河南省南阳市2022-2023学年高二下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-04-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若 $y = s i n \frac{π}{3}$ ，则 $y^{'} =$ （　　）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 数列 ${(- 1)^{n} c o s \frac{n π}{4}}$ 的第5项为（　　）

A、0 B、 $- 1$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道“今有女善织，日益功疾”的题．若第一天织布5尺（市制长度单位），从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，现1个月（按30天计）共织390尺布，则第2天比前一天多织布（　　）尺．

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{5}{18}$ C、 $\frac{16}{31}$ D、 $\frac{16}{29}$

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4. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为10，前 $2 n$ 项和为60，则该数列的前 $4 n$ 项和为（　　）

A、360 B、720 C、1560 D、1800

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5. 设曲线 $y = x^{n + 1} (n \in N^{*})$ 在点 $(1 ， 1)$ 处的切线与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{n}$ ，则数列 ${x_{n}}$ 的前2023项的积为（　　）

A、 $\frac{2024}{2023}$ B、 $\frac{2023}{2024}$ C、 $\frac{1}{2023}$ D、 $\frac{1}{2024}$

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6. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”．如 ${(1101)}_{2}$ 表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是 $1 \times 2^{3} + 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 13$ ，那么将二进制数 $\underset{15 位}{\underset{︸}{11 ⋯ 1}}$ 转换成十进制数的形式是（　　）

A、 $2^{17} - 2$ B、 $2^{16} - 1$ C、 $2^{16} - 2$ D、 $2^{15} - 1$

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7. 若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则“ $S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2}$ ”是“数列 ${a_{n}}$ 是等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 现有长为 $89 c m$ 的铁丝，要截成 $n$ 小段 $(n > 2)$ ，每段的长度为不小于 $1 c m$ 的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则 $n$ 的最大值为（　　）

A、8 B、9 C、10 D、11

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二、多选题

9. 已知递增数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} a_{8} = 18$ ， $a_{3} + a_{7} = 9$ ，则下列说法正确的有（　　）

A、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，则 $a_{14} = 9$ B、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，则 $a_{11} = 9$ C、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，则 $a_{11} = 12$ D、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，则 $a_{14} = 9$

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10. 若 $f (x) = c o s x + 2 x f^{'} (\frac{π}{6})$ ，则（　　）

A、 $f^{'} (\frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$ B、 $f^{'} (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}$ C、 $f^{'} (\frac{π}{3}) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $f^{'} (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

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11. 若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和， $S_{5} < S_{6}$ ， $S_{6} = S_{7}$ ， $S_{7} > S_{8}$ ，则下列说法正确的有（　　）

A、公差 $d < 0$ B、 $S_{12} > 0$ C、 $S_{9} > S_{5}$ D、使 $S_{n} < 0$ 的最小整数 $n$ 为14

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12. 某校对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的 $\frac{4}{5}$ ，女生喜欢抖音的人数占女生人数的 $\frac{3}{5}$ ，若有 $95 %$ 的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（　　）
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (K^{2} \geq k)$
$0.100$
$0.050$
$0.010$
$k$
$2.706$
$3.841$
$6.635$

A、50 B、45 C、40 D、35

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三、填空题

13. 若 $f (x) = x + \frac{2}{x}$ ，则 $f^{'} (2) =$ ．

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14. 一个等比数列的公比 $q \neq 1$ ，且它的每一项都是它后面两项的等差中项，则公比 $q =$ ．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n} \in Z$ ， $a_{3} = 2$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{2} ， a_{n} 为偶数， \\ 3 a_{n} + 1 ， a_{n} 为奇数 \end{array}$ ，则 $a_{1} =$ ．

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16. 设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $a_{n}^{2} + 4 = 2 a_{n} S_{n}$ ，且 $a_{n} > 0$ ，则 $S_{n} =$ ， $a_{10} =$ ．

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四、解答题

17.

(1)、求函数 $f (x) = \frac{e^{x} c o s x}{x}$ 的导函数；

(2)、求曲线 $f (x) = 2 + x l n x$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程．

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18. 已知数列{a_n｝的各项均为正数，记S_n为{a_n｝的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{a_n｝是等差数列：②数列{ $\sqrt{S_{n}}$ ｝是等差数列；③a₂=3a₁

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

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19. 垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化､减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 20)$ ，其中 $x_{i}$ 和 $y_{i}$ 分别表示第 $i$ 个县城的人口(单位：万人)和该县年垃圾产生总量(单位：吨)，并计算得 $\sum_{i = 1}^{20} x_{i} = 80$ ， $\sum_{i = 1}^{20} y_{i} = 4000$ ， $\sum_{i = 1}^{20} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 80$ ， $\sum_{i = 1}^{20} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 8000$ ， $\sum_{i = 1}^{20} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 700$ .
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，对于一组具有线性相关关系的数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n)$ ，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、请用相关系数说明该组数据中 $y$ 与 $x$ 之间的关系可用线性回归模型进行拟合；

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，用所求回归方程预测该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为多少吨？

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d (d \neq 0)$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{10} = 110$ ，且 $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{4}$ 的等比中项．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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21. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4} = 4 S_{2}$ ， $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $\frac{b_{1}}{a_{1}} + \frac{b_{2}}{a_{2}} + · · · + \frac{b_{n}}{a_{n}} = 1 - \frac{1}{2^{n}} ， n \in N^{*}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，点 $(n ， 2 a_{n + 1} - a_{n})$ 在直线 $y = x$ 上，其中 $n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯$

(1)、令 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n} - 1$ ，求证：数列 ${b_{n}}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、设数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，是否存在实数 $λ$ ，使得数列 ${a_{n} + λ T_{n}}$ 为等差数列?若存在，试求出 $λ$ ，若不存在，请说明理由．

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$P (K^{2} \geq k)$	$0.100$	$0.050$	$0.010$
$k$	$2.706$	$3.841$	$6.635$