天津市部分区2022-2023学年高一下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-04-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 1)$ ，则 $\vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $(3 ， 0)$ B、 $(3 ， 1)$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $(- 1 ， 2)$

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2. 已知棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为（）

A、π B、2π C、4π D、12π

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3. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．若 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $c = \sqrt{7}$ ，则 $C =$ （）

A、 $120 °$ B、 $90 °$ C、 $60 °$ D、 $45 °$

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4. 已知点 $P (2 ， 0)$ ， $Q (1 ， 1)$ ，向量 $\vec{E F} = (λ ， 2)$ ，若 $\vec{P Q} \cdot \vec{E F} = 0$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、1

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5. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．若 $a = 1$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $B = \frac{π}{4}$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$

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6. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$

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7. 陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中A是圆锥的顶点，B，C分别是圆柱的上、下底面圆的圆心，且 $A B = 1$ ， $A C = 3$ ，底面圆的半径为1，则该陀螺的体积是（）

A、π B、2π C、 $\frac{7 π}{3}$ D、 $\frac{10 π}{3}$

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8. 已知向量 $\vec{a} = (m ， 1)$ ， $\vec{b} = (4 ， m)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向相反，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{2 m^{2} + 10 m + 17}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、5

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9. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $△ A B C$ 的面积为S， $2 a + b = 4$ ， $c (a + b - c) (s i n A + s i n B + s i n C) = 6 S$ ， $\vec{C A} = 3 \vec{C D} - 2 \vec{C B}$ ，则 $| \vec{C D} |$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、3 D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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二、填空题

10. i是虚数单位，复数 $\frac{2 - i}{1 + i} =$ ．

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11. 直线 $l$ 上所有点都在平面α内，可以用符号表示为．

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12. 若 $A (1 ， 1)$ 、 $B (2 ， - 1)$ 、 $C (a ， b)$ 三点共线，则 $2 a + b =$ ．

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13. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $A A_{1} = 3$ ，则异面直线 $A_{1} C_{1}$ 与 $A D_{1}$ 所成角的余弦值为．

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14. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = a b$ ，则 $C =$ ，若 $c = 2$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的半径为．

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15. 如图，在边长为1的正方形ABCD中， $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ ，则 $\vec{D E} \cdot \vec{B E} =$ ；若 $F$ 为线段 $B D$ 上的动点，则 $\vec{F E} \cdot \vec{F B}$ 的最小值为．

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三、解答题

16. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 的值；

(2)、若 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} - \vec{b})$ ，求实数 $k$ 的值．

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17. 如图，三棱锥 $S - A B C$ 的底面 $A B C$ 的侧面 $S A B$ 都是边长为2的等边三角形， $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点， $S D ⊥ C D$ ．

(1)、证明： $B C ∥$ 平面 $S D E$ ；

(2)、求三棱锥 $S - A B C$ 的体积．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ．已知 $a = 3 + \sqrt{3}$ ， $c = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ ， $A = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $C$ 的值；

(2)、求 $b$ 的值．

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19. 如图，在长方形 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A D = A A_{1} = 1$ ．

(1)、求证： $B_{1} C ⊥ B D_{1}$ ；

(2)、求直线 $A B_{1}$ 与平面 $A B C_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值．

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20. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} a ， b)$ ， $\vec{n} = (s i n A ， c o s B)$ ，且 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ．

(1)、求 $B$ 的值；

(2)、若 $a = 2$ ， $b = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积

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