山西省太原市2022-2023学年高一下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-04-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 复数 $1 - i$ 的共轭复数为（）

A、 $- 1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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2. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b}) =$ （）

A、6 B、8 C、10 D、12

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3. 已知复数 $z = \frac{(1 - i) (3 i - 1)}{- i}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为4 B、复数 $z$ 在复平面内对应的点位于第三象限 C、 $z^{2} = 20 - 16 i$ D、 $| z | = 2 \sqrt{5}$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 2)$ ， $\vec{b} = (m ， - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5. 已知一圆锥的母线长为 $3$ ，侧面积为 $3 \sqrt{5} π$ ，则该圆锥的高为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、4 D、10

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6. 在四边形 $A B C D$ 中，若 $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{0}$ ，且 $| \vec{A B} - \vec{A D} | = | \vec{A B} + \vec{A D} |$ ，则该四边形是（）

A、正方形 B、菱形 C、矩形 D、等腰梯形

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7. 在边长为2的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为边 $B C$ 上的动点，点 $F$ 为边 $C D$ 上的动点，且 $D F = C E$ ，则 $\vec{B F} \cdot \vec{E F}$ 的最小值为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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8. 已知 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ， $A B = 2$ ， $∠ B = \frac{π}{3}$ ，则 $\frac{s i n B}{s i n C} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、2

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9. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（）

A、三角形的直观图是三角形 B、平行四边形的直观图是平行四边形 C、正方形的直观图是正方形 D、菱形的直观图是菱形

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二、多选题

10. 已知复数 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $| z_{1} | + | z_{2} | \geq | \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}} |$ B、若 $| z_{1} | > | z_{2} |$ ，则 $z_{1} > z_{2}$ C、若 $z_{1} z_{2} = 0$ ，则 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 中至少有 $1$ 个是 $0$ D、若 $z_{1} \neq 0$ 且 $\bar{z_{1}} z_{2} = {| z_{1} |}^{2}$ ，则 $z_{1} = z_{2}$

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11. 在直角坐标系xOy中，已知点 $A (1 ， 1) ， B (2 ， 3) ， C (3 ， 2) ， \vec{O P} = m \vec{A B} + n \vec{A C} ， (m ， n \in R)$ ，则（）

A、若 $\vec{O P} ∥ \vec{B C}$ ，则 $m + n = 0$ B、若点P在BC上，则 $m + n = 1$ C、若 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ ，则 $m - n = 0$ D、若 $\vec{A P}$ 在 $\vec{A C}$ 方向上的投影向量是 $(2 ， 1)$ ，则 $m - n = 1$

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12. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成，体现了数学的对称美.如图，二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若它的所有棱长都为 $\sqrt{2}$ ，则（）

A、被截正方体的棱长为2 B、被截去的一个四面体的体积为 $\frac{4}{3}$ C、该二十四等边体的体积为 $\frac{20}{3}$ D、该二十四等边体外接球的表面积为 $8 π$

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三、填空题

13. 设复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 2 \sqrt{2} i$ ，则 $z =$ .

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14. 如图所示的图案，是由圆柱、球和圆锥组成，已知球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球、圆柱的体积 $V_{圆锥} ： V_{球} ： V_{圆柱} =$ .

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15. 如图，从气球 $A$ 上测得正前方的河流的两岸 $B$ ， $C$ 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是 $60m$ ，则河流的宽度 $B C$ 等于.

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16. 已知向量 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 ， \vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b} (λ ， μ \in R) ，$ 且 $| \vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} | = | \frac{\vec{a} - \vec{b}}{2} |$ ，则 $λ + μ$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知复数 $z_{1} = 1 + a i (a \in R)$ ，且 $\bar{z_{1}} (3 + i)$ 为纯虚数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、设复数 $z_{2} = \frac{b - i^{2023}}{z_{1}}$ ，且复数 $z_{2}$ 对应的点在第二象限，求实数 $b$ 的取值范围.

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2 ， A C = 5 ， ∠ B A C = 60 °$ ， BC，AC边上的中线AM，BN相交于点P．设 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A C} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a} ， \vec{b}$ 表示 $\vec{B N}$ ；

(2)、求 $| \vec{A P} |$ ．

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19. 如图，矩形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形 $O A B C$ 的直观图，其中 $O^{'} A^{'} = 3$ ， $O^{'} C^{'} = 1$ .

(1)、画出平面四边形 $O A B C$ 的平面图，并计算其面积；

(2)、若该四边形 $O A B C$ 以 $O A$ 为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积.

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20. $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知向量 $\vec{m} = (2 b - c ， c o s C)$ 与向量 $\vec{n} = (a ， c o s A)$ 共线.

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $5 \sqrt{3}$ ， $b = 5$ ，求 $s i n B s i n C$ 的值.

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21. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知向量 $\vec{m} = (2 b - c ， c o s C)$ 与向量 $\vec{n} = (a ， c o s A)$ 共线.

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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22. 如图所示，是一块三角形空地，其中 $O A = 3 k m$ ， $O B = 3 \sqrt{3} k m$ ， $∠ A O B = 9 0^{∘}$ .当地政府计划将这块空地改造成一个休闲娱乐场所，拟在中间挖一个人工湖 $△ O M N$ ，其中 $M$ 、 $N$ 在边 $A B$ 上，且 $∠ M O N = 3 0^{∘}$ ，挖出的泥土堆放在 $△ O A M$ 地带形成假山，剩下的 $△ O B N$ 地带建成活动场所.

(1)、当 $A M = \frac{3}{2} k m$ 时，求 $O M$ 的长度；

(2)、若要求挖人工湖用地 $△ O M N$ 的面积是堆假山用地 $△ O A M$ 面积的 $\sqrt{3}$ 倍，试确定 $∠ A O M$ 的大小.

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23. 如图所示，是一块三角形空地，其中 $O A = 3 k m$ ， $O B = 3 \sqrt{3} k m$ ， $∠ A O B = 90 °$ .当地政府规划将这块空地改造成一个休闲娱乐场所，拟在中间挖一个人工湖 $△ O M N$ ，其中 $M ， N$ 在边 $A B$ 上，且 $∠ M O N = 30 °$ ，挖出的泥土堆放在 $△ O A M$ 地带上形成假山，剩下的 $△ O B N$ 地带建成活动场所.

(1)、若要求挖人工湖用地 $△ O M N$ 的面积是堆假山用地 $△ O A M$ 面积的 $\sqrt{3}$ 倍，试确定 $∠ A O M$ 的大小；

(2)、为节省投入资金，人工湖 $△ O M N$ 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使 $△ O M N$ 的面积最小？最小面积是多少？

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