河北省承德市重点高中2022-2023学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2023-04-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 3 - i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、-2 B、-1 C、 $- 2 i$ D、2

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2. 下列说法中不正确的是（）

A、零向量与任一向量平行 B、方向相反的两个非零向量不一定共线 C、单位向量是模为1的向量 D、方向相反的两个非零向量必不相等

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3. 在 $△ A B C$ 中，若 $A B = 3 ， B C = 4 ， A C = 5$ ，则 $\vec{B C} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、 $- 16$ B、16 C、9 D、0

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4. 若 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $s i n (α - \frac{π}{3}) = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s α$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{6} + 1}{6}$ B、 $\frac{2 \sqrt{6} - 1}{6}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{6}$

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5. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a = 30$ ， $b = 25$ ， $A = 4 2^{∘}$ ，则此三角形解的情况为（）

A、无解 B、有两解 C、有一解 D、有无数解

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6. 已知 $△ A B C$ 的三边长分别为 $a$ ， $a + 3$ ， $a + 6$ ，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{8}$

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7. 已知点 $O$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，若非零向量 $\vec{A O}$ 与向量 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} | c o s B} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} | c o s C})$ 共线，则（）

A、 $∠ O A B = ∠ O A C$ B、 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ C、 $| \vec{O B} | = | \vec{O C} |$ D、 $\vec{A O} \cdot \vec{B C} = 0$

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8. 将函数 $y = s i n 2 x + \sqrt{3} c o s 2 x$ 的图象向右平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位长度后得到 $f (x)$ 的图象，若 $f (x)$ 在 $(π ， \frac{4 π}{3})$ 上单调递增，则 $φ$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{π}{8} ， \frac{3 π}{8})$ B、 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ C、 $[\frac{π}{4} ， \frac{5 π}{12}]$ D、 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$

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二、多选题

9. 若复数 $z$ 为纯虚数，则（）

A、 $z + \bar{z}$ 为实数 B、 $z - \bar{z}$ 为实数 C、 $z^{2}$ 为实数 D、 $\bar{z} \cdot i$ 为实数

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10. 已知函数 $f (x) = | t a n x |$ ，则下列关于函数 $f (x)$ 的图象与性质的叙述中，正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 在 $(k π ， k π + \frac{π}{2}) (k \in Z)$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、 $f (\frac{π}{5}) < f (\frac{4 π}{5})$

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11. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - 4 \vec{b} | = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线，则 $| \vec{a} | + 4 | \vec{b} | = 2$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 ${\vec{a}}^{2} + 16 {\vec{b}}^{2} = 4$ C、若 ${\vec{a}}^{2} + 16 {\vec{b}}^{2} = 6$ ，则 $| \vec{a} + 4 \vec{b} | = 4$ D、 $\vec{a} \cdot \vec{b} \geq - \frac{1}{4}$

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12. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $(s i n A + s i n B)^{2} = (2 s i n B + s i n C) s i n C$ ，且 $s i n A > \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $c - a = a c o s C$ B、a>c C、c>a D、 $C > \frac{π}{3}$

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三、填空题

13. 计算： $| \frac{3 + i}{1 - i} | =$ .

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14. 已知 $| \vec{a} | = 3$ ，向量 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $- \frac{2}{3} \vec{a}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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15. 已知某扇形材料的面积为 $\frac{3 π}{2}$ ，圆心角为 $\frac{π}{3}$ ，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为.

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16. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心， $O B ⊥ O C$ ， $3 b = 4 c$ ，则 $c o s A =$ ．

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四、解答题

17. 已知虚数z满足 $| z | = \sqrt{5}$ .

(1)、求证： $z + \frac{5 i}{z}$ 在复平面内对应的点在直线 $y = x$ 上；

(2)、若 $z$ 是方程 $2 x^{2} + 4 x + k = 0 (k \in R)$ 的一个根，求 $k$ 与 $z$ .

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18. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的图象的一部分如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [- \frac{4}{3} ， 3]$ 时，求函数 $y = f (x) + f (x + 2)$ 的最值.

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19. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，向量 $\vec{m} = (b - 2 c ， a) ， \vec{n} = (c o s A ， c o s B)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为 $3 \sqrt{3}$ ，且 $△ A B C$ 外接圆的半径为1，判断 $△ A B C$ 的形状，并求 $△ A B C$ 的面积.

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20. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $(\vec{a} - 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b}) = - 12$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、求 $| \vec{a} - \sqrt{3} \vec{b} |$ ．

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21. 2023年的春节，人们积蓄已久的出行热情似乎在这一刻被引爆，让旅游业终于迎来真正意义上的“触底反弹”.如图是某旅游景区中的网红景点的路线图，景点A处下山至 $C$ 处有两种路径：一种是从A沿直线步行到 $C$ ，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B 沿直线步行到 $C$ .现有甲､乙两位游客从A处下山，甲沿 $A C$ 匀速步行，速度为 $50 m / m i n$ .在甲出发 $2 m i n$ 后，乙从A乘缆车到B ，在B 处停留 $1 m i n$ 后，再从B 匀速步行到 $C$ .假设缆车匀速直线运行的速度为 $130 m / m i n$ ，索道 $A B$ 长为 $1040 m$ ，经测量， $c o s A = \frac{12}{13} ， c o s C = \frac{3}{5}$ .

(1)、求山路 $A C$ 的长；

(2)、乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

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22. 已知圆 $O$ 的半径为2，圆 $O$ 与正 $△ A B C$ 的各边相切，动点 $Q$ 在圆 $O$ 上，点 $P$ 满足 $\vec{A O} + \vec{A Q} = 2 \vec{A P}$ .

(1)、求 ${\vec{P A}}^{2} + {\vec{P B}}^{2} + {\vec{P C}}^{2}$ 的值；

(2)、若存在 $x ， y \in (0 ， + \infty)$ ，使得 $\vec{C P} = x \vec{P A} + y \vec{P B}$ ，求 $x + y$ 的最大值.

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