天津市河东区2022-2023学年高二下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-04-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 一个三层书架，分别放置语文类读物12本，政治类读物14本，英语类读物11本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（）

A、3种 B、6种 C、37种 D、1848种

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2. ${(x - 3 y)}^{5}$ 展开式中第3项的系数是（）

A、90 B、-90 C、-270 D、270

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3. 设函数 $f (x)$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $y = 4 x - 3$ ，则 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{Δ x} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 某市场供应的电子产品中，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%.若从该市场供应的电子产品中任意购买甲、乙厂各一件电子产品，则这两件产品都不是合格品的概率为（）

A、2% B、30% C、72% D、26%

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5. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x$ ，那么 $f^{'} (\frac{π}{6})$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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6. 已知随机变量 $X$ 的分布列如下：
$X$
1
2
$P$
$m$
$n$
若 $E (X) = \frac{5}{3}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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7. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x + 1$ 的图象在点 $(1, a + b + 1)$ 处的切线斜率为6，且函数 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极值，则 $a + b =$ （）

A、 $- \frac{26}{3}$ B、7 C、 $\frac{22}{3}$ D、 $\frac{26}{3}$

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8. 甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有（）种

A、5 B、8 C、14 D、21

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9. 已知 $a ， b \in R^{+} ， c > - 1$ ，满足 $l g a + a + c = 0 ， l n b + b + c = 0$ ，则（）

A、 $a c o s a > b c o s b$ B、 $a c o s a < b c o s b$ C、 $a s i n b > b s i n a$ D、 $a s i n b < b s i n a$

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二、填空题

10. 已知随机变量 $X ∼ B (5 ， \frac{2}{9})$ ，则 $D (X) =$ .

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11. 若二项式 $(x + \frac{a}{x})^{5}$ 的展开式中 $\frac{1}{x}$ 的系数是10，则实数 $a =$ .

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12. 已知定义在区间 $x \in (0 ， π)$ 的函数 $f (x) = \frac{s i n x}{e^{x}}$ ，则 $f (x)$ 的单调递增区间为.

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13. 口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为.

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14. 从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)

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15. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - k x^{3} + 1$ ，若对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) > x_{2} f (x_{1}) + x_{1} f (x_{2})$ ，则实数 $k$ 的取值范围是.

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三、解答题

16.

(1)、从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动.若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？

(2)、将五个不同的元素 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ， $e$ 排成一排.若 $a$ 不排在首位， $e$ 不排在末位，求共有多少种排法？

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17. 已知二项式 ${(2 x^{2} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ 展开式中，前三项的二项式系数和是56．求：

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、展开式中的常数项．

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18. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f (x) = 2 x f^{'} (1) + l n x$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $x = 1$ 处的切线方程.

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19. 若函数 $f (x) = a e^{x + 2} - c o s x$ （e为自然对数的底数， $e \approx 2.718$ ）在区间 $s i n (2 A + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ 上单调递减，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - a x^{2} + 2$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当0<a<3时，记 $f (x)$ 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求 $M - m$ 的取值范围.

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$X$	1	2
$P$	$m$	$n$