浙江省宁波三锋教研联盟2022-2023学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2023-04-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 角 $α$ 终边上有一点 $P (- 1 ， 2)$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、-2 C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$

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2. 曲线 $y = x l n (x - 1)$ 在点 $(2 ， 0)$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 2 x - 4$ B、 $y = 2 x + 4$ C、 $y = x + 2$ D、 $y = x - 2$

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3. 在三角形 $A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对边长分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $∠ A = 6 0^{∘} ， a = 2 ， ∠ B = 4 5^{∘}$ ，则 $b =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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4. ${(a + b)}^{2 n} (n \in N^{*})$ 展开式中第 $6$ 项的二项式系数最大，则 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{n}$ 展开式中 $x$ 的系数为（）

A、-10 B、10 C、5 D、-5

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5. 已知 $α$ 为第三象限角， $c o s α = - \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{s i n 2 α + c o s^{2} α}{1 + c o s (2 α + π)} =$ （）

A、 $\frac{20}{9}$ B、 $- \frac{4}{9}$ C、 $- \frac{15}{32}$ D、 $\frac{33}{32}$

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6. 已知5个医生（其中有一对夫妻）分配到3个地区，要求每个地区至少一个医生，则这对夫妻分配到同一个地区的概率为（）

A、 $\frac{3}{25}$ B、 $\frac{6}{25}$ C、 $\frac{9}{25}$ D、 $\frac{12}{25}$

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7. 函数 $f (x) = e^{x} + a c o s x ， x \in (- π ， + \infty)$ ，下列说法不正确的是（）

A、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 无极值点 B、当 $a = - 1$ 时， $f (x)$ 存在唯一极小值点 C、对任意 $a > 0$ ， $f (x)$ 在 $x \in (- π ， + \infty)$ 上不存在极值点 D、存在 $a < 0$ ， $f (x)$ 在 $x \in (- π ， + \infty)$ 上有且只有一个零点

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8. 已知随机变量 $ξ \sim B (9 ， \frac{1}{3})$ ，若对任意的正实数 $x_{1} ， x_{2} \in (m ， + \infty)$ ，满足当 $x_{1} < x_{2}$ 时， $\frac{x_{1} l n x_{2} - x_{2} l n x_{1}}{x_{1} - x_{2}} > D (ξ)$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围（）

A、 $[e^{2} ， + \infty)$ B、 $[e^{3} ， + \infty)$ C、 $[e ， + \infty)$ D、 $[e ， e^{2}]$

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二、多选题

9. 2023春节档期有《流浪地球2》，《满江红》，《深海》，《无名》，《交换人生》5部电影，现采用抽签法决定放映顺序，记事件A：“《满江红》不是第一场，《无名》不是最后一场”，事件B：“《深海》是第一场”，则下列结论中正确的是（）

A、事件B包含144个样本点 B、 $P (A) = \frac{13}{20}$ C、 $P (A B) = \frac{3}{20}$ D、 $P (B | A) = \frac{3}{26}$

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10. 下列等式正确的是（）

A、 $s i n 15 ° c o s 15 ° = \frac{1}{4}$ B、 $2 s i n^{2} 22.5 ° - 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $s i n 26 ° c o s 34 ° + c o s 26 ° s i n 34 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{t a n 71 ° - t a n 26 °}{1 + t a n 71 ° t a n 26 °} = 1$

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11. $(1 + x)^{2} {(1 + \frac{1}{x})}^{4}$ 的展开式中（）

A、各项系数之和为64 B、常数项为15 C、 $x$ 的系数为6 D、 $x^{- 1}$ 的系数为16

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12. 已知 $x \in [- π ， π]$ ，函数 $f (x) = \frac{c o s x}{x^{2} + 1}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 B、 $f (x)$ 有1个极值点 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的最大值1

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三、填空题

13. $(1 + a x)^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ 所有项的系数和为32，则 $a =$ ；则 $a_{1} + a_{3} + a_{5} =$ ．

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14. $f (x) = f^{'} (2) l n x + x^{2}$ ，则 $f (2) =$ ．

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15. 分别在即，5位同学各自写了一封祝福信，并把写好的5封信一起放在心愿盒中，然后每人在心愿盒中各取一封，不放回．设 $X$ 为恰好取到自己祝福信的人数，则 $E (X) =$ ．

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16. 镜湖春游甲吴越，茑花如海城南陌．四月正是春游踏春时，小明打算利用假期去打卡鄞江古镇，千年水利工程它山堰就在此处．时间有限，小明打算游览6个景点，上午4场，下午2场．其中它山堰不排在第一场，趣湾农庄和茶园不能相邻．其中上午第4场和下午第1场不算相邻，则不同的游览方式有种．

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四、解答题

17. 已知在 $(\sqrt{x} + a \cdot \sqrt[3]{x})^{n}$ 展开式中，所有项的二项式系数之和为256，第4项的系数是第3项的二项式系数的16倍．

(1)、求 $n$ 和 $a$ ；

(2)、求展开式中系数最大的项；

(3)、求 $(1 + x)^{3} + (1 + x)^{4} + \dots + (1 + x)^{n}$ 展开式中含 $x^{3}$ 的项的系数．

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18. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x c o s x + 2 \sqrt{3} s i n^{2} x - \sqrt{3}$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期､单调递增区间及最值；

(2)、若 $A$ 为锐角 $△ A B C$ 的内角且 $f (A) = \sqrt{3} ， a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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20. 新高考按照“ $3 + 1 + 2$ ”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理四科中选择两科．某校为了解该校考生的选科情况，从首选科目为物理的考生中随机抽取12名（包含考生甲和考生乙）进行调查．假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响．

(1)、求考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率．

(2)、已知抽取的这12名考生中，女生有3名．从这12名考生中随机抽取3名，记X为抽取到的女生人数，求X的分布列与数学期望．

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21. 为了迎接4月23日“世界图书日”，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在 $[70 ， 80)$ 内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生获二等奖，得分在 $[90 ， 100)$ 内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．
附参考数据：若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827 ， P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

(1)、求a的值；若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；

(2)、若我市所有参赛学生的成绩 $X$ 近似服从正态分布 $N \sim (μ ， σ^{2})$ ，其中 $σ \approx 15 ， μ$ 为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；
②若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列､均值．

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22. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = x^{a} (l n x - a)^{2}$ ，其极大值点为 $m$ ，极小值点为 $n$

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的极小值；

(2)、求 $f (m)$ 的最小值；

(3)、互不相等的正数 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，当 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，证明 $x_{2} \cdot x_{3} < e^{2 a}$

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