人教版初中数学几何辅助线进阶训练——构造等腰三角形（不含相似）

试卷更新日期：2023-04-27 类型：复习试卷

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一、阶段一（较易）

1. 如图，在 ▱ ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，AE平分∠FAD，交CD于中点E，连接EF．若∠FAD＝60°，AD＝5，CF＝3，则EF＝．

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2. 如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $\frac{5}{2} \sqrt{2}$

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 6$ ， $A C = 10$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $B D ⊥ A D$ 于点 $D$ ， $E$ 为 $B C$ 中点．求 $D E$ 的长．

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4. 如图， $△ A B C$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $C D ⊥ B D$ ，垂足为D，E为 $A C$ 中点，若 $A B = 30$ ， $B C = 18$ ，则 $D E$ 的长为．

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 12$ ， $B C = 5$ ，点D在 $△ A B C$ 外，连接 $A D$ 、 $B D$ ，点E是 $B D$ 的中点， $A D = 4$ ， $∠ C A D = ∠ C A B$ ，则线段 $C E$ 的长．

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6. 如图，△ABC中，BD、CE是△ABC的两条高，点F、M分别是DE、BC的中点．求证：FM⊥DE。

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7. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF、CF；

(1)、求证：EF=CF；

(2)、若∠BAC=45°，AD=6，求C、E两点间的距离．

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 45 °$ ， $∠ F = ∠ A B C$ ， $E F ⊥ B C$ ，其中 $B F = A D$ ， $D F = 2$ ， $B C = 4 \sqrt{2}$ ， $D E =$ （）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $2 \sqrt{2} - 1$ D、 $2 \sqrt{2} + 1$

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9. 如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，则∠ACB的度数是 °.

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10. 如图，D为 $△ A B C$ 内一点， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ， $B D ⊥ C D$ ， $∠ A = ∠ A B D$ ，若 $A C = 7$ ， $B C = 4$ ．则 $B D$ 的长为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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11. 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC， $A P ⊥ B P$ 于点P，连接PC，若△PAB的面积为 $6 c m^{2}$ ， △PBC的面积为 $8 c m^{2}$ ，则△PAC的面积为（） $c m^{2}$ .

A、2 B、2.5 C、3 D、4

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二、阶段二（中等）

12. 如图，在 $△ A B C$ 中，∠BAC=120°，点D为BC的中点，点E是AC上的一点，且 $A B + A E = E C$ ．若 $D E = 2$ ，则AB的长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $3 \sqrt{3}$ D、6

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13. 如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，对角线AC=8，点E，F，O分别为AD，AB，BD的中点，且EF=5，则点O到AC的距离为．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 90 °$ ， $D$ 是斜边 $B C$ 上的中点， $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 边上的点，且 $D E ⊥ D F .$

(1)、若 $A B = A C$ ， $B E + C F = 4$ ，求四边形 $A E D F$ 的面积.

(2)、求证： $B E^{2} + C F^{2} = E F^{2}$ .

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15. 如图，正方形 $A B C D$ 中，P为边 $A D$ 上一点，点E与B关于直线 $C P$ 对称，射线 $E D$ 与 $C P$ 的延长线相交于点F.若 $A D = 4 P D$ ， $E F = 16 \sqrt{2}$ ，则 $B C$ 的长为 .

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 2$ $\sqrt{10}$ ， $A D$ 是边 $B C$ 上的高线，过点D作 $D E ∥ A C$ 交 $A B$ 于点E.

(1)、求证： $△ A D E$ 是等腰三角形；

(2)、连结 $C E$ 交 $A D$ 于点H，若 $∠ D C E = 45 °$ ，求 $E H$ 的长.

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17. 如图，四边形ABCD是正方形，点P是线段AB的延长线上一点，点M是线段AB上一点，连接DM，以点M为直角顶点作MN⊥DM交∠CBP的角平分线于N，过点C作CE $∥$ MN交AD于E，连接EM，CN，DN.

(1)、求证：DM＝MN；

(2)、求证：EM $∥$ CN.

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18. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B < ∠ A$ ， $C E$ 平分 $∠ A C B$ ， $C D ⊥ A B$ ， $M N$ 为边 $A B$ 的垂直平分线且分别交 $B C$ 、 $A B$ 于点 $M$ 、 $N$ ，若 $∠ D C E = ∠ B$ ， $A C = 2$ ，则 $B M$ 的长是（）

A、2 B、 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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19. 已知：在等边 $△ A B C$ 中，点 $E$ 是 $A B$ 边所在直线上的一个动点（ $E$ 与 $A$ 、 $B$ 两点均不重合），点 $D$ 在 $C B$ 的延长线上，且 $E D = E C$ .

(1)、如图①，当 $E$ 是 $A B$ 边的中点时，求证： $A E = B D$ ；

(2)、如图②，当 $E$ 是线段 $A B$ 边上任意一点时，（1）中的结论是否一定成立？请说明理由；

(3)、若点 $E$ 是线段 $A B$ 的延长线上任一点， $E D = E C$ ， $A E = 2$ ， $A C = 1$ ，求 $C D$ 的长.

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20. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2 $\sqrt{10}$ ， AD是边BC上的高线，过点D作DE∥AC交AB于点E.

(1)、求证：△ADE是等腰三角形；

(2)、连结CE交AD于点H，若∠DCE＝45°，求EH的长.

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三、阶段三（较难）

21. 请阅读下列材料，并完成相应的任务.
三等分角是古希腊三大几何问题之一.如图（1），任意∠ABC可被看作是矩形BCAD的对角线BA与边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点 $E$ ，交DA的延长线于点F.若 $E F = 2 A B$ ，则射线BF是∠ABC的一条三等分线.
证明：如图（2），取EF的中点G，连接AG，∵四边形BCAD是矩形，∴ $∠ D A C = 9 0^{∘}$ ， AD $∥$ BC.在Rt△AEF中，点G是EF的中点，∴ $A G = \frac{1}{2} E F .$ ……

(1)、任务一：上面证明过程中得出“ $A G = \frac{1}{2} E F$ ”的依据是；

(2)、任务二：完成材料证明中的剩余部分；

(3)、任务三：如图（3），在矩形ABCD中，对角线AC的延长线与∠CBE的平分线交于点F，若 $B F = \frac{1}{2} A C$ ， $C F = 4$ ，请直接写出BF的长.

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22.

(1)、【阅读材料】如图①，四边形ABCD中， $A B = A D ， ∠ B + ∠ D = 180 °$ ，点E，F分别在 $B C ， C D$ 上，若 $∠ B A D = 2 ∠ E A F$ ，求证： $E F = B E + D F$ .

(2)、【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形 $A B C D$ .已知 $C D = C B = 100 m ， ∠ D = 60 ° ， ∠ A B C = 120 ° ， ∠ B C D = 150 °$ ，道路 $A D ， A B$ 上分别有景点M，N，且 $D M = 100 m ， B N = 50 (\sqrt{3} - 1)$ m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少几m？（结果取整数，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ）

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23. 如图

(1)、发现：如图1，点 $B$ 是线段 $A D$ 上的一点，分别以 $A B$ ， $B D$ 为边向外作等边三角形 $A B C$ 和等边三角形 $B D E$ ，连接 $A E$ ， $C D$ ，相交于点 $O$ .
①线段 $A E$ 与 $C D$ 的数量关系为：； $∠ A O C$ 的度数为.

② $△ C B D$ 可看作 $△ A B E$ 经过怎样的变换得到的？.

(2)、应用：如图2，若点 $A$ ， $B$ ， $D$ 不在一条直线上， $(1)$ 中的结论①还成立吗？请说明理由；

(3)、拓展：在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A D C = 45 °$ ，若 $A D = 8$ ， $C D = 6$ ，请直接写出 $B$ ， $D$ 两点之间的距离.

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24. 请阅读下列材料：已知：如图（1）在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A B = A C$ ，点D、E分别为线段 $B C$ 上两动点，若 $∠ D A E = 45 °$ .探究线段 $B D 、 D E 、 E C$ 三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把 $△ A E C$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ A B E^{'}$ ，连接 $E^{'} D$ ，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

(1)、猜想 $B D 、 D E 、 E C$ 三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；

(2)、当动点E在线段 $B C$ 上，动点D运动在线段 $C B$ 延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；

(3)、已知：如图（3），等边三角形 $A B C$ 中，点D、E在边 $A B$ 上，且 $∠ D C E = 30 °$ ，请你找出一个条件，使线段 $D E 、 A D 、 E B$ 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数.

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25.

(1)、【探究发现】（1）如图1， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点， $E$ 、 $F$ 分别为边 $A C$ 、 $A B$ 上两点，若满足 $∠ E D F = 90 °$ ，则 $A E$ 、 $A F$ 、 $A B$ 之间满足的数量关系是.

(2)、【类比应用】如图2， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点， $E$ 、 $F$ 分别为边 $A C$ 、 $A B$ 上两点，若满足 $∠ E D F = 60 °$ ，试探究 $A E$ 、 $A F$ 、 $A B$ 之间满足的数量关系，并说明理由.

(3)、【拓展延伸】在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点， $E$ 、 $F$ 分别为直线 $A C$ 、 $A B$ 上两点，若满足 $C E = 1$ ， $∠ E D F = 60 °$ ，请直接写出 $A F$ 的长.

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26. 平行四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ A C$ ，点E在边 $A D$ 上，连接 $B E$ .

(1)、如图1， $A C$ 交 $B E$ 于点G，若 $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，且 $∠ D A C = 30 °$ ， $C G = 2$ ，请求出四边形 $E G C D$ 的面积；

(2)、如图2，点F在对角线 $A C$ 上，且 $A F = A B$ ，连接 $B F$ ，过点F作 $F H ⊥ B E$ 于H，连接 $A H$ ，求证： $H F + \sqrt{2} A H = B H$ .

(3)、如图3，线段 $P Q$ 在线段 $B E$ 上运动，点R在边 $B C$ 上，连接 $C Q ， P R$ .若 $B E$ 平分 $∠ A B C$ ， $∠ D A C = 30 °$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $P Q = \frac{3}{2}$ ， $B C = 4 B R$ .请直接写出线段 $C Q + P Q + P R$ 的和的最小值以及此时 $△ C Q E$ 的面积.

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27. 如图，等腰 $R t △ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $∠ A B C$ 的平分线分别交 $A C$ 、 $A D$ 于 $E$ 、 $F$ 两点， $M$ 为 $E F$ 的中点， $A M$ 的延长线交 $B C$ 于点 $N$ ，连接 $D M$ ，下列结论： $① D F = D N$ ； $② △ D M N$ 为等腰三角形； $③ E N ⊥ N C$ ； $④ ∠ D A M = ∠ A D M$ ； $⑤ A E = N C$ ，其中正确结论有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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28. 如图1、在△ABC中，E、D是BC边上的点，且AE是∠BAD的平分线，∠CAE+∠BEA=180°

(1)、若∠CAD=25°，∠C=38°，求∠DAE的度数

(2)、当BE=AC时，请猜想线段AB、AD之间的数量关系；并证明你的猜想.

(3)、如图2，在（2）的条件下，过D作DF⊥AE，垂足为F，交AB于G，如果 $S_{△ D E F} = \frac{7}{5}$ ，请直接写出四边形AFDC的面积.

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29.

(1)、如图1，等腰 $R t △ P B F$ 的直角顶点 $P$ 在正方形 $A B C D$ 的边 $A D$ 上，斜边 $B F$ 交 $C D$ 于点Q，连接 $P Q$ ，求证： $P Q = A P + C Q$ ．请利用现在所学的旋转知识，可将 $△ A B P$ 旋转到 $△ C B E$ ，然后通过证明全等三角形来完成证明．

(2)、如图2，若等腰 $R t △ P B F$ 的直角顶点 $P$ 在正方形 $A B C D$ 的边 $D A$ 的延长线上，斜边 $B F$ 的延长线交 $C D$ 的延长线于点Q，连接 $P Q$ ，猜想线段 $P Q$ ， $A P$ ， $C Q$ 满足怎样的数量关系？并证明你的结论；

(3)、如图3， $R t △ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， P为 $△ A B C$ 内部一点， $P A = A C$ 且 $P B = P C$ ，则 $∠ B C P =$ ．

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30. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 上一点（不与端点 $B$ ， $C$ 重合），连接 $D E .$ 过点 $A$ 作 $D E$ 的垂线，分别交 $D E$ ， $D C$ 于点 $F$ ， $H .$ 延长 $A F$ 到点 $G$ ，使得 $F G = A F$ ，连接 $D G$ ， $C G$ ．

(1)、求证： $△ A D H$ ≌ $△ D C E$ ；

(2)、①若 $∠ A D E = 60 °$ ，则 $∠ A G C =$ $°$ ；
$②$ 改变 $∠ A D E$ 的度数， $∠ A G C$ 的度数是否会发生改变？若发生改变，请写出 $∠ A G C$ 与 $∠ A D E$ 之间的关系，若不改变，请说明理由；

(3)、如图2，若 $B E = E C = \sqrt{5}$ ，求 $D F$ 与 $C G$ 的长．

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