湖南省湖湘教育三新探索协作体2022-2023学年高一下学期数学4月期中联考试卷

试卷更新日期：2023-04-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $A = {x | (2 - x) (x + 3) > 4}$ ， $B = {x | l o g_{2} x < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 2 ， 1)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(- 3 ， 2)$ D、 $(0 ， 1)$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = (3 - i^{3}) (1 + a i)$ 为纯虚数，则 $| z | =$ （）

A、0 B、 $- \frac{1}{3}$ C、3 D、10

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3. 已知正三棱锥 $A - B C D$ ，各棱长均为 $\sqrt{3}$ ，则其外接球的体积为（）

A、 $\frac{9 \sqrt{3}}{8} π$ B、 $\frac{81 \sqrt{2}}{16} π$ C、 $\frac{9 \sqrt{2}}{8} π$ D、 $\frac{9 \sqrt{3}}{16} π$

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4. 若“ $x^{2} + 3 x - 4 < 0$ ”是“ $x^{2} - (3 m + 3) x + 2 m^{2} + 3 m > 0$ ”的一个充分不必要条件，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \leq - 4$ 或 $m \geq 1$ B、 $m \leq - 4$ 或 $m > - 3$ C、 $m \leq - 1$ 或 $m \geq 4$ D、 $m < - 3$ 或 $m \geq 4$

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5. 在 $△ A B C$ 中， $2 \vec{B D} = \vec{B C}$ ， $3 \vec{B E} = \vec{B A}$ ，且 $C E$ 与 $A D$ 交于点 $P$ ，若 $\vec{C P} = x \vec{C A} + y \vec{C B}$ $(x ， y \in R)$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、1

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6. 已知正实数a，b满足 $a + 2 b = 4$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b + 1}$ 的最小值是（）

A、1 B、 $\frac{33}{28}$ C、 $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{3}$

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7. 将函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6}) + c o s^{2} x - s i n^{2} x$ 的图象向左平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象．若函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 轴对称，则 $φ$ 的值为（）

A、 $\frac{5 π}{12}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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8. 对任意的 $x ∈ R$ 函数 $f (x)$ ，都有 $f (- x) = f (x) ， f (- x) = f (2 + x)$ ，且当 $x \in [- 1 ， 0$ ]时， $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - 1$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) - l o g_{a} | x | = 0$ 在区间 $[- 5 ， 5]$ 内恰有6个不等实根，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(3 ， 5)$ B、 $[3 ， 5]$ C、 $[3 ， 5)$ D、 $(3 ， 5]$

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二、多选题

9. 下列关于复数的命题不正确的有（）

A、若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ B、若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1} = \pm z_{2}$ C、 $| z_{1} | | z_{2} | = | z_{1} z_{2} |$ D、 $z^{2} = {\bar{z}}^{2} = z \bar{z}$

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10. 已知 $α$ ， $β$ 为两个不同的平面， $a$ ， $b$ 为两条不同的直线， $A$ 为点，下列说法正确的是（）

A、 $α / / β ， a \subset α ， b \subset β \Rightarrow a / / b$ B、 $a \subset α ， b \cap α = A ， A \notin a \Rightarrow a ， b$ 为异面直线 C、 $a / / b ， a / / α ， b ⊄ α \Rightarrow b / / α$ D、 $b / / α ， a \subset α \Rightarrow a / / b$

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11. 已知定义在R上的函数 $y = f (x)$ 满足条件 $f (x + 1) = - f (x)$ ，且函数 $y = f (x - 1)$ 为奇函数，则下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 是周期函数 B、函数 $f (x)$ 为R上的偶函数 C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 1 ， 0)$ 对称 D、函数 $f (x)$ 为R上的单调函数

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12. 已知 $f (x) = c o s 3 x + 3 c o s x$ ，下列关于 $f (x)$ 说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{2 π}{3}$ B、 $f (x)$ 的最大值为4 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 关于 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 成中心对称

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三、填空题

13. 一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为 $4 5^{∘}$ ，腰和上底长均为 $\sqrt{2}$ 的等腰梯形，则原平面图形的面积为.

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14. 已知 $s i n α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $0 < α < \frac{π}{2}$ ，且 $c o s β = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ， $0 < β < \frac{π}{2}$ ，则 $c o s (α + β) =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} + l n | x | ， x \in [- 2 ， 0) ∪ (0 ， 2]$ ，则满足不等式 $f (a - 2) \geq f (2 a + 1)$ 的实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 在 $△ A B C$ 中，点O满足 $\vec{A O} = \frac{λ - | \vec{B A} |}{| \vec{B A} |} \vec{B A} + \frac{λ}{| \vec{B C} |} \vec{B C} （ λ > 0 ）$ ，且AO所在直线交边BC于点D，有 $\frac{| \vec{B D} |}{| \vec{D C} |} = \frac{| \vec{A B} |}{| \vec{A C} |}$ ， $| \vec{C A} - \vec{C B} | = 6$ ， $| \vec{C A} | - | \vec{C B} | = 2$ ，则 $\frac{\vec{B O} \cdot \vec{B A}}{| \vec{B A} |}$ 的值为.

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四、解答题

17. 已知平面直角坐标系中，点 $O$ 为原点， $A (\sqrt{3} ， - 1)$ ， $B (0 ， 2)$

(1)、若 $| \vec{a} | = 1$ ， $\vec{a} / / \vec{O A}$ 且方向相反，求 $\vec{a}$ 的坐标；

(2)、若 $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{b}$ 与 $\vec{A B}$ 的夹角为 $3 0^{∘}$ ，且向量 $\vec{b} + k \vec{A B}$ 与 $\vec{b} - \vec{A B}$ 互相垂直，求 $k$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ $(A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、先将函数 $y = f (x)$ 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若 $| g (x) | \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求实数x的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + a ， x \in [2 ， 4]$ 的最小值为 $φ (a)$ .

(1)、求 $φ (a)$ 的解析式；

(2)、若 $φ (m + 1) > φ (2 m - 3)$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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20. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $2 b s i n (A + \frac{π}{6}) = a + c$ .

(1)、求B；

(2)、若锐角△ABC中 $b = 2$ ，求其周长的取值范围.

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21. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，点A是 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的一个定点，过点A的直线EF垂直于直线 $l_{1}$ ， $A E = m ， A F = n$ （m，n为常数），点B，C分别为 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 上的动点，已知 $∠ B A C = \frac{π}{4}$ .设 $∠ A C F = α (0 < α < \frac{π}{4})$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S (α)$ .

(1)、写出 $S (α)$ 的解析式；

(2)、求 $S (α)$ 的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = l g \frac{1 - x}{1 + x}$ .

(1)、证明：函数 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若函数 $h (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， - 1 < x < 1 \\ k x^{2} + 1 ， x \leq - 1 或 x \geq 1 \end{array}$ ，其中 $k \leq 0$ ，讨论函数 $y = h (h (x)) - 2$ 的零点个数.

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