人教版初中数学几何辅助线进阶训练——一般四边形的辅助线：连对角线、延长对边、作平行

试卷更新日期：2023-04-28 类型：复习试卷

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一、阶段一（较易）

1. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = 4$ ， $B C = 1$ ， $∠ A = 30 °$ ， $∠ A D C = 120 °$ ， $∠ B = 90 °$ ，求 $C D$ 的长.

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2. 如图，在四边形ABCD中，已知∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.

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3. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝ $\frac{4}{3}$ ，求四边形ABCD的面积．

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4. 如图，四边形 $A B C D$ 是我县某校在校园一角开辟的一块四边形的“试验田”，经过测量得知 $∠ B = 90 ° ， A B = 24 m ， B C = 7 m ， C D = 15 m ， A D = 20 m$ ．求四边形 $A B C D$ 的面积．

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5. 已如：如图，四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 90 ° ， A B = 3 ， B C = 4 ， C D = 12 ， A D = 13$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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6. 如图，在四边形ABCD中，AD＝ $\sqrt{11}$ ， AB＝5，BC＝10，CD＝8，∠BAD＝90°，求四边形ABCD的面积．

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7. 如图，在四边形ABCD中， $∠ A = ∠ C = 90 ° ， A B = 2 ， C D = 6 ， ∠ D = 45 °$ ．求：四边形ABCD的面积．

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8. 已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，DA=3，∠ABC=90°，求四边形ABCD的面积．

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9. 如图，在四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长.

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10. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = B C = 2$ ， $A D = 4$ ， $C D = 2 \sqrt{6}$ ，求 $∠ B A D$ 的度数.

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二、阶段二（中等）

11. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足为E，AE＝3，求四边形ABCD的面积．

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12. 如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH，当四边形ABCD的对角线满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，并说明理由．

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13. 如图所示，四边形ABCD，已知AB⊥BC，AB⊥AD，AB＝BC＝2，CD $= \sqrt{5}$ ．计算这个四边形的面积．

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14. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 ° ， ∠ B = ∠ D = 90 ° ， B C = 6 ， C D = 4$ ，求 $A B$ 的长.

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15. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ， $∠ B C D = 150 °$ ， $C B = C D$ ，M、N分别为AB、AD上的动点，且 $∠ M C N = 75 °$ ．求证： $M N = B M + D N$ ．

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16. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD ， AE⊥BC于E ，若线段AE＝5，BE＝2，则S_四边形_ABCD的面积为多少？

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17. 有一块如图所示的四边形空地，求此空地的面积.（结果保留根号）

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18. 四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 90 ° ， A B = A D$ ， $D E$ 平分 $∠ A D C$ ， $A E = 2 \sqrt{5}$ ， $∠ A E D = ∠ C$ ， $C D = 6 \sqrt{5}$ ，求 $D E$ 的长.

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19. 如图，四边形ABCD是一个菱形绿地，其周长为40 $\sqrt{2}$ m，∠ABC=120°，在其内部有一个四边形花坛EFGH，其四个顶点恰好在菱形ABCD各边的中点，现在准备在花坛中种植茉莉花，其单价为10元/m² ，请问需投资金多少元？（结果保留整数）

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20. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A D B = ∠ A B C = 105 °$ ， $∠ A = ∠ C = 45 °$ .求证： $C D = A B$ .

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三、阶段三（较难）

21. 如图，OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，垂足分别为E，F，且AB＝CD，∠ABD＝120°，∠CDB＝38°，求∠OBD的度数.

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22. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 、 $B D$ 是对角线，已知 $△ A B C$ 是等边三角形， $∠ A D C = 30 °$ ， $A D = 3$ ， $B D = 5$ ，求边 $C D$ 的长.

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23.
如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别O(0，0)，A(3，3 $\sqrt{3}$ )，B(9，5 $\sqrt{3}$ )，C(14，0).动点P与Q同时从O点出发，运动时间为t秒，点P沿OC方向以1单位长度/秒的速度向点C运动，点Q沿折线OA−AB−BC运动，在OA，AB，BC上运动的速度分别为3， $\sqrt{3}$ ， $\frac{5}{2}$ (单位长度/秒)﹒当P，Q中的一点到达C点时，两点同时停止运动．

(1)、求AB所在直线的函数表达式.

(2)、如图2，当点Q在AB上运动时，求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值.

(3)、在P，Q的运动过程中，若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点，求相应的t值.

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24.
四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．
（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；
（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；
（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．

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25.
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠C=120°，AD= $\frac{4}{3} \sqrt{6}$ ，BC=4 $\sqrt{2}$ ，求CD的长．

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26. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB＝2 $\sqrt{3}$ ，求PB+PE的最小值是多少？

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27. 公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=20米，∠A=45°，∠B=∠C=120°，请求出这块草地面积．

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28. 如图：

【问题背景】

如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ▲ ．

【探索延伸】

如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝ $\frac{1}{2}$ ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

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29. 如图，四边形 $A B C D$ 和四边形 $A E F G$ 均为菱形，且 $∠ E A G ＝ ∠ A B C$ ．点 $G$ 在线段 $A D$ 上，已知 $A D ＝ 5$ ， $A G ＝ 3$ ，且 $cos ∠ A B C ＝ \frac{1}{2}$ ，连接 $A F$ ， $B F$ ，求 $B F$ 的长．

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30. 四边形 $A B C D$ 是正方形，点E是边 $B C$ 上的点（与B、C不重合）．点F在正方形外角 $∠ D C G$ 的平分线 $C H$ 上，且 $A E = E F$ ．求证： $∠ A E F = 90 °$ ．

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