山西省运城市盐湖区2021-2022学年八年级下学期期末质量监测数学试题

试卷更新日期：2023-04-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（）

A、 $(a + 2 b) (a - 2 b) = a^{2} - 4 b^{2}$ B、 $x^{2} y - x y^{2} - 1 = x y (x - y) - 1$ C、 $a x + a y + a = a (x + y)$ D、 $x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} = (x - 2 y)^{2}$

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2. 在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是中心对称图形的是（）.

A、 B、 C、 D、

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3. 如果 $a > b$ ，那么下列不等式不成立的是（）

A、 $a - c > b - c$ B、 $a c^{2} < b c^{2}$ C、 $\frac{a}{5} > \frac{b}{5}$ D、 $- 5 a < - 5 b$

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4. 如果把分式 $\frac{x y}{x + y}$ 中的x和y都扩大为原来的4倍，那么分式的值（）

A、扩大为原来的4倍 B、扩大为原来的2倍 C、不变 D、缩小为原来的 $\frac{1}{2}$

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5. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB∥CD，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）

A、AB=CD B、AD∥BC C、OA=OC D、AD=BC

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6. 中考·激励卡中有一个多边形卡片，它的每一个内角都是108°，那么这个多边形是（）

A、四边形 B、五边形 C、六边形 D、七边形

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7. 如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是边BC的中点，AB = 4，则OE的长是（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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8. 小明和小强为端午节做粽子，小强比小明每小时少做2个，已知小明做100个粽子的时间与小强做90个所用的时间相等，小明、小强每小时各做粽子多少个？假设小明每小时做x个，则可列方程得（）

A、 $\frac{100}{x - 2} = \frac{90}{x + 2}$ B、 $\frac{100}{x - 2} = \frac{90}{x}$ C、 $\frac{100}{x} = \frac{90}{x - 2}$ D、 $\frac{100}{x + 2} = \frac{90}{x}$

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9. 若不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - a < 1 \\ x - 2 b > 3 \end{array}$ 的解为 $- 3 < x < 1$ ，则 $(a + 1) (b - 1)$ 值为（）

A、 $- 6$ B、 $7$ C、 $- 8$ D、 $9$

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10. 2022北京冬奥会的设计呈现了中国美学，很多设计中利用了轴对称的美．如图，在平行四边形纸片ABCD中，对角线AC与BD相交于点E， $∠ A E B = 45 °$ ， $B D = 4$ ，李旻老师设计时将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使得点B落在点 $B^{'}$ 的位置，连接 $D B^{'}$ ，则 $D B^{'}$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、15

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二、填空题

11. 因式分解： $m^{3} - m =$ ．

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12. 如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为.

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13. 在实数范围内定义一种运算☆，其规则为 $a ☆ b = \frac{1}{a + b}$ ，根据这个规则 $x ☆ (x + 1) = \frac{3}{2}$ 的解为．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，AD是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E ⊥ A C$ 于E，F、G分别是边AB、AC上的点，连接DF、DG，且 $D F = D G$ ， $△ A D F$ 和 $△ D E G$ 的面积分别为50和15，则 $△ A D G$ 的面积为．

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15. 如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．

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三、解答题

16.

(1)、①解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 (x - 2) + 4 ＜ 5 x \\ \frac{1 - x}{4} + x \geq 2 x - 1 \end{array}$ ，并写出它的非负整数解；
②解方程 $\frac{x}{x - 3} - 2 = \frac{4}{x - 3}$ ；

(2)、先化简 $\frac{2 a + 2}{a - 1} \div (a + 1) + \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 2 a + 1}$ ，然后a在-1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值．

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17. 已知：如图A、C是▱DEBF的对角线EF所在直线上的两点，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．

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18. 智慧组成员为了完成一项校园规划设计任务，解决过程中遇到的问题转化为：如图，在平面直角坐标系中，一个三角板 $△ A B C$ 的三个顶点分别是 $A (- 3 ， 2)$ ， $B (0 ， 4)$ ， $C (0 ， 2)$ ．

(1)、操作与实践：步骤一：将三角板 $A B C$ 以点C为旋转中心旋转 $180 °$ ，画出旋转后对应的 $△ A_{1} B_{1} C$ ；步骤二：平移三角板 $A B C$ ，点A的对应点 $A_{2}$ 的坐标为 $(1 ， - 4)$ ，画出平移后对应的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．
（要求：不写作法，保留作图痕迹）

(2)、应用与求解：
①智慧组成员将 $△ A_{1} B_{1} C$ 绕某一点旋转可以得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请直接写出旋转中心的坐标．
②在x轴上有一点P，智慧组成员要求使得 $P A + P B$ 的值最小，请直接写出点P的坐标．

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19. 【阅读材料】若分式A与分式B的差等于它们的积，即 $A - B = A B$ ，则称分式B是分式A的“关联分式”．
例如 $\frac{1}{x + 1}$ 与 $\frac{1}{x + 2}$ ，
解： $∵ \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ ，
$\frac{1}{x + 1} \times \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ ，
$∴ \frac{1}{x + 2}$ 是 $\frac{1}{x + 1}$ 的“关联分式”．

(1)、【解决问题】已知分式 $\frac{2}{a^{2} - 1}$ ，则 $\frac{2}{a^{2} + 1}$ $\frac{2}{a^{2} - 1}$ ，的“关联分式”（填“是”或“不是”）．

(2)、和谐小组成员在求分式 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 的“关联分式”时，用了以下方法：
解：设 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 的“关联分式”为B，
则 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} - B = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} \times B$ ，
$∴ (\frac{1}{x^{2} + y^{2}} + 1) B = \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ ，
$∴ B = \frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1}$ ．
请你仿照和谐小组成员的方法求分式 $\frac{a - b}{2 a + 3 b}$ 的“关联分式”．

(3)、【拓展延伸】观察（1）（2）的结果，寻找规律直接写出分式 $\frac{y}{x}$ 的“关联分式”：．

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20. 如图，点D、E、F分别是AC、BC、AB中点，连接DE，且BD是 $△ A B C$ 的角平分线．求证： $B E = A F$ ．

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21. 为抗击新型冠状病毒肺炎，某市医院打算采购A、B两种医疗器械，买1台A型机器比购买1台B型机器多花10万元，并且花费300万元购买A型机器和花费100万元购买B型机器的数量相等．

(1)、求购买一台A型机器和一台B型机器各需多少万元？

(2)、医院准备购买A、B型两种机器具80台，若购买A，B型机器的总费用不高于1050万元，那么最多购买A型机器多少台？

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22. 请阅读下列材料，完成相应的任务：
无刻度直尺作图：“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题．
如图1，已知点P是线段AB的中点，分别以PA、PB为边在AB的同侧作 $△ P A C$ 与 $△ P B D$ ，其中 $C A = C P$ ， $D P = D B$ ， $∠ A C P = ∠ P D B$ ．求作：线段PC的中点E．
按照常规思路，用尺规作线段PC的垂直平分线，垂足即为PC的中点．仔细分析图形，你会发现，只用无刻度的直尺连接线段AD，AD与CP交点E即为PC的中点（如图2）．
证明：连接CD．
$∵ C A = C P$ ，
$∴ ∠ C A P = ∠ C P A$ （依据1），
$∵ ∠ C A P + ∠ C P A + ∠ A C P = 18 0^{°}$ ，
$∴ ∠ C A P = \frac{18 0^{°} - ∠ A C P}{2}$ ，同理， $∠ D P B = \frac{18 0^{°} - ∠ P D B}{2}$ ．
……

(1)、【任务1】写出上述证明过程中依据1的内容：．

(2)、【任务2】请补全证明过程．

(3)、【任务3】如图，在平行四边ABCD中，点E是CD边的中点．求作： $△ A B Q$ ，使 $△ A B Q$ 的面积与平行四边ABCD的面积相等．（要求：利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写画法．）

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23. 【综合探究】如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为 $(14 ， 0)$ ，点B的坐标为 $(18 ， 4 \sqrt{3})$ ，且 $∠ B = 6 0^{°}$ ．

(1)、点C的坐标为；平行四边形OABC的对称中心的坐标为．

(2)、动点P从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t秒（ $t > 0$ ），求当t为何值时， $△ P Q C$ 的面积是平行四边形OABC面积的一半？

(3)、当动点P运动到OA中点时，在平面直角坐标系中找到一点M，使得以M、P、B、C为顶点且以PB为边的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．

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