M$ 与 $B M$ 倾斜角互补，则 $m = 3$ C、点 $P$ 在定直线 $x = - 3$ 上 D、设 $Q$ 点为 $(3 ， 0)$ ，则 $| M Q |$ 的最小值为3

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三、填空题

13. 在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为 $\frac{117}{125}$ ，则每次射击击中目标的概率是.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{5}}{S_{2} + S_{3}} = 2$ ，则 $\frac{a_{5}}{a_{2} + a_{3}} =$ .

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15. 若 $t a n (α + \frac{π}{4}) = \frac{2 c o s α}{3 - 2 s i n α}$ ，则 $s i n 2 α =$ .

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右顶点为 $A$ ， $B$ ，点 $P$ 为直线 $l ： x = \frac{a^{2}}{c}$ 上一点，若 $△ P A B$ 的外接圆的面积的最小值为 $2 π a^{2}$ ，则该椭圆的离心率为.

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四、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{n} - 1) (a_{n + 1} - 1)}$ ， $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求证： $T_{n} < \frac{1}{2}$ .

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18. 在2023年3月10日，十四届全国人大一次会议在北京召开.中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平在十四届全国人大一次会议闭幕会上发表重要讲话.出席全国两会的代表委员和全国各地干部群众纷纷表示，这一重要讲话坚定历史自信、饱含人民情怀、彰显使命担当、指引前进方向，必将激励我们在新征程上团结奋斗，开拓创新，坚定信心，勇毅前行，作出无负时代、无负历史、无负人民的业绩，为推进强国建设、民族复兴作出应有贡献.某社区为调查社区居民对这次会议的关注度，随机抽取了60名年龄在 $[20 ， 45]$ 的社区居民，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、求选取的社区居民平均年龄及选取的社区居民年龄的中位数；

(2)、现若样本中 $[20 ， 25)$ 和 $[40 ， 45]$ 年龄段的所有居民都观看了会议讲话，社区计划从样本里这两个年龄段的居民中抽取3人分享此次观看会议的感受，设 $X$ 表示年龄段在 $[20 ， 25)$ 的人数，求 $X$ 的分布列及期望.

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19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且满足 $s i n B (1 + 2 c o s C) = 2 s i n A c o s C + c o s A s i n C$ .

(1)、证明： $a = 2 b$ ；

(2)、若 $16 c o s A c o s B = 5$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S = \frac{3 \sqrt{7}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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20. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，已知侧面 $P A C$ 是边长为2的等边三角形， $A B = B C = 4$ ，点 $Q$ 为侧棱 $P B$ 的中点.

(1)、求证： $A C ⊥ P B$ ；

(2)、若 $P B = 2 \sqrt{3}$ ， $\vec{A M} = λ \vec{A C}$ ，若直线 $M Q$ 与平面 $P B C$ 所成角的正切值为 $\sqrt{3}$ ，求 $λ$ 的值.

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21. 设函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x - (2 a + 2) l n x$ ， $a \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 存在两个极值点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $x \in [1 ， 2]$ 时，不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知离心率为2的双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，顶点到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ .过双曲线 $E$ 右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线 $E$ 交于 $P$ ， $Q$ （异于点 $A$ ， $B$ ）两点.

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程；

(2)、记 $△ A B P$ ， $△ A B Q$ ， $△ B P Q$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，当 $\frac{| S_{1} - S_{2} |}{S_{3}} = 2 \sqrt{2}$ 时，求直线 $l$ 的方程；

(3)、若直线 $A P$ ， $A Q$ 分别与直线 $x = 1$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，试问 $∠ M F N$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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