河北省沧衡八校联盟2022-2023学年高一下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-04-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 3)$ ，那么 $2 \vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $(5 ， 1)$ B、 $(5 ， - 1)$ C、 $(4 ， 1)$ D、 $(4 ， - 1)$

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2. 已知复数 $z = \frac{1 - 6 i}{i^{3}}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、1 B、-1 C、6 D、-6

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3. 在 $△ A B C$ 中， $A + C = 2 B$ ， $A C = 4 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的半径为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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4. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 5$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，且 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) \cdot \vec{a} = 7$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $- \frac{9}{10}$ B、 $\frac{9}{10}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $- \frac{5}{9}$

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5. 若 $△ O A B$ 的直观图如图所示， $∠ B^{'} A^{'} O^{'} = \frac{π}{2}$ ， $B^{^{'}} A^{^{'}} = 2$ ，则顶点 $B$ 到 $x$ 轴的距离是（）

A、2 B、4 C、 $\sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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6. 一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为 $P_{2} A$ ， $P_{1} D$ ， $P_{4} D$ ， $P_{4} C$ ， $P_{3} C$ 的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论：
①直线 $A F$ 与直线 $B Q$ 是异面直线；②直线 $B E$ 与直线 $M N$ 是异面直线；
③直线 $B Q$ 与直线MN共面；④直线 $B E$ 与直线 $A F$ 是异面直线.
其中正确结论的个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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7. 灯罩的更新换代比较快，而且灯具大部分都是设计师精心设计，对于灯来说，不用将灯整个都换掉，只需要把灯具的外部灯罩进行替换就可以改变灯的风格.杰斯决定更换卧室内的两个灯罩来换换氛围，已知该灯罩呈圆台结构，上下底皆挖空，上底半径为10 $c m$ ，下底半径为18 $c m$ ，母线长为17 $c m$ ，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计做工布料的浪费，则更换两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为（）

A、 $969 π c m^{2}$ B、 $952 π c m^{2}$ C、 $864 π c m^{2}$ D、 $476 π c m^{2}$

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8. 已知三棱锥 $S - A B C$ 的四个顶点都在球 $O$ 的球面上，且 $S A = B C = 2$ ， $S B = A C = \sqrt{7}$ ， $S C = A B = \sqrt{5}$ ，则球 $O$ 的体积是（）

A、 $\frac{8}{3} π$ B、 $\frac{32 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3} π$ D、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (λ ， - 4)$ ， $\vec{b} = (1 ， \sqrt{2})$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则（）

A、 $λ = - 2 \sqrt{2}$ B、 $λ = 4 \sqrt{2}$ C、 $| \vec{a} + \sqrt{2} \vec{b} | = \sqrt{6}$ D、 $| \vec{a} + \sqrt{2} \vec{b} | = \sqrt{2}$

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10. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程 $x^{2} - 12 x + 35 = 0$ 的两个根， $A = 120 °$ ，则（）

A、 $a = 5$ B、 $a - b = 2$ C、 $c = 3$ D、 $b + c - a = 1$

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11. 已知点 $O$ 是 $△ M N D$ 所在平面内任一点， $A$ 为 $O M$ 的中点， $\vec{N B} = 2 \vec{B O}$ ， $\vec{D C} = 3 \vec{C O}$ ，且 $2 \vec{O A} + 3 \vec{O B} =$ $4 \vec{C O}$ ，则（）

A、 $O$ 是 $△ M N D$ 的外心 B、 $O$ 是 $△ M N D$ 的重心 C、 $S_{△ M N O} = 6 S_{△ A B O}$ D、 $S_{△ D M O} = S_{△ D N O}$

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12. 在正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $E ， F ， G$ 分别为棱 $B B^{'}$ ， $D D^{'}$ ， $C C^{'}$ 上的一点，且 $\frac{D^{'} F}{D^{'} D} = \frac{B^{'} E}{B^{'} B} = \frac{C G}{C^{'} C} = λ$ ， $H$ 是 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 的中点， $I$ 是棱 $C^{^{'}} D^{^{'}}$ 上的动点，则（）

A、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时， $G \in$ 平面 $A E F$ B、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时， $A C^{'} \subset$ 平面 $A E F$ C、当 $0 < λ < 1$ 时，存在点 $I$ ，使 $A ， F ， H ， I$ 四点共面 D、当 $0 < λ < 1$ 时，存在点 $I$ ，使 $F I$ ， $E H$ ， $C C^{'}$ 三条直线交于同一点

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三、填空题

13. 已知复数 $z = (1 + i) (2 - i) + a$ 为纯虚数，则实数 $a =$ .

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14. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 2)$ ，向量 $\vec{b} = (2 ， 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (λ \vec{a} - \vec{b})$ ，则 $λ =$ .

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15. 如图，在正六边形ABCDEF中，向量 $\vec{E F}$ 在向量 $\vec{C D}$ 上的投影向量是 $m \vec{C D}$ ，则 $m =$ ．

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16. 广州国际金融中心大楼，简称“广州IFC”，又称“广州西塔”，位于广东省广州市，为地处天河中央商务区的一栋摩天大楼，东面珠江公园，南邻珠江和广州塔，西近广州大道，北望天河体育中心与白云山.小胜为测量其高度，在点 $M$ 处测得广州国际金融中心大楼顶端 $P$ 处的仰角为 $\frac{π}{6}$ ，在点 $N$ 处测得广州国际金融中心大楼顶端 $P$ 处的仰角为 $\frac{π}{4}$ ，在点 $Q$ 处测得广州国际金融中心大楼顶端 $P$ 处的仰角为 $\frac{π}{3}$ ，其中 $M$ ， $N$ ， $Q$ 三点共线且与广州国际金融中心大楼底部在同一水平高度，已知 $M N = N Q = 145 \sqrt{6}$ 米，则广州国际金融中心大楼的高度为米.

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四、解答题

17. 据《黑鞑事略》记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载.草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.如图1，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图2，已知该圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面直径为8米.求该蒙古包的侧面积.

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18. 已知复数z满足 $z + \bar{z} = 2$ ， $z - \bar{z} = 4 i$ .

(1)、求 $| 3 + \bar{z} |$ ；

(2)、设 $\frac{10}{z}$ ， $z \bar{z}$ ， $z + 2 \bar{z}$ 在复平面内对应的点分别为A，B，C，求 $c o s 〈 \vec{A B} ， \vec{B C} 〉$ .

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19. 在△ABC中，D为 $A C$ 的中点， $\vec{E A} = \frac{1}{4} \vec{B A}$ .

(1)、设 $\vec{B D} = \vec{a}$ ， $\vec{B A} = \vec{b}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{B C}$ 及向量 $\vec{E C}$ ，

(2)、若 $∠ B C A = \frac{π}{3}$ ， $B E = \frac{21}{4}$ ，且 $\vec{C B} \cdot \vec{C A} = 12$ ，求△ABC的周长.

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20. 已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边， $b = 4$ ，且 $8 s i n A c o s C = a s i n B$ .

(1)、求角C；

(2)、若 $A D$ 为 $△ A B C$ 的中线，且 $A D = \frac{7}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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21. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为6，M是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，点N在棱 $C C_{1}$ 上，且 $C N = 2 N C_{1}$ .

(1)、作出过点D，M，N的平面截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面，写出作法；

(2)、求（1）中所得截面的周长.

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22. 如图，某巡逻艇在A处发现正东方向30海里的B处有一艘走私船正沿东偏北 $θ$ （ $0 < θ < \frac{π}{2}$ ）的方向直线行驶，巡逻艇立即以走私船2倍的速度沿东偏北 $α$ （ $0 < α < \frac{π}{2}$ ）的方向直线追去，并在F处拦截.若点F在警戒水域 $A C D E$ 内（包含边界），则为安全拦截，否则为警戒拦截.已知B为 $A C$ 的中点.

(1)、若 $θ = \frac{π}{6}$ ，求 $s i n α$ ；

(2)、若对任意的 $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ 都可以通过调整 $α$ 的大小来实现安全拦截，求 $A E$ 的最小值.

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