河南省南阳市2022-2023学年高一下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-04-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. $s i n \frac{14 π}{3} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $A = 30 °$ ， $a = 3 ， b = 4$ ，则满足条件的三角形有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个

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3. 若 $α$ 为第三象限角且 $s i n (π - α) = - \frac{3}{5}$ ，则 $c o s (\frac{π}{2} - α) =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 下列说法正确的是（）

A、斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B、若向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | > | \vec{b} |$ 且 $\vec{a} ， \vec{b}$ 同向，则 $\vec{a} > \vec{b}$ C、若 $P ， A ， B$ 三点满足 $\vec{O P} = \vec{O A} + 3 \vec{O B} ，$ 则 $P ， A ， B$ 三点共线 D、将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为 $\frac{π}{3}$

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5. 将函数 $y = c o s (3 x + φ)$ 的图象沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位后，得到的函数的图象关于原点对称，则 $φ$ 的一个可能值为（）

A、 $- \frac{7 π}{12}$ B、 $- \frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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6. 已知函数 $f (x) = A t a n (ω x + φ)$ $(φ > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ， $y = f (x)$ 的部分图象如图，则 $f (\frac{7 π}{24}) =$ （）

A、 $2 + \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $A C = B C = 1 ， ∠ C = 90 °$ ． P为 $A B$ 边上的动点，则 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{4} ， 1]$ B、 $[- \frac{1}{8} ， 1]$ C、 $[- \frac{1}{4} ， 2]$ D、 $[- \frac{1}{8} ， 2]$

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8. 在锐角三角形ABC中，下列结论正确的是（）

A、 $c o s (c o s C) > c o s (s i n B)$ B、 $c o s (s i n A) > c o s (c o s B)$ C、 $c o s (s i n C) > c o s (c o s B)$ D、 $c o s (s i n A) > c o s (c o s A)$

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二、多选题

9. 下列四个命题为真命题的是（）

A、若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ ，满足 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ B、若向量 $\vec{a} = (1 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (2 ， 6)$ ，则 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 可作为平面向量的一组基底 C、若向量 $\vec{a} = (5 ， 0)$ ， $\vec{b} = (4 ， 3)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(\frac{16}{5} ， \frac{12}{5})$ D、若向量 $\vec{m}$ 、 $\vec{n}$ 满足 $| \vec{m} | = 2$ ， $| \vec{n} | = 3$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = 3$ ，则 $| \vec{m} + \vec{n} | = \sqrt{7}$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} (s i n x + c o s x) - \frac{1}{2} | s i n x - c o s x |$ ，则下面结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的对称轴为 $x = \frac{π}{4} + k π (k \in Z)$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ C、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，最小值为 $- 1$ D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{4} ， \frac{5 π}{4}]$ 上单调递减

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11. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 $O$ 是 $△ A B C$ 内一点， $△ B O C$ 、 $△ A O C$ 、 $△ A O B$ 的面积分别为 $S_{A}$ 、 $S_{B}$ 、 $S_{C}$ ，则 $S_{A} \cdot \vec{O A} + S_{B} \cdot \vec{O B} + S_{C} \cdot \vec{O C} = \vec{0}$ .设 $O$ 是锐角 $△ A B C$ 内的一点， $∠ B A C$ 、 $∠ A B C$ 、 $∠ A C B$ 分别是 $△ A B C$ 的三个内角，以下命题正确的有（）

A、若 $\vec{O A} + 2 \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $S_{A} ： S_{B} ： S_{C} = 1 ： 2 ： 3$ B、 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = 2$ ， $∠ A O B = \frac{5 π}{6}$ ， $2 \vec{O A} + 3 \vec{O B} + 4 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $S_{△ A B C} = \frac{9}{2}$ C、若 $O$ 为 $△ A B C$ 的内心， $3 \vec{O A} + 4 \vec{O B} + 5 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $∠ C = \frac{π}{2}$ D、若 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$

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12. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0)$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{2 π}{3} ， \frac{5 π}{6})$ 上单调递减，则下列结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $\frac{π}{3}$ B、若 $f (\frac{2 π}{3}) + f (\frac{5 π}{6}) = 0$ ，则 $f (\frac{3 π}{4}) = 0$ C、若 $f (x + \frac{π}{3})$ 的图象与 $f (x)$ 的图象重合，则满足条件的 $ω$ 有且仅有1个 D、若 $φ = - \frac{π}{6}$ ，则 $ω$ 的取值范围是 $[1 ， 2] \cup [4 ， \frac{22}{5}]$

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三、填空题

13. 请写出终边落在射线 $y = \sqrt{3} x$ $(x \geq 0)$ 上的一个角 (用弧度制表示).

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14. 在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $M$ 为 $A B$ 的中点，点 $N$ 在 $B D$ 上， $M ， N ， C$ 三点共线，若 $\vec{D N} = λ \vec{N B}$ ，则 $λ =$ .

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15. 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 $y = a + A c o s [\frac{π}{6} (x - 6)]$ （x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为℃.

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16. $H$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点，且满足 ${| \vec{H A} |}^{2} + {| \vec{B C} |}^{2} = {| \vec{H B} |}^{2} + {| \vec{C A} |}^{2} = {| \vec{H C} |}^{2} + {| \vec{A B} |}^{2}$
|则点 $H$ 为 $△ A B C$ 的心.若 $| \vec{A B} | = 7$ ， $| \vec{A C} | = 5$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，则 $\vec{A H} \cdot \vec{A C} =$

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ .

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，求 $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$ .

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18. 某同学用“五点作图法”画函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
$ω x + φ$
$0$
$\frac{π}{2}$
$π$
$\frac{3 π}{2}$
$2 π$
$x$
$\frac{π}{8}$
$\frac{5 π}{8}$
$A s i n (ω x + φ)$
$0$
$\sqrt{2}$
$0$
$- \sqrt{2}$
$0$

(1)、请将上表数据补充完整，并求出函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x) = m (m \in R)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有两根，求 $m$ 的取值范围.

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19. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2 c o s x)$ ， $\vec{b} = (s i n x ， c o s x)$ ．

(1)、求 $| \vec{a} |$ 的取值范围；

(2)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最大值．

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20. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a = 3$ ， $b = 5$ ， $c = 7$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的三个角中最大角的大小；

(2)、秦九韶是我国古代最有成就的数学家之一，被美国著名科学史家萨顿赞誉“秦九韶是他那个民族，他那个时代，并且确实也是那个时代最伟大的数学家之一”.他的数学巨著《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是有世界意义的重要贡献；他提出的三斜求积术 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ 可以已知三边求三角形的面积.试用余弦定理推导该公式，并用该公式求 $△ A B C$ 的面积.

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21. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．向量 $\vec{e} = (b ， c)$ ， $\vec{f} = (s i n C ， s i n B)$ ， $\vec{g} = (c - a ， b - a)$ ．

(1)、若 $\vec{e} ∥ \vec{f}$ ，求证： $△ A B C$ 为等腰三角形；

(2)、若 $\vec{e} ⊥ \vec{g}$ ， $a = 2$ ， $A = \frac{π}{3}$ 求 $△ A B C$ 的面积．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (ω x + φ) + \sqrt{2} (0 < ω < 2 ， 0 < φ < \frac{π}{2}) .$ 请在下面的三个条件中任选两个解答问题.①函数 $f (x)$ 的图像过点 $(0 ， 2 \sqrt{2})$ ；②函数 $f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{1}{2} ， \sqrt{2})$ 对称；③函数 $f (x)$ 相邻两个对称轴之间距离为 $2$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $a \in (- 2 ， 0)$ 时，是否存在实数 $a$ 满足不等式 $f (2 a + \frac{3}{2}) > f (a)$ ？若存在，求出 $a$ 的范围，若不存在，请说明理由.

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$ω x + φ$	$0$	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$
$x$		$\frac{π}{8}$		$\frac{5 π}{8}$
$A s i n (ω x + φ)$	$0$	$\sqrt{2}$	$0$	$- \sqrt{2}$	$0$