2023年浙教版数学八年级下学期期末复习——特殊平行四边形难点专练

试卷更新日期：2023-04-27 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4.$ 分别以 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 为边在 $A B$ 的同侧作正方形 $A B E F$ 、 $A C P Q$ 、 $B C M N$ ，四块阴影部分的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 、 $S_{4} .$ 则 $S_{1} - S_{2} + S_{3} + S_{4}$ 等于（）

A、4 B、6 C、8 D、12

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2. 如图，在正方形ABCD中，AB=8，F是对角线AC的中点，点G、E分别在AD、CD边上运动，且保持AG=DE．连接GE、GF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△GFE是等腰直角三角形；②四边形DGFE不可能为正方形，③GE长度的最小值为4 $\sqrt{2}$ ；④四边形DGFE的面积保持不变；⑤△DGE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）

A、①②③ B、①③④⑤ C、①③④ D、③④⑤

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3. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B C D = 90 °$ ， $A D = A B = 2$ ，点G为 $B C$ 上一点， $D G ∥ A B$ ，且 $D G$ 平分 $∠ B D C$ ，点E为 $B D$ 中点，下面结论：① $B D = 2 C D$ ；② $C D = 2$ ；③ $S_{△ A B D} = 2 S_{△ C D G}$ ；④ $C E ⊥ D G$ ．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 如图，在给定的正方形 $A B C D$ 中，点E从点B出发，沿边 $B C$ 方向向终点C运动， $D F ⊥ A E$ 交 $A B$ 于点F，以 $F D$ ， $F E$ 为邻边构造平行四边形 $D F E P$ ，连接 $C P$ ，则 $∠ D F E + ∠ E P C$ 的度数的变化情况是（）

A、一直减小 B、一直减小后增大 C、一直不变 D、先增大后减小

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5. 如图，由两个全等菱形(菱形ABCD与菱形EFGH)组成的“四叶草”图案，其重叠部分是正八边形(阴影部分)，点B，D在EG上，点F，H在AC上，若CF=2，则BD的长为（）

A、4 B、2 $\sqrt{2}$ C、2 $\sqrt{3}$ D、2 $\sqrt{5}$

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二、填空题

6. 如图，正方形ABCD的边长为2，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连结EF．给出四种情况：

①若G为BD上任意一点，则AG=EF；

②若BG=AB，则∠DAG=22.5°；

③若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；

④若DG：BG=1：3，则S_△_ADG= $\frac{1}{2}$

则其中正确的是.

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7. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = ∠ B C D = 90 °$ ， $A B = A D$ ， $B C > C D$ ，连接 $A C$ ， $B D$ ，则以下结论：① $∠ A B C + ∠ C D A = 180 °$ ；② $∠ A C B = 45 °$ ；③ $A C = B D$ ；④ $B C + C D = \sqrt{2} A C$ ，其中正确的结论有.（填序号）

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8. 如图，四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，CE与BG交于点M，点M在△ABC的外部.① $B G = C E$ ；② $C E ⊥ B G$ ；③ $∠ A M E = 120 °$ .上述结论正确的是.

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9. 如图，函数y= $\frac{k_{1}}{x}$ (x>0)的图象与矩形OABC的边BC交于点D，分别过点A，D作AF∥DE，交直线y=k₂x(k₂<0)于点F，E.若OE=OF，BD=2CD，四边形ADEF的面积为12，则k₁的值为。

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10. 如果记 $y = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} = f (x)$ ，并且f（1）表示当 $x = 1$ 时y的值，即f（1）= $\frac{1^{2}}{1 + 1^{2}} = \frac{1}{2}$ ；f（ $\frac{1}{2}$ ）表示当 $x = \frac{1}{2}$ 时y的值，即f（ $\frac{1}{2}$ ）= $\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1 + {(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{1}{5}$ ．那么 $f (1) + f (2) + f (\frac{1}{2}) + f (3) + f (\frac{1}{3}) + f (4) + f (\frac{1}{4})$ $+ \dots + f (2017) + f (\frac{1}{2017}) =$ ．

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三、综合题

11. 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．

(1)、若连接AN、CM．当四边形ANCM为菱形时，则AN=；

(2)、如图1，若AE=CF=2，M，N分别是AD，BC的中点，求证：四边形EMFN为矩形．

(3)、如图2，若AE=CF=1，AM=CN=x(0<x<4)，且四边形EMFN为矩形，求x的值．

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12. 在正方形 $A B C D$ 中， $A E ⊥ M N$ ，点 $E$ 为边 $B C$ 上一点（不与点 $B$ 、 $C$ 重合），垂直于 $A E$ 的一条直线 $M N$ 分别交 $A B$ ， $A E$ ， $C D$ 于点 $M$ ， $P$ ， $N$ ．

(1)、①如图1，判断线段 $A E$ 与 $M N$ 之间的数量关系，并说明理由；

(2)、如图2，若垂足 $P$ 为 $A E$ 的中点，连接 $B D$ ，交 $M N$ 于点 $Q$ ，连接 $E Q$ ，则 $∠ A E Q =$ ．

(3)、若垂足 $P$ 在对角线 $B D$ 上，正方形的边长为 $8$ ．
①如图3，若 $B M = 1$ ， $B E = \frac{3}{2}$ ，则 $B P =$ ；

②如图4，连接 $A N$ ，将 $△ A P N$ 沿着 $A N$ 翻折，点 $P$ 落在点 $P^{'}$ 处， $A D$ 的中点为 $S$ ，则 $P^{^{'}} S$ 的最小值为．

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13. 请阅读下列材料：已知：如图（1）在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A B = A C$ ，点D、E分别为线段 $B C$ 上两动点，若 $∠ D A E = 45 °$ .探究线段 $B D 、 D E 、 E C$ 三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把 $△ A E C$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ A B E^{'}$ ，连接 $E^{'} D$ ，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

(1)、猜想 $B D 、 D E 、 E C$ 三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；

(2)、当动点E在线段 $B C$ 上，动点D运动在线段 $C B$ 延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；

(3)、已知：如图（3），等边三角形 $A B C$ 中，点D、E在边 $A B$ 上，且 $∠ D C E = 30 °$ ，请你找出一个条件，使线段 $D E 、 A D 、 E B$ 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数.

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14. 如图

(1)、【操作发现】如图①，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD=度；

(2)、【类比探究】如图②，在等边三角形ABC内任取一点P，连接PA，PB，PC，求证：以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形；

(3)、【解决问题】如图③，在边长为 $\sqrt{7}$ 的等边三角形ABC内有点P，∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积；

(4)、【拓展应用】如图④是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量，AC=4，BC=5，∠ACB=30°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．

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15. 如图1，已知 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (0 ， - 2)$ ，平行四边形 $A B C D$ 的边 $A D$ 、 $B C$ 分别与 $y$ 轴、 $x$ 轴交于点 $E$ 、 $F$ ，且点 $E$ 为 $A D$ 中点，双曲线 $y = \frac{k}{x} (k$ 为常数， $k \neq 0)$ 上经过 $C$ 、 $D$ 两点．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、如图2，点 $G$ 是 $y$ 轴正半轴上的一个动点，过点 $G$ 作 $y$ 轴的垂线，分别交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k$ 为常数， $k \neq 0)$ 图像于点 $M$ ，交反比例函数 $y = - \frac{3}{2 x} (x < 0)$ 的图像于点 $N$ ，当 $F M = F N$ 时，求 $G$ 点坐标；

(3)、点 $P$ 在双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上，点 $Q$ 在 $y$ 轴上，若以点 $A$ 、 $B$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点 $Q$ 的坐标．

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16.

(1)、【阅读理解】对于任意正实数 $a$ 、 $b$ ．
∵ $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2} \geq 0$ ，
∴ $a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ ，
∴ $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ， $($ 只有当 $a = b$ 时， $a + b = 2 \sqrt{a b}$ ．
结论：在 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ $(a 、 b$ 均为正实数 $)$ 中，若 $a b$ 为定值 $p$ ，则 $a + b \geq 2 \sqrt{p}$ 只有当 $a = b$ 时， $a + b$ 有最小值 $2 \sqrt{p}$ ，根据上述内容，回答下列问题：
问题 $1$ ：若 $m > 0$ ，当 $m =$ 时， $m + \frac{16}{m}$ 有最小值为．
问题 $2$ ：若函数 $y = x + \frac{9}{x - 2} (x ＞ 2)$ ，则当 $x =$ 时，函数 $y = x + \frac{9}{x - 2} (x ＞ 2)$ 有最小值为．

(2)、【探索应用】如图，已知 $A (- 2 ， 0)$ 、 $B (0 ， - 3)$ ， $P$ 为双曲线 $y = \frac{6}{x}$ 上的任意一点，过点 $P$ 作 $P C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ， $P D ⊥ y$ 轴于点 $D$ ，求四边形 $A B C D$ 面积的最小值，并说明此时四边形 $A B C D$ 的形状．

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17. 如图，四边形 $A B C D$ 为菱形，已知 $A (4 ， 0)$ ， $B (0 ， 3)$ ．

(1)、直接写出 $C$ 、 $D$ 两点坐标；

(2)、求经过 $B$ 、 $D$ 两点的直线解析式；

(3)、画出菱形的中心 $M$ ，并写出 $M$ 点的坐标；

(4)、把（2）的直线沿着 $y$ 轴上下平移 $b$ ，若直线与菱形始终有交点，则直接写出 $b$ 的取值范围．

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18. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 \sqrt{3}$ ， $∠ C A B = 30 °$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，每秒 $\sqrt{3}$ 个单位长度的速度沿 $A B$ 方向运动，点 $Q$ 从点 $C$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线 $C A$ 方向运动．已知点 $P$ 、 $Q$ 两点同时出发，当点 $Q$ 到达点 $A$ 时， $P$ 、 $Q$ 两点同时停止运动，连接 $P Q$ ，设运动时间为 $t$ 秒．

(1)、 $B C =$ ， $A C =$ ；

(2)、当 $t$ 为何值时， $A P = A Q$ ；

(3)、在运动过程中，是否存在一个时刻 $t$ ，使所得 $△ A P Q$ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

(4)、当点 $P$ 关于点 $Q$ 的对称点 $P^{'}$ 落在 $△ A C D$ 的内部（不包括边上）时，请直接写出 $t$ 的取值范围．

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19. 如图1， $∠ A C D = 90 °$ ， $A C = D C$ ， MN是过点A的直线，过点D作 $D B ⊥ M N$ 于点B，连接CB；过点C作 $C E ⊥ C B$ ，与MN交于点E．

(1)、连接AD，AD是AC的倍；

(2)、直线MN在图1所示位置时，可以得到线段BD和AE的数量关系是 ▲ ， $B D - B A$ 与BC之间的数量关系是 ▲ ，请证明你的结论；

(3)、直线MN绕点A旋转到图2的位置，若 $B D = 2$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，则AB的长为（直接写结果）；

(4)、直线MN绕点A旋转到图3的位置时，直接写出线段BA，BC，BD之间的数量关系．

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20. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 12$ ， $A D = 16$ ， E，F分别是AD，BC的中点，G、H是对角线AC上的两个动点，且分别从点A、点C同时都以每秒1个单位长度的速度相向而行，运动时间为t秒，其中 $0 \leq t < 10$ ．

(1)、求证：四边形EGFH是平行四边形；

(2)、若四边形EGFH为矩形，求t的值；

(3)、若点 $E^{'}$ 从E点出发沿直线AD向右运动，点 $F^{'}$ 从F点出发沿直线CB向左运动，且与点G，H以相同的速度同时出发，当四边形 $E^{'} G F^{'} H$ 为菱形时，求t的值．

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21. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $A C = 2 cm$ ， $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转，旋转角为 $α$ （ $0 ° < α < 180 °$ ），点A、B的对应点分别是D，E.

(1)、如下图，当点D恰好落在边AB上时，旋转角 $α$ 的度数是；

(2)、如下图，当点B，D，E三点恰好在同一直线上时，判断此时直线 $C E$ 与 $A B$ 的位置关系，并说明理由；

(3)、如下图，当B，D，E三点不在同一直线上时，连接 $B D$ ， $A E$ ，若 $△ B C D$ 的面积为 $\frac{3}{2} \sqrt{3} {cm}^{2}$ ，求此时四边形 $A B D E$ 的面积.

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22. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $A C$ 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线 $A C$ 上移动，另一边交 $D C$ 于Q．

(1)、如图1，当点Q在 $D C$ 边上时，探究 $P B$ 与 $P Q$ 所满足的数量关系；
小明同学探究此问题的方法是：过P点作 $P E ⊥ D C$ 于E点， $P F ⊥ B C$ 于F点，根据正方形的性质和角平分线的性质，得出 $P E = P F$ ，再证明 $△ P E Q ≌ △ P F B$ ，可得出结论，他的结论应是；并证明该结论．

(2)、如图2，当点Q落在 $D C$ 的延长线上时，猜想并写出 $P B$ 与 $P Q$ 满足的数量关系，并证明你的猜想．

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23. 阅读下列材料：
数学课上老师出示了这样一个问题：如图1，等腰Rt△PBF的直角顶点P在正方形ABCD的边AD上，斜边BF交CD于点Q，连接PQ．请探索PQ、AP、CQ的数量关系．
某学习小组的同学经过探索，交流了自己的想法：利用现在所学的旋转知识，可将△ABP旋转到△CBE位置，然后通过证明△BPQ≌△BEQ来探索数量关系．

(1)、（问题解决）请你根据他们的想法写出PQ、AP、CQ的数量关系是；

(2)、（学以致用）如图2，若等腰Rt△PBF的直角顶点P在正方形ABCD的边DA的延长线上，斜边BF的延长线交CD的延长线于点Q，连接PQ，猜想线段PQ，AP，CQ满足怎样的数量关系？并证明你的结论；

(3)、（思维拓展）等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内部一点，若BC＝2．则AP＋BP＋CP的最小值＝．

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24. 如图，在梯形ABCD中， $A D$ // $B C$ ，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝16cm，BC＝22cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．

(1)、经过多少时间，四边形ABQP成为矩形？

(2)、经过多少时间，四边形PQCD成为等腰梯形？

(3)、问四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．

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25. 我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准筝形”.

(1)、如图1，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝270°，∠D＝30°，AB＝CB，求证：四边形ABCD是“准筝形”；

(2)、如图2，在“准筝形”ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝60°，BC＝4，CD＝3，求AC的长；

(3)、如图3，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝120°，AB＝3－ $\sqrt{3}$ ，设D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD的面积.

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26. 定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形.

(1)、在三等角四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = ∠ C$ ，则 $∠ A$ 的取值范围为；

(2)、如图1，折叠平行四边形 $D E B F$ ，使得顶点 $E ， F$ 分别落在边 $B E ， B F$ 上的点 $A ， C$ 处，折痕为 $D G 、 D H$ .求证：四边形 $A B C D$ 为三等角四边形；

(3)、如图 $2$ ，在三等角四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = ∠ C$ ，若 $A B = 5$ ， $A D = \sqrt{26}$ ， $D C = 7$ ，则 $B C$ 的长度为.

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27. 我们知道平行四边形有很多性质. 如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，那么会发现这其中还有更多的结论.

(1)、发现与证明：

在▱ABCD中， $A B \neq B C$ ，将 $△ A B C$ 沿AC翻折至 $△ A B^{'} C$ ，连接 $B^{'} D$ .

结论1： $B^{'} D$ //AC；

结论2： $△ A B^{'} C$ 与▱ABCD重叠部分的图形是等腰三角形.

请利用图①证明结论1或结论2（只需证明一个结论）.

(2)、应用与探究：

在▱ABCD中，已知∠B=30°，将 $△ A B C$ 沿AC翻折至 $△ A B^{'} C$ ，连接 $B^{'} D$ .
如图①，若 $A B = \sqrt{3} ， ∠ A B^{'} D = 75 °$ ，则∠ACB= °，BC= ；

(3)、如图②， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，BC=1， $A B^{'}$ 与边CD相交于点E，求 $△ A E C$ 的面积；

(4)、已知 $A B = 2 \sqrt{3}$ ，当BC长为多少时， $∠ B^{'} A D = 90 °$ ？

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28. 定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线的长一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”

(1)、在下列图形中： ①等腰梯形、②矩形、③菱形，是“等距四边形”的是. （填序号）

(2)、如图1，在菱形ABCD中， $A B = 4 ， ∠ A = 60^{°} ， B E ⊥ C D$ 于点E，点F是菱形ABCD边上的一点，顺次连接B、E、D、F，若四边形BEDF为“等距四边形”，求线段EF的长.

(3)、如图2，已知等边△ABC边长为4，点P是△ABC内一点，若过点P可将△ABC恰好分割成三个“等距四边形”，求这三个“等距四边形”的周长和.

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29. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD ， AB≠CD ， AC＝DB ．

(1)、求证：AD＝BC；、

(2)、若E ， F ， G ， H分别是AB ， CD ， AC ， BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相平分．

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30. 如图，在白纸上画两条长度均为acm且夹角为30°的线段AB、AC，然后你把一支长度也为acm的铅笔DE放在线段AB上，将这支铅笔以线段AB上的一点P为旋转中心旋转顺时针旋转一周．

(1)、若P与B重合，当旋转角为时，这支铅笔与线段AB、AC围成的三角形是等腰三角形；

(2)、点P从B逐渐向A移动，记t＝ $\frac{A P}{B P}$ ，
①若t＝1，当旋转角为30°、、、、210°、时这支铅笔与线段AB、AC共围成6个等腰三角形；

②当这支铅笔与线段AB、AC正好围成5个等腰三角形时，求t的取值范围；

③当这支铅笔与线段AB、AC正好围成3个等腰三角形时，直接写出t的取值范围．

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31. 如图，已知直角梯形 $A B C D$ ， $A D / / B C$ ， $∠ D C B = 90 °$ ，过点 $A$ 作 $A H ⊥ B C$ ，垂足为点 $H$ ， $C D = 4$ ， $B H = 2$ ，点 $F$ 是 $C D$ 边上的一动点，过 $F$ 作线段 $A B$ 的垂直平分线，交 $A B$ 于点 $E$ ，并交射线 $B C$ 于点 $G$ ．

(1)、如图1，当点 $F$ 与点 $C$ 重合时，求 $B C$ 的长；

(2)、设 $A D = x$ ， $D F = y$ ，求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并写出定义域；

(3)、如图2，联结 $D E$ ，当 $△ D E F$ 是等腰三角形时，求 $A D$ 的长．

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32. 如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．

(1)、请直接写出点A的坐标为，点B的坐标为；

(2)、当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为；

(3)、如图2，点N为线段BC上的动点且CM=CN，连接MN，是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的EP的值；若不存在，请说明理由．

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33. 已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点．

(1)、求菱形ABCD的面积．

(2)、求PM+PN的最小值．

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