江苏省苏州市2022-2023学年高一下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-04-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{1 - i}{i}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $i$ C、-1 D、1

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2. $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面上一点，若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \vec{P B} \cdot \vec{P C} = \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ，则 $P$ 是 $△ A B C$ 的（）

A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心

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3. 已知复数 $z$ 满足 $| z + 2 | \leq \sqrt{2}$ ，则 $| z - 2 i |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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4. 欧拉公式 $e^{i θ} = c o s θ + i s i n θ (e = 2.71828 ⋯)$ 是由18世纪瑞士数学家､自然科学家莱昂哈德･欧拉发现的，被誉为数学上优美的公式.已知 $e^{i (θ - \frac{π}{6})} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，则 $c o s θ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 在如图所示的半圆中， $A B$ 为直径， $O$ 为圆心，点 $C$ 为半圆上一点且 $∠ O C B = 1 5^{∘}$ ， $| \vec{A B} | = 2 \sqrt{2}$ ，则 $| \vec{A C} |$ 等于（）

A、 $4 + 2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $4 - 2 \sqrt{3}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，若 $\frac{b \cdot c o s C}{c \cdot c o s B} = \frac{1 - c o s 2 B}{1 - c o s 2 C}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形

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7. 点 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点且满足 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则下列说法正确的个数有（）
①若 $x = y = \frac{1}{2}$ ，则点 $P$ 是边 $B C$ 的中点；②若点 $P$ 是 $B C$ 边上靠近 $B$ 点的三等分点，则 $x = \frac{1}{3} ， y = \frac{2}{3}$ ；③若点 $P$ 在 $B C$ 边的中线上且 $x + y = \frac{1}{2}$ ，则点 $P$ 是 $△ A B C$ 的重心；④若 $x + y = 2$ ，则 $△ P B C$ 与 $△ A B C$ 的面积相等.

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 在 $△ A B C$ 中， $B = \frac{π}{3}$ ， $B C$ 边上的高等于 $\frac{\sqrt{3}}{6} B C$ ，则 $c o s A$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{7}}{28}$ B、 $- \frac{\sqrt{7}}{14}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{14}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$

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二、多选题

9. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 的一个根是 $1 - 2 i$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $a = - 2$ B、 $b = - 5$ C、 $a + b i$ 的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限 D、 $a + b i ， a i + b$ 在复平面内对应的两点间的距离为 $7 \sqrt{2}$

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10. 下列命题正确的是（）

A、非零向量 $\vec{e_{1}}$ 和 $\vec{e_{2}}$ 不共线，若 $\vec{A B} = \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}} ， \vec{A C} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}} ， \vec{C D} = 3 \vec{e_{1}} - 6 \vec{e_{2}}$ ，则 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 三点共线 B、已知 $\vec{e_{1}}$ 和 $\vec{e_{2}}$ 是两个夹角为 $6 0^{∘}$ 的单位向量， $\vec{a} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}} ， \vec{b} = k \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}$ 且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $k = 5$ C、若四边形 $A B C D$ 满足 $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{0} ， (\vec{A B} - \vec{A D}) \cdot \vec{A C} = 0$ ，则该四边形一定是矩形 D、点 $O$ 在 $△ A B C$ 所在的平面内，动点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \vec{O A} + λ (\vec{A B} + \vec{A C})$ ，则动点 $P$ 的运动路径经过 $△ A B C$ 的重心

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11. 在 $△ A B C$ 中， $B = \frac{π}{3} ， b = 2 \sqrt{3} ， c = 3$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $C$ 有两解 B、 $B C$ 边上的高为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $B C$ 的长度为 $\frac{\sqrt{21} + 3}{2}$ D、 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{21} \pm 9}{4}$

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12. 已知函数 $f (x) = (s i n x - c o s x) (s i n x + | c o s x |)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在区间 $[- 2 π ， - \frac{3}{2} π]$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 的对称轴是 $x = \frac{π}{4} + k π (k \in Z)$ C、方程 $f (x) - \frac{3}{2} = 0$ 在 $x \in [- 2 π ， 2 π]$ 的解为 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ ，且 $x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n} = - π$ D、若 $f (x_{1}) - f (x_{2}) = 3$ ，则 ${| x_{1} - x_{2} |}_{m i n} = \frac{3 π}{4}$

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三、填空题

13. 下面给出的几个关于复数的命题，
①若 $(x^{2} - 4) + (x^{2} + 3 x + 2) i$ 是纯虚数，则实数 $x = \pm 2$
②复数 $(a^{2} + 1) i (a \in R)$ 是纯虚数
③复数 $z = - s i n 10 0^{°} + i c o s 10 0^{°}$ 在复平面内对应的点 $Z$ 位于第三象限
④如果复数 $z$ 满足 $| z + i | + | z - i | = 2$ ，则 $| z - 2 i - 1 |$ 的最小值是2
以上命题中，正确命题的序号是.

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14. 已知 $a > 0 ， f (x) = s i n (x - \frac{π}{3}) - a s i n x$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ ，则 $a =$ .

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15. $△ A B C$ 是钝角三角形，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c ， a = 2 ， b = 4$ ，则最大边 $c$ 的取值范围为.

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16. 根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形 $C D E$ 按上述操作作图后，得如图所示的图形，若 $\vec{A F} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，则 $x - y =$ ．

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四、解答题

17. 已知复数 $z_{1} = 2 - m^{2} + (2 m - 1) i ， z_{2} = λ + s i n θ - (1 - 2 c o s θ) i$ （其中 $i$ 是虚数单位， $m ， λ \in R$ ）.

(1)、若 $z_{1}$ 在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $z_{1} = z_{2}$ ，求实数 $λ$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (ω x + \frac{π}{6}) + 2 c o s^{2} (\frac{ω x}{2} + \frac{π}{12}) - 1 ， (ω > 0)$ 图象的相邻两对称轴间的距离为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 的单调递减区间.

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19. 设 $z_{1}$ 是虚数， $z_{2} = z_{1} + \frac{1}{z_{1}}$ 是实数且 $- \frac{1}{2} \leq z_{2} \leq \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $| z_{1} |$ 的值以及 $z_{1}$ 实部的取值范围；

(2)、若 $ω = \frac{1 - \bar{z_{1}}}{1 + \bar{z_{1}}}$ ，求证： $ω$ 为纯虚数.

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20. 如图，一个直径为 $5 m$ 的水车按逆时针方向每分钟转1.8圈，水车的中心 $O$ 距离水面的高度为 $1.25 m$ ，水车上的盛水筒 $P$ 到水面的距离为 $h$ （单位： $m$ ）（在水面下则 $h$ 为负数），若以盛水筒 $P$ 刚浮出水面时开始计时，则 $h$ 与时间 $t$ （单位： $s$ ）之间的关系为 $h = A s i n (ω t + φ) + b (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ .

(1)、求 $h$ 与 $t$ 的函数解析式；

(2)、求在一个旋转周期内，盛水筒 $P$ 在水面以上的时长.

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21. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，满足 $b s i n B + c s i n C = s i n A \cdot (a - 2 b s i n C)$ .

(1)、求角 $A$ 的余弦值；

(2)、若 $D$ 是边 $A B$ 的中点且 $C D = 2$ ，求 $b + \sqrt{2} c$ 的取值范围.

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22. 设正 $△ A B C$ 的边长为 $1 ， O$ 为 $△ A B C$ 的外心， $P_{1} ， P_{2} ， ⋯ ， P_{n}$ 为 $B C$ 边上的 $n + 1$ 等分点， $Q_{1} ， Q_{2} ， ⋯ ， Q_{n}$ 为 $A C$ 边上的 $n + 1$ 等分点， $L_{1} ， L_{2} ， ⋯ ， L_{n}$ 为 $A B$ 边上的 $n + 1$ 等分点.

(1)、当 $n = 2023$ 时，求 $| \vec{O C} + \vec{O P_{1}} + \vec{O P_{2}} + ⋯ + \vec{O P_{2023}} + \vec{O B} |$ 的值；

(2)、当 $n = 4$ 时.
（i）求 $\vec{O C} \cdot \vec{C P_{i}} + \vec{O C} \cdot \vec{C Q_{j}}$ 的值（用 $i ， j$ 表示）；
（ii）求 $\vec{O P_{i}} \cdot \vec{O Q_{j}} + \vec{O Q_{j}} \cdot \vec{O L_{k}} + \vec{O L_{k}} \cdot \vec{O P_{i}} (1 \leq i ， j ， k \leq 4 ， i ， j ， k \in N)$ 的最大值与最小值.

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