江苏省南京市协同体七校2022-2023学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2023-04-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在 $△ A B C$ 中，若 $a = b = 2 ， c = 2 \sqrt{3}$ ，则 $∠ C =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{12}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (- 4 ， 2) ， \vec{b} = (m ， 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、6 B、-6 C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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3. $t a n 5 ° + t a n 25 ° + \frac{\sqrt{3}}{3} t a n 5 ° t a n 25 °$ 结果为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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4. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 15$ ，且 $\vec{b} = (3 ， - 4)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- \frac{6}{5} ， \frac{8}{5})$ B、 $(\frac{6}{5} ， - \frac{8}{5})$ C、 $(\frac{9}{5} ， - \frac{12}{5})$ D、 $(- \frac{9}{5} ， \frac{12}{5})$

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5. 已知 $c o s (\frac{5 π}{12} + \frac{α}{2}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $c o s (\frac{π}{6} - α)$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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6. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 均为单位向量，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，向量 $\vec{c}$ 满足 $| \vec{c} | = 2$ ，则 $(\vec{c} - 2 \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{b})$ 的最大值为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{5}$ C、 $4 + 2 \sqrt{5}$ D、 $4 + 2 \sqrt{3}$

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7. 已知 $θ \in (0 ， \frac{π}{4})$ ，且 $c o s 2 θ = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，则 $t a n θ =$ （）

A、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 或 $\sqrt{5}$

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8. 如图，四边形 $A B C D$ 四点共圆，其中 $B D$ 为直径， $A B = 5 ， B C = 4 ， ∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A C D$ 的面积为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、3 D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{6}$

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二、多选题

9. 已知 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是三个非零向量且 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 互不共线，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、 $| \vec{a} | - | \vec{b} | < | \vec{a} - \vec{b} |$ C、 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、 $| \vec{a} + \vec{b} |^{2} + | \vec{a} - \vec{b} |^{2} = 2 (| \vec{a} |^{2} + | \vec{b} |^{2})$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $b^{2} + c^{2} - a^{2} = \sqrt{2} b c$ 且 $b = \sqrt{2} a$ ，则下列关系可能成立的是（）

A、 $a = c$ B、 $b = c$ C、 $b = \sqrt{2} c$ D、 $a^{2} + c^{2} = b^{2}$

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11. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为 $α$ 、 $β$ ，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（）

A、每一个直角三角形的面积为 $\frac{5}{4}$ B、 $3 s i n β - 3 c o s α = 2$ C、 $3 s i n β - 3 s i n α = 2$ D、 $c o s (α - β) = \frac{5}{18}$

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12. 在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是线段 $B C$ 上任意一点，点 $M$ 是线段 $A D$ 的中点，若存在 $λ ， μ \in R$ 使 $\vec{B M} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ ， μ$ 的取值可能是（）

A、 $λ = - \frac{3}{5} ， μ = \frac{1}{10}$ B、 $λ = 1 ， μ = - \frac{3}{2}$ C、 $λ = - \frac{9}{10} ， μ = \frac{2}{5}$ D、 $λ = - \frac{7}{10} ， μ = \frac{3}{5}$

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三、填空题

13. 已知锐角α，β满足sin α＝ $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， cos β＝ $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则α＋β＝.

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14. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $3 \vec{a} + 2 \vec{b} + 5 \vec{c} = \vec{0}$ ，且 $| \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 4 ， | \vec{c} | = 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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15. 已知 $3 c o s (2 α + β) + 4 c o s β = 0$ ，则 $t a n (α + β) t a n α =$ .

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16. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D = D C = \frac{1}{2} A B = 1$ 且 $A B ⊥ A D ， P$ 为以 $A$ 为圆心， $A D$ 为半径的 $\frac{1}{4}$ 圆弧上的一动点，则 $\vec{P D} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C})$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知 $| \vec{a} | = 4 ， | \vec{b} | = 2 ， \vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，

(1)、求 $| 3 \vec{a} + \vec{b} |$ 的值；

(2)、当 $k$ 为何值时， $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} - \vec{b})$ .

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x s i n (x + \frac{π}{2}) - s i n^{2} x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $x \in (0 ， \frac{π}{4})$ ，求函数 $f (x)$ 的值域.

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19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c ， △ A B C$ 的面积为 $S$ 且 $S = (\frac{1}{2} a^{2} - b^{2}) s i n C$

(1)、证明： $a = 2 b$ ；

(2)、若 $a c o s C = \frac{3}{2} b$ ，求 $c o s A$ .

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20. 在 $△ A B C$ 中， $b = 2 \sqrt{3}$ ，从条件① $\sqrt{3} c c o s B = b s i n C$ ；条件② $2 a - c = 2 b c o s C$ ，两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

(1)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $a + c$ 的取值范围.

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21. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{C B} = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{4 c o s B}$ .

(1)、求B；

(2)、若 $A C ⊥ B C ， B C = 3$ ，角 $B$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 满足 $\vec{B D} = \vec{D E}$ ，求 $s i n ∠ A E C$ .

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22. 如图所示的矩形 $A B C D$ 中， $E ， F$ 分别为线段 $A B ， B C$ 上的动点.

(1)、若 $E$ 为靠近 $A$ 的三等分点， $F$ 为 $B C$ 的中点，且 $\vec{A B} = x \vec{E F} + 2 y \vec{B D}$ ，求 $x + y$ 的值；

(2)、若 $△ D E F$ 是边长为1的正三角形.
（i）令 $△ D C F$ 、 $△ A D E$ 、 $△ F E B$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，证明： $S_{1} + S_{2} = S_{3}$ ；
（ii）求矩形 $A B C D$ 面积的最大值.

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