河北省保定市2022-2023学年高一下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-04-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在平行四边形ABCD中， $\vec{A C} - \vec{B C} =$ （）

A、 $\vec{D A}$ B、 $\vec{B D}$ C、 $\vec{B A}$ D、 $\vec{D C}$

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2. 设 $(2 - 3 i) a + b = 3 i$ ，其中a、b为实数，则（）

A、 $a = 1$ ， $b = - 2$ B、 $a = 1$ ， $b = 2$ C、 $a = - 1$ ， $b = 2$ D、 $a = - 1$ ， $b = - 2$

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3. 一个几何体由6个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正多边形，其余各面都是全等的矩形，则该几何体是（）

A、四棱柱 B、六棱台 C、六棱柱 D、正方体

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4. 已知 $A (0 ， 1)$ 、 $B (m ， 3)$ 、 $C (4 ， 7)$ 三点共线，则 $m =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、2

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5. 已知 $a ， b ， c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A ， B ， C$ 的对边，且 $a c o s C = b + \frac{2}{3} c$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、钝角三角形

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6. 如图①，这是一个小正方体的侧面展开图，将小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格、第6格，这时小正方体正面朝上的图案是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时 $10 \sqrt{39}$ 海里，在 $A$ 处看灯塔 $S$ 在船的北偏东 $θ (s i n θ = \frac{\sqrt{3}}{4})$ 的方向上.1小时后，船航行到 $B$ 处，在 $B$ 处看灯塔 $S$ 在船的北偏东 $3 θ$ 的方向上，则船航行到 $B$ 处时与灯塔 $S$ 之间的距离为（）

A、 $10 \sqrt{3}$ 海里 B、 $20 \sqrt{3}$ 海里 C、 $10 \sqrt{13}$ 海里 D、 $20 \sqrt{13}$ 海里

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8. 已知复数 $z_{1} = 2 + i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ （ $p$ ， $q \in R$ ）的一个根，若复平面内满足 $| z - z_{1} | = p + q$ 的点 $Z$ 的集合为图形 $M$ ，则 $M$ 围成的面积为（）

A、 $π$ B、 $16 π$ C、 $25 π$ D、 $81 π$

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9. 已知复数 $z_{1} = 2 + i$ ， $z_{2} = 1 - 2 i$ ，则（）

A、 $| z_{1} | = | z_{2} |$ B、 $z_{1}$ 的共轭复数为 $z_{2}$ C、复数 $z_{1} z_{2}$ 对应的点位于第二象限 D、复数 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为纯虚数

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二、多选题

10. 在△ABC中， $A B = 1$ ， $A C = 2$ ， $A = \frac{2 π}{3}$ ， $\vec{B C} = 5 \vec{C D}$ ， E为AC的中点，则（）

A、 $\vec{B D} = 4 \vec{D C}$ B、 $\vec{A D} = \frac{6}{5} \vec{A C} - \frac{1}{5} \vec{A B}$ C、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 1$ D、 $\vec{A D} \cdot \vec{B E} = \frac{39}{10}$

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11. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若 $a = 2$ ， $A = \frac{π}{4}$ ， $b = x$ ，满足此条件的三角形只有一个，则x的值可能为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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12. 设O为△ABC的外心（三角形外接圆的圆心）， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ，若AM为∠BAC的平分线，则（）

A、 $\vec{A M} = \frac{2}{5} \vec{A B} + \frac{3}{5} \vec{A C}$ B、 $\vec{A M} = \frac{3}{5} \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A C}$ C、 $\vec{A M} \cdot \vec{A O} = 3$ D、 $\vec{A M} \cdot \vec{A O} = 6$

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三、填空题

13. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，且 $O^{'} A^{'} / / B^{'} C^{'}$ ， $O^{'} A^{'} = 2 B^{'} C^{'} = 4$ ， $A^{'} B^{'} = 2$ ，则该平面图形的高为．

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14. 古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现——圆柱容球定理．如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即圆柱的底面直径和高都等于球的直径），则该球与圆柱的体积之比为，该球与圆柱的表面积之比为．

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15. 已知M为线段AB上的任意一点，O为直线AB外一点，A关于点O的对称点为C，B关于点C的对称点为D，若 $\vec{O M} = x \vec{O C} + y \vec{O D}$ ，则 $x + 3 y =$ ．

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16. 如图，某公园内有一个边长为 $12 m$ 的正方形 $A B C D$ 区域，点 $M$ 处有一个路灯， $B M = 5 m$ ， $s i n ∠ M B Q = \frac{3}{5}$ ，现过点 $M$ 建一条直路分别交正方形区域两边 $A B$ ， $B C$ 于点 $P$ 和点 $Q$ ，若对五边形 $A P Q C D$ 区域进行绿化，则此绿化区域面积的最大值为 $m^{2}$ ．

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四、解答题

17. 已知复数 $z = - m^{2} + m + 2 + (m^{2} + m) i (m \in R)$ .

(1)、若 $z$ 为实数，求 $m$ 的值；

(2)、若 $z$ 为纯虚数，求 $m$ 的值；

(3)、若复数 $z$ 在复平面内所对应的点位于第四象限，求 $m$ 的取值范围.

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18. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (0 ， - 1)$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，且 $\vec{b} \cdot \vec{c} = 3$ ．

(1)、求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、求向量 $\vec{a} - \vec{c}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的模．

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19. 如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B$ $∥$ $C D$ ， $A B$ $⊥$ $B C$ ， $A B = 2 C D = 2$ ， $A D = 3$ ，以 $B C$ 边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．

(1)、求该几何体的表面积；

(2)、一只蚂蚁在形成的几何体上从点 $A$ 绕着几何体的侧面爬行一周回到点 $A$ ，求蚂蚁爬行的最短距离．

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20. 赵爽是我国古代数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知 $s i n ∠ C A F = 2 s i n ∠ A C F$ ．

(1)、证明：F为AD的中点；

(2)、求向量 $\vec{A C}$ 与 $\vec{B E}$ 夹角的余弦值．

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21. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $s i n^{2} C = s i n^{2} A + s i n^{2} B + s i n A s i n B$ ．

(1)、求角C；

(2)、记 $△ A B C$ 的面积为S，△ABC的周长为T，若 $c = 2$ ，求 $\frac{S}{T}$ 的取值范围．

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22. 如图，在平面四边形ABCD中， $A C = 4$ ， $B C ⊥ C D$ ．

(1)、若 $A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $C D = \sqrt{15}$ ，求△ACD的面积；

(2)、若 $∠ B = \frac{2 π}{3}$ ， $∠ D = \frac{π}{6}$ ，求 $(\frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}) A D - B C$ 的最大值．

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