人教版初中数学几何辅助线进阶训练——遇角平分线做垂线（不含相似八九年级适用）

试卷更新日期：2023-04-27 类型：复习试卷

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一、一阶段（较易）

1. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ C A B$ ， $B C = 10 c m$ ， $B D = 6 c m$ ，那么点 $D$ 到直线 $A B$ 的距离是（）

A、 $10 c m$ B、 $6 c m$ C、 $16 c m$ D、 $4 c m$

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2. 如图， $△ A B C$ 的角平分线 $B D$ ， $C E$ 交于点 $P$ ， $∠ A = 60 °$ ， $△ A B C$ 的面积为16，四边形 $A E P D$ 的面积为5，则 $△ B P C$ 的面积为（）

A、5 B、5.5 C、6 D、7

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3. 如图，射线 $O C$ 是 $∠ A O B$ 的角平分线， $D$ 是射线 $O C$ 上一点， $D P ⊥ O A$ 于点 $P$ ， $D P = 5$ ，若点 $Q$ 是射线 $O B$ 上一点， $O Q = 4$ ，则 $△ O D Q$ 的面积是.

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C D$ 是边 $A B$ 上的高， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，交 $C D$ 于点E， $B C = 6$ ，若 $△ B C E$ 的面积为9，则 $D E$ 的长为.

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5. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 9 0^{∘}$ ， $∠ B D C = 9 0^{∘}$ ， $A D = 2$ ， $∠ A D B = ∠ C$ ，则点 $D$ 到 $B C$ 边的距离等于．

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6. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $B P$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点P，若 $P A = 4 c m$ ， $B C = 13 c m$ ，则 $△ B C P$ 的面积是（）

A、 $52 c m^{2}$ B、 $13 c m^{2}$ C、 $45 c m^{2}$ D、 $26 c m^{2}$

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7. 如图所示，点O是 $△ A B C$ 内一点， $B O$ 平分 $∠ A B C$ ， $O D ⊥ B C$ 于点D，连接 $O A$ ，若 $O D = 5 ， A B = 20$ ，则 $△ A O B$ 的面积是．

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8. 如图， $O A$ 平分 $∠ B O D$ ， $A C ⊥ O B$ 于点C，且 $A C = 3$ ，已知点A到y轴的距离是4，那么点A的坐标为.

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9. 如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，若△BCE的面积为5，则ED的长为 .

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10. 如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E ⊥ A B$ 于点E， $S_{△ A B C} = 9$ ， $D E = 2$ ， $A B = 5$ ，则 $A C$ 的长是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、二阶段（中等）

11. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $D E ⊥ B C$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $A B = 4 ， D E = 3$ ，则 $△ A B D$ 的面积是（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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12. 如图，在四边形 $A B D C$ 中， $∠ D = ∠ B = 90 °$ ， O为 $B D$ 上的一点，且 $A O$ 平分 $∠ B A C ， C O$ 平分 $∠ A C D$ .求证：

(1)、 $O A ⊥ O C$ .

(2)、 $A B + C D = A C$ .

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13. 如图，AD＝BD，∠CAD+∠CBD＝180°，求证：CD平分∠ACB.

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14. 如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D F ⊥ A B$ ，垂足为F， $D E = D G$ ， $△ A D G$ 和 $△ A E D$ 的面积分别为27和14，则 $△ E D F$ 的面积为．

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15. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF $∥$ BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90° $+ \frac{1}{2}$ ∠A，②∠EBO $= \frac{1}{2}$ ∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S_△AEF $= \frac{m n}{2}$ ．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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16. 如图，在△ABC中，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且∠DAB＝∠CAE＝α，AD＝AB，AC＝AE，DC、BE交于点P，连接AP，则∠APC的度数为（）

A、90°﹣ $\frac{1}{2}$ α B、90°+α C、90°﹣α D、90°+ $\frac{1}{2}$ α

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17. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．

(1)、求证：△ABD≌△ACE；

(2)、求证：FA平分∠BFE．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C D$ 是 $∠ A C B$ 的平分线，延长 $C D$ 至点E，使 $D E = \frac{1}{2} C D$ ，连接 $B E$ ，若 $A C = 2 B C$ ， $△ B D E$ 的面积为1，则 $△ A B C$ 的面积是.

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19. 如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点A作AH⊥BC于点H，交BO于点P.

(1)、求线段OP的长度；

(2)、连接OH，求∠AHO的度数；

(3)、如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交线段OA延长线于N点，则S_△_BDM-S_△_ADN的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值.

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20. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

(1)、求证：BE＝CF；

(2)、如果AB＝5，AC＝3，求BE的长．

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三、三阶段（较难）

21. 综合与实践：
问题情境：已知 $O M$ 是 $∠ A O B$ 的平分线，P是射线 $O M$ 上的一点，点C，D分别在射线 $O A$ ， $O B$ 上，连接 $P C ， P D$ ．

(1)、初步探究：如图1，当 $P C ⊥ O A$ ， $P D ⊥ O B$ 时， $P C$ 与 $P D$ 的数量关系是；

(2)、深入探究：如图2，点C，D分别在射线 $O A$ ， $O B$ 上运动，且 $∠ A O B = 90 °$ ，当 $∠ C P D = 90 °$ 时， $P C$ 与 $P D$ 在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由；

(3)、拓展应用：如图3，如果点C在射线 $O A$ 上运动，且 $∠ A O B = 90 °$ ，当 $∠ C P D = 90 °$ 时，点D落在了射线 $O B$ 的反向延长线上，若点P到 $O B$ 的距离为3， $O D = 1$ ，求 $O C$ 的长（直接写出答案）．

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22. 如图，等边 $△ ABC$ 中， $D$ 、 $E$ 分别为 $AC$ 、 $BC$ 边上的点， $AD = CE$ ，连接 $AE$ 、 $BD$ 交于点 $F$ ， $∠ CBD$ 、 $∠ AEC$ 的平分线交于 $AC$ 边上的点 $G$ ， $BG$ 与 $AE$ 交于点 $H$ ，连接 $FG .$ 下列说法： $① △ ABD$ ≌ $△ CAE$ ； $② ∠ BGE = 30 °$ ； $③ ∠ ABG = ∠ BGF$ ； $④ AB = AH + FG$ ；其中正确的说法有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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23. 如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，∠AFD＝60°．FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG＝CD，连接HA、HC．①BD＝CE；②∠AHC＝60°；③FC＝CG；④S_△_CBD＝S_△_CGH；其中说法正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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24. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为 .

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25. 如图，已知点B（-2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限内的一个动点，M在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠ABD=∠ACD．

(1)、求证：∠BDC=∠BAC；

(2)、求证：DA平分∠CDM；

(3)、若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？

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26. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $A F$ ， $B E$ 分别是 $∠ B A C$ 和 $∠ A B C$ 的角平分线， $A F$ 和 $B E$ 相交于D点.

(1)、求证： $C D$ 平分 $∠ A C B$ ；

(2)、如图2，过F作 $F P ⊥ A C$ 于点P，连接 $P D$ ，若 $∠ A C B = 45 °$ ， $∠ P D F = 67.5 °$ ，求证： $P D = C P$ ；

(3)、如图3，若 $2 ∠ B A F + 3 ∠ A B E = 180 °$ ，求证： $B E - B F = A B - A E$ .

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27. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．

(1)、求证：AD为∠BDC的平分线；

(2)、若∠DAE= $\frac{1}{2}$ ∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系．

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28. 如图，R△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P为CE中点，连结PF，若CP=2，S_△BFP=15，则AB的长度为。

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29. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 45 °$ ， $B D ⊥ A C$ 于 $D$ ， $A E ⊥ B C$ 于 $E$ ，交 $B D$ 于 $F$ .

(1)、求证： $A F = B C$ ；

(2)、如图1，连结 $D E$ ，问 $E D$ 是否为 $∠ A E C$ 的平分线？请说明理由.

(3)、如图2， $Q$ 为 $A B$ 的中点，连结 $Q D$ 交 $A F$ 于 $R$ ，用等式表示 $A R$ 与 $C E$ 的数量关系？并给出证明.

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30. 如图，已知等边 $Δ A B C$ 和等边 $Δ B P E$ ，点 $P$ 在 $B C$ 的延长线上， $E C$ 的延长线交 $A P$ 于点M ，连 $B M$ ，若 $∠ A B M = 40 °$ ，则 $∠ A P B =$ （）

A、 $40 °$ B、 $45 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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