江苏省苏州市2022-2023学年高二下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-04-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设函数 $f (x) = 1 - x^{2}$ ，则 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的瞬时变化率为（）

A、-2 B、0 C、1 D、2

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2. 已知 $C_{n}^{2} = 28$ （ $n \in N$ ，且 $n \geq 2$ ），则 $A_{n}^{2}$ 的值为（）

A、30 B、42 C、56 D、72

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3. 设 $f^{'} (x_{0})$ 为函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处的导数，则满足 $f^{'} (1) < f^{'} (2) < f^{'} (3)$ 的函数 $f (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 在某项志愿服务中，需从来自甲、乙两个单位的10名志愿者（甲单位6名、乙单位4名）中选出4名志愿者组成志愿者服务小组，所选4名志愿者不全来自同一个单位的选法种数为（）

A、156 B、180 C、194 D、672

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5. 在某项测验中，假设测验数据服从正态分布 $N (75 ， 16)$ .如果按照 $16 %$ ， $34 %$ ， $34 %$ ， $16 %$ 的比例将测验数据从大到小分为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个等级，则等级为 $A$ 的测验数据的最小值可能是（）
【附：随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 a \leq ξ < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ \leq ξ < μ + 3 σ) = 0.9974$ 】

A、75 B、79 C、83 D、91

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6. $\forall x_{1} ， x_{2} \in [1 ， e]$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时，都有 $l n \frac{x_{1}}{x_{2}} < a (x_{1} - x_{2})$ ，则实数 $a$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{e^{2}}$ B、 $\frac{1}{e}$ C、 $\frac{\sqrt{e}}{e}$ D、1

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7. 讲台上有左、右两盒粉笔，左盒中有20支白色粉笔、5支黄色粉笔，右盒中有5支红色粉笔、6支黄色粉笔、4支蓝色粉笔.某位老师从这两盒中取粉笔，取自左盒的概率为40%，取自右盒的概率为60%.若这位老师从这两盒粉笔中任取一支，则取到黄色粉笔的概率为（）

A、0.275 B、0.28 C、0.32 D、0.6

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8. 设 $a = 1 . 4^{1.7} ， b = 1 . 7^{1.4} ， c = e$ （e为自然对数的底数），则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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二、多选题

9. 已知 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，其图象如图所示，则下列关于函数 $f (x)$ 的说法正确的是（）

A、在 $(- \infty ， 1)$ 上单调递减 B、在 $(1 ， 3)$ 上单调递增 C、在 $x = 1$ 处取得极小值 D、在 $x = 4$ 处取得极大值

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10. 在 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{2 x})}^{9}$ 的展开式中（）

A、常数项为 $\frac{21}{2}$ B、 $x^{3}$ 项的系数为 $- \frac{9}{2}$ C、系数最大项为第3项 D、有理项共有5项

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11. 甲、乙两盒中各放有除颜色外其余均相同的若干个球，其中甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出1球放入乙盒，再从乙盒中随机取出1球.记“从甲盒中取出的球是红球”为事件A，“从甲盒中取出的球是白球”为事件B，“从乙盒中取出的球是红球”为事件C，则（）

A、A与B互斥 B、A与C独立 C、 $P (C | A) = \frac{1}{2}$ D、 $P (C) = \frac{4}{9}$

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12. 设函数 $f (x) = \frac{e^{x} (2 x + 1)}{x}$ ，则（）

A、 $f^{'} (1) = 2 e$ B、函数 $f (x)$ 的图象过点 $(- 1 ， \frac{1}{e})$ 的切线方程为 $y = \frac{1}{e}$ C、函数 $f (x)$ 既存在极大值又存在极小值，且其极大值大于其极小值 D、方程 $f (x) = k$ 有两个不等实根，则实数 $k$ 的取值范围为 $(0 ， \frac{1}{e}) ∪ (4 \sqrt{e} ， + \infty)$

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三、填空题

13. 用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的四位数，在组成的四位数中，能被5整除的有个.

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14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 $f (x) =$ .
①定义域为 $R$ ，函数值不恒为0，且图象是条连续不断的曲线；② $\forall x \in R ， f (- x) + f (x) = 0$ ；③ $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数， $\forall x \in R ， f^{'} (x) \geq 0$ .

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15. 在下图中，从第2行起，除首末两个位置外，每个位置上的数都等于它肩上的两个数的和，最初几行是：
自左向右，第n行第 $i + 1$ 个数记为 $C_{n}^{i}$ （n， $i \in N$ 且 $i \leq n$ ）.若 $C_{15}^{k} = C_{15}^{2 k - 3}$ （ $n ， k \in N$ 且 $k \leq n$ ），则k的值为； $C_{4}^{1} + C_{5}^{2} + \cdot \cdot \cdot + C_{n}^{n - 3} + \cdot \cdot \cdot + C_{15}^{12}$ （ $n \in N$ 且 $6 \leq n \leq 14$ ）的值为.

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16. 已知函数 $f (x) = l n x ， g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + m$ .若曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 有公切线，则实数m的取值范围为.

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四、解答题

17. 从4名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛，

(1)、至少选到1名女生的的方法有多少种?

(2)、设随机变量X表示所选2人中女生的人数，求X的分布列及期望、方差.

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18. 在①只有第6项的二项式系数最大；②第5项与第7项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数之和为512；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知 ${(2 x - 1)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{n} x^{n}$ ，且满足____.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

(1)、求 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + ⋯ + \frac{a_{n}}{2^{n}}$ 的值；

(2)、求 $a_{1} + 2 a_{2} + ⋯ + n a_{n}$ 的值.

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19. 将一个边长为 $1$ 米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒.

(1)、试把这个正六棱柱铁皮盒的容积 $V$ 表示为盒底边长 $x$ 的函数；

(2)、 $x$ 多大时，盒子的容积 $V$ 最大?

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20. 近年来，我国电影市场非常火爆，有多部优秀国产电影陆续上映，某影评网站统计了100名观众对某部电影的评分情况，得到如下表格：
评价等级
★
★★
★★★
★★★★
★★★★★
人数
2
3
10
10
75
以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立.从全国所有观众中随机抽取 $4$ 名，

(1)、求恰有 $3$ 人评价为五星， $1$ 人评价为四星的概率；

(2)、记其中评价为五星的观众人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x - 1}{e^{x}}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、设曲线 $f (x)$ 在点 $T (t ， f (t))$ 处的切线为 $l$ ，记 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为 $b = g (t)$ ，当 $l$ 的斜率为非负数时，求 $e^{t} \cdot b$ 的取值范围.

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22. 已如函数 $f (x) = e^{x} - a l n (x + 2)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a = 1$ 时，求证：函数 $f (x)$ 存在极小值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) > \frac{1}{6}$ .

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评价等级	★	★★	★★★	★★★★	★★★★★
人数	2	3	10	10	75