人教版初中数学几何辅助线进阶训练——构造中线（不含相似）

试卷更新日期：2023-04-27 类型：复习试卷

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一、阶段一

1. 已知：如图，在 $Δ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的高线， $C E$ 是 $A B$ 边上的中线，G是 $E C$ 的中点，连结 $D G$ ， $C D = A E$ ， $A D = 6$ ， $B D = 8$ .

(1)、求 $C D$ 的长.

(2)、求证： $D G ⊥ C E$ .

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2. 如图， $Δ A B C$ 中 $∠ C = 90 °$ ， $A B = 10$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，线段 $D E$ 的两个端点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $A C$ ， $B C$ 上滑动，且 $D E = 4$ ，若点 $M$ 、 $N$ 分别是 $D E$ 、 $A B$ 的中点，则 $M N$ 的最小值为．

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3.

(1)、【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．

(2)、【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求线段BF的长．

(3)、【拓展提升】如图3，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．求证：BE+CF＞EF．

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4. 如图，在线段AB上取一点C，分别以AC，BC为边长作菱形BCFG和菱形ACDE，使点D在边CF上，连接EG，H是EG的中点，且 $C H = 5$ ，则EG的长是．

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5. 在 $△ A B C$ 中，已知点D、E、F分别是边AE、BF、CD上的中点，若 $△ A B C$ 的面积是14，则 $△ D E F$ 的面积为．

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6. 如图， $R t △ A B C$ ， $∠ B = 90 °$ ， $∠ B A C = 72 °$ ，过C作 $C F ∥ A B$ ，连接AF与BC相交于点G，若 $G F = 2 A C$ ，求 $∠ B A G$ 的度数．

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7. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， AD平分 $∠ B A C$ 与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若 $△ A B C$ 的面积是24， $P D = 1.5$ ，则PE的长是（）

A、2.5 B、2 C、3.5 D、3

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8. 如图所示，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9. 如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF＝54°，则∠B＝（）

A、54° B、60° C、66° D、72°

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10.

(1)、方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），
①延长AD到M，使得DM＝AD；
②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；
③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是多少；

(2)、请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．

(3)、深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．

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二、阶段二

11. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， ∠ A = 30 ° ， B C = 4$ .将 $△ A B C$ 绕顶点C旋转得到 $△ A^{'} B^{'} C$ ，若点O是 $B C$ 中点，点P是 $A^{'} B^{'}$ 中点，在旋转过程中，线段 $O P$ 的最大值等于（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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12. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $C D ， B E$ 分别是 $A B ， A C$ 边上的高线，M，N分别是线段 $B C ， D E$ 的中点.

(1)、求证： $M N ⊥ D E$ .

(2)、连接 $D M ， M E$ ，猜想 $∠ A$ 与 $∠ D M E$ 之间的关系，并说明理由.

(3)、若将锐角三角形 $A B C$ 变为钝角三角形 $A B C$ ，其余条件不变，如图2，直接写出 $∠ B A C$ 与 $∠ D M E$ 之间的关系.

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边的中线，E为 $A D$ 上一点，连接 $B E$ 并延长交 $A C$ 于点F，若 $∠ A E F = ∠ F A E$ ， $B E = 4$ ， $E F = 1.6$ ，则 $C F$ 的长为.

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14. 如图， $△ A B C$ 的面积为12，点D，E，F分别为 $B C ， A D ， C E$ 的中点，则阴影部分的面积为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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15. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D，E分别为线段AB，AC上一点，且AD＝AE，连接BE、CD交于点G，延长AG交BC于点F.以下四个结论正确的是（）
①BF＝CF；②若BE⊥AC，则CF＝DF；③若BE平分∠ABC，则FG＝ $\frac{3}{2}$ ；④连结EF，若BE⊥AC，则∠DFE＝2∠ABE.

A、①②③ B、③④ C、①②④ D、①②③④

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16. 阅读理解：亲爱的同学们，在以后的学习中我们会学习一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．即：如图1：在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，若点 $D$ 是斜边 $A B$ 的中点，则 $C D = \frac{1}{2} A B$ ．

(1)、牛刀小试：在图1中，若 $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，其他条件不变，则 $C D =$ ；

(2)、活学活用：如图2，已知 $∠ A B C = ∠ A D C = 90 °$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别为 $A C$ 、 $B D$ 的中点， $A C = 26$ ， $B D = 24$ ．求 $E F$ 的长；

(3)、问题解决：为了提高全民健身环境，公园管理部门想要建一个形状如图3中的四边形 $A B C D$ ，其中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A D C = 60 °$ ， $A D = C D = 6$ 千米，要在公园的 $B$ 、 $D$ 之间铺设一条笔直的塑胶跑道，若跑道铺设成本每米200元，当 $B D$ 最大时，请问管理部门预算160万元够用吗？

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点D， $C E ⊥ A B$ 于点E，AD与CE相交于点F，连接DE．

(1)、若 $B D = 2$ ， $A D = 4$ ， $C E = 6$ ，求 $S_{△ A B C}$ ．

(2)、若 $∠ A C F = 25 °$ ， $∠ D E B = 45 °$ ，求 $∠ B$ ．

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18. 如图，菱形ABCD的边长是4，∠A=60°，点G为AB的中点，以BG为边作菱形BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，连接PB．则PB= ．

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19. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，BC的中点，连接EF.按以下步骤作图：①分别以点O，C为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ OC的长为半径作弧，两弧交于点P；②作直线PF，交AC于点G.若AD＝4 $\sqrt{5}$ ， BD＝8，则线段EF的长为 .

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20. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $C D = 2 A D$ ， $B E ⊥ A D$ 于点 $E$ ， $F$ 为 $D C$ 的中点，连结 $E F$ ， $B F$ ，下列结论：① $∠ A B C = 2 ∠ A B F$ ，② $∠ D E F + ∠ E B F = 90^{\circ}$ ；③ $S_{四边形 D E B C} = 2 S_{△ E F B}$ ；④ $∠ C F E = 3 ∠ D E F$ ，其中正确结论的个数共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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三、阶段三

21. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ C D$ ， $E$ 为 $B C$ 中点，点 $M$ 在线段 $B E$ 上，连接 $A M$ ，在 $B C$ 下方有一点 $N$ ，满足 $∠ C A D = ∠ B C N$ ，连接 $M N$ ．

(1)、若 $∠ B C N = 60 °$ ， $A E = 5$ ，求 $Δ A B E$ 的面积；

(2)、若 $M A = M N$ ， $M C = E A + C N$ ，求证： $A B = \sqrt{3} A E$ ．

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22.

(1)、【探究发现】（1）如图1， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点， $E$ 、 $F$ 分别为边 $A C$ 、 $A B$ 上两点，若满足 $∠ E D F = 90 °$ ，则 $A E$ 、 $A F$ 、 $A B$ 之间满足的数量关系是.

(2)、【类比应用】如图2， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点， $E$ 、 $F$ 分别为边 $A C$ 、 $A B$ 上两点，若满足 $∠ E D F = 60 °$ ，试探究 $A E$ 、 $A F$ 、 $A B$ 之间满足的数量关系，并说明理由.

(3)、【拓展延伸】在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点， $E$ 、 $F$ 分别为直线 $A C$ 、 $A B$ 上两点，若满足 $C E = 1$ ， $∠ E D F = 60 °$ ，请直接写出 $A F$ 的长.

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23. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， AB＝AC＝5，点 $D$ 在 $A C$ 上，且 $A D = 2$ ，点E是AB上的动点，连结 $D E$ ，点 $F$ ， G分别是BC，DE的中点，连接 $A G$ ， $F G$ ，当AG＝FG时，线段 $D E$ 长为

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24. 如图，在Rt△ABC中，C为直角顶点，∠ABC＝20°，O为斜边的中点，将OA绕着点O逆时针旋转θ°（0＜θ＜180）至OP，当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为．

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25. 在菱形ABCD中，∠D=60°，CD=4，E为菱形内部一点，且AE=2，连接CE，点F为CE中点，连接BF，取BF中点G，连接AG，则AG的最大值为.

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26. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4.5，S_菱形ABCD＝36，则OH的长为（）

A、3 B、3.5 C、4 D、4.5

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27. 点P是平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线 $B P$ 作垂线，垂足分别为点E、F.点O为 $A C$ 的中点.

(1)、如图1，当点P与点O重合时，线段 $O E$ 和 $O F$ 的关系是；

(2)、当点P运动到如图2所示的位置时，请证明（1）中的结论仍然成立.

(3)、如图3，点P在线段 $O A$ 的延长线上运动，当 $∠ O E F = 30 °$ 时，试探究线段 $C F$ 、 $A E$ 、 $O E$ 之间的关系.

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28. 综合与实践
问题背景：数学小组在一次课外学习交流时，组内一同学提出如下问题：在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，D为 $B C$ 边上一点，但不与点B，点C重合，过点D作 $D E ⊥ A B$ 于点E．连接 $A D$ ，M为 $A D$ 的中点，连接 $E M$ ， $C M$ ．

(1)、观察发现：如图1， $E M$ 与 $C M$ 之间的数量关系是；

(2)、思考分享：如图2，将 $Δ B D E$ 绕点B顺时针旋转，其他条件不变，则（1）中的结论还成立，请证明．小明是这样思考的：延长 $D E$ 至点 $D^{'}$ ，使得 $E D^{'} = D E$ ，连接 $A D^{'}$ 运用三角形中位线定理，…．按照他的思路或采用其他方法证明；

(3)、探究计算：若 $∠ A B C = 30 °$ ， $A C = 4$ ， $D E = 2$ ，在 $△ B D E$ 绕点B旋转一周的过程中，当直线 $D E$ 经过点A时，线段 $A D$ 的长为．

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29. 已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为D、E，M为斜边AB的中点（备注，可以直接用结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.

(1)、如图1，当点P与点M重合时，AD与BE的位置关系是， MD与ME的数量关系是.

(2)、如图2，当点P在线段AB上不与点M重合时，试判断MD与ME的数量关系，并说明理由；

(3)、如图3，当点P在线段BA的延长线上且PQ是不与AB重合的任一直线时，分别过A、B向直线PQ作垂线，垂足分别为D、E，此时（2）中的结论是否成立？若成立，请说明理由.

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30. 在 $Δ A B C$ 与 $Δ C D E$ 中， $∠ A C B = ∠ C D E = 90 °$ ， $A C = B C = 2 \sqrt{6}$ ， $C D = E D = 2$ ，连接 $A E ， B E$ ，点 $F$ 为 $A E$ 的中点，连接 $D F$ ， $Δ C D E$ 绕着点 $C$ 旋转.

(1)、如图1，当点 $D$ 落在 $A C$ 的延长线上时， $D F$ 与 $B E$ 的数量关系是：；

(2)、如图2，当 $Δ C D E$ 旋转到点 $D$ 落在 $B C$ 的延长线上时， $D F$ 与 $B E$ 是否仍有具有（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；

(3)、旋转过程中，若当 $∠ B C D = 105 °$ 时，直接写出 $D F^{2}$ 的值.

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