人教版初中数学几何辅助线进阶训练——构造中位线（适用于八年级）

试卷更新日期：2023-04-27 类型：复习试卷

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一、阶段一

1. 如图，已知D、E分别是 $△ A B C$ 的边 $B C$ 、 $A C$ 的中点， $A G$ 是 $△ A B E$ 的中线，连接 $B E$ 、 $A D$ 、 $G D$ ，若 $△ A B C$ 的面积为40，则阴影部分 $△ A D G$ 的面积为（）

A、10 B、5 C、8 D、4

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ A C B = 120 °$ ， $D$ 是边 $A B$ 的中点， $E$ 是边 $B C$ 上一点，若 $D E$ 平分 $△ A B C$ 的周长，则 $D E$ 的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 如图，在△ABC中，延长BC至点D，使得CD＝ $\frac{1}{2}$ BC，过AC的中点E作EF∥CD（点F位于点E右侧），且EF＝BC，连接DF，若AB＝4，则DF的长为（）

A、3 B、2 C、2 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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4. 如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC ， AD⊥AC ， AD＝AC ， ∠BAD＝105°，点E和点F分别是AC和CD的中点，连接BE ， EF ， BF ，若CD＝8，则 $△$ BEF的面积是．

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5. 如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，∠A=30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF= $\frac{1}{2}$ BC，若EF=4，则DE的长为（）

A、4 B、 $\sqrt{3} + 1$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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6. 如图，▱ABCD的顶点C在等边 $△ BEF$ 的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD=5，AB=CF=3，则CG的长为．

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7. 如图，已知矩形 ABCD ，AD = 12， CD = 9 ，点 R 、P 分别是 DC ，BC 上的定点，点 E 、F 分别是 AP 、 RP 的中点，若CR = 4 ，则 EF =（）

A、12 B、6.5 C、9 D、不能确定

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8. 如图，将折叠书架画出侧面示意图，AB面板架，CD为支撑架，EF为锁定杆，F可在CD上移动或固定，已知BC＝CE＝8cm，如图1，将面板AB竖直固定时（AB⊥BD），点F恰为CD的中点，如图2，当CF＝17cm，EF⊥AB，则底部BD＝cm，支撑架CD的长度为cm．

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9. 已知 $△ A B C$ 是边长为10的等边三角形， $D$ 为 $A C$ 的中点， $∠ E D F = 120 °$ ， $D E$ 交线段 $A B$ 于 $E$ ， $D F$ 交 $B C$ 的延长线于 $F$ .若 $A E = 4 B E$ ，则 $C F$ 的长为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 如图， $△$ ABC的中线BE，CD相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，连结DF，EG，试猜想DF与EG有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的猜想.

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二、阶段二

11. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O，在 $D C$ 的延长线上取点E，使 $C E = \frac{1}{2} C D$ ，连接 $O E$ 交 $B C$ 于点F，若 $B C = 12$ ，则 $C F =$ ．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C E$ 是中线， $C D$ 是角平分线， $A F ⊥ C D$ 交 $C D$ 延长线于点F， $A C = 9 ， B C = 4$ ，则 $E F$ 的长为．

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13. 如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE=8，则GE=.

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14. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5．点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的最大值是．

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15. 如图，四边形ABCD中．AC⊥BC， $A D$ // $B C$ ， BD为∠ABC的平分线，BC＝6，AC＝8．E、F分别是BD、AC的中点，则EF的长为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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16. 如图，已知∠AED＝∠ACB＝90°，AC=BC=3，AE=DE=1，点D在AB上，连接CE，点M，点N分别为BD，CE的中点，则MN的长为．

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17. 如图， $A B ∥ C D$ ， $A C$ 、 $B D$ 相交于P，E、F分别为 $A C$ 、 $B D$ 的中点，若 $A B = 10 ， C D = 6$ ，则 $E F$ 的长是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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18. 如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作等腰△ABM和等腰△CAN，AM=AB AC=AN，∠MAB=∠CAN.D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，EF.求证：DE=EF。

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19. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2 $\sqrt{5}$ ， BC=3，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF= $\frac{1}{2}$ BC，连结DF，EF，则EF的长为。

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B D ， C E$ 分别是边 $A C ， A B$ 上的中线， $B D ⊥ C E$ 于点O，点F是 $O B$ 的中点，若 $O B = 8 ， O C = 6$ ，则 $E F$ 的长是（）

A、7 B、5 C、4 D、3

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三、阶段三

21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB的中点.E，F分别是直线AC，BC上的动点，∠EDF＝90°，则线段EF的最小值为 .

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A C > A B > 4$ ，点D、E分别在边AB、AC上， $B D = 4$ ， $C E = 3$ ，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（）

A、2.5 B、3 C、4 D、5

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23. 如图，在▱ ABCD中，点E、F分别为AD、DC的中点，BF⊥CD，已知BF=8，EF=5，则▱ ABCD的周长为．

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24. 如图，四边形ABCD中，∠ABC=120°，点F为CD中点，以AB，BD为边，AD为对角线作平行四边形ABDE，连接BE交AD于点O，且OF=BC=2，则AB的长为（）

A、 $\sqrt{13} + 1$ B、 $\sqrt{13} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{13} + 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{13} - 1}{2}$

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25. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $∠ C = 90^{\circ}$ °， $A B = 8$ ， $A D = C D = 5$ ，点 $M 、 N$ 分别为 $B C 、 A B$ 上的动点（含端点）， $E 、 F$ 分别为 $D M 、 M N$ 的中点，则 $E F$ 长度的最小值为．

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26. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $D$ 为 $Δ A B C$ 形内一点，以 $A D$ 为腰作等腰 $Δ D A E$ ，使 $∠ D A E = ∠ B A C$ ，连接 $B E$ 、 $C D$ ，若 $M$ 、 $N$ 分别是 $D E$ 、 $B C$ 的中点， $M N = 1$ ，则 $C D$ 的长为.

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27. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A M$ 是 $∠ C A B$ 的平分线， $C N$ 是外角 $∠ G C B$ 的平分线， $B E ⊥ A M$ 于点E， $B D ⊥ C N$ 于点D，连接 $D E$ ．若 $A B = 4$ ， $B C = 5$ ， $A C = 6$ ，则 $D E$ 的长是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $4$

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28. 如图，在矩形ABCD中， $A D = 4$ ， $A B = 8$ ，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别为CD，DA延长线上的点，且 $D E = 4$ ， $A F = 2$ ，连接EF，G为EF的中点，连接OE，交AD于点H，连接GH．

(1)、求证：H是OE的中点；

(2)、求GH的长．

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29. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是.

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30. 如图1，点 $C$ 是线段 $A D$ 上一点 $(A C < C D)$ ，分别以 $A C$ 、 $C D$ 为直角边，在 $A D$ 同侧作等腰直角三角形 $△ A C B$ 和 $△ D C E$ ，点 $M$ 、 $N$ 分别是斜边 $A B$ 、 $D E$ 的中点，点 $P$ 是线段 $A D$ 的中点，连接 $P M$ 、 $P N$ .

(1)、观察猜想，图1中，线段 $P M$ 与 $P N$ 的数量关系是，位置关系是；

(2)、探究证明：将图1中的 $△ D C E$ 绕着点 $C$ 顺时针旋转 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，如图2，点 $M$ 、 $N$ 、 $P$ 依然分别是 $A B$ 、 $D E$ 、 $A D$ 的中点，请判断（1）中结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

(3)、若将图1中 $△ A C B$ 和 $△ D C E$ 都换成等边三角形，将图1中的 $△ D C E$ 绕着点 $C$ 顺时针旋转 $α (90 ° < α < 180 °)$ ，如图3，点 $M$ 、 $N$ 、P依然分别是 $A B$ 、 $D E$ 、 $A D$ 的中点，请判断（1）中结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

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