四川省达州市开江县2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-04-27 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列实数中，比﹣2小的数是（）

A、﹣1 B、5 C、﹣5 D、1

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2. 下列各式计算正确的是（）

A、 $x^{5} + x^{5} = x^{10}$ B、 $a^{10} \div a^{9} = a$ C、 ${(a b^{4})}^{4} = a b^{16}$ D、 $a^{6} \cdot a^{4} = a^{24}$

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3. 如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，生活中，将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果 $∠ 1 = 140 °$ ，那么 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $140 °$ B、 $120 °$ C、 $110 °$ D、 $100 °$

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5. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} \frac{x}{3} = y + 2 \\ \frac{x}{2} + 9 = y \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} \frac{x}{3} = y - 2 \\ \frac{x - 9}{2} = y \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} \frac{x}{3} = y + 2 \\ \frac{x - 9}{2} = y \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} \frac{x}{3} = y - 2 \\ \frac{x}{2} - 9 = y \end{array}$

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6. $2023$ 年国内生产总值增长5.5%左右，城镇新增就业1200万人以上，请将数“1200万”用科学记数法表示为（）

A、 $0.12 \times 1 0^{8}$ B、 $1.2 \times 1 0^{6}$ C、 $1.2 \times 1 0^{7}$ D、 $12 \times 1 0^{6}$

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7.
如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（　　）

A、2 $\sqrt{2}$ B、4 C、4 $\sqrt{2}$ D、8

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8. 如图，在平行四边形ABCD中， $A B = 5$ ， $A D = 10$ ， $s i n B = \frac{4}{5}$ ，过 $B C$ 的中点 $E$ 作 $E F ⊥ A B$ ，垂足为点 $F$ ，延长 $F E$ 交 $D C$ 的延长线于点 $G$ ，连接 $D F$ ，则 $D F$ 的长为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、8 D、 $8 \sqrt{2}$

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9. 如图，在平面直角坐标系中，点A₁ ， A₂ ， A₃ ， …，A_n在x轴上，点B₁ ， B₂ ， …，B在直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 上，若点A₁的坐标为（1，0），且 $△ A_{1} B_{1} A_{2}$ ， $△ A_{2} B_{2} A_{3}$ ， …， $△ A_{n} B_{n} A_{n + 1}$ 都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S₁ ， S₂ ， …，S_n ，则S_n可表示为（）

A、 $2^{2 n} \sqrt{3}$ B、 $2^{2 n - 1} \sqrt{3}$ C、 $2^{2 n - 2} \sqrt{3}$ D、 $2^{2 n - 3} \sqrt{3}$

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10. 求二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，其对称轴为直线 $x = - 1$ ，与 $x$ 轴的交点为 $(x_{1} ， 0)$ 、 $(x_{2} ， 0)$ ，其中 $0 < x_{1} < 1$ ，有下列结论：① $a b c > 0$ ；② $- 3 < x_{2} < - 2$ ；③ $4 a - 2 b + c < - 1$ ；④ $a - b > a m^{2} + b m (m \neq - 1)$ ；⑤ $a > \frac{1}{3}$ ；其中，正确的结论有（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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二、填空题

11. 因式分解： $3 a^{2} - 3 =$ .

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12. 已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - x - 5 = 0$ 的两个实数根，则 $x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}$ 的值是.

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 2 A C = 4$ ，分别以点 $C$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $P$ 、 $Q$ ，作直线 $P Q$ 交 $A B$ 、 $B C$ 于点 $M$ 、 $N$ ，连接 $C M$ 、 $A N$ ，则 $C M =$ .

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14. 如图，正方形 $O A B C$ 的边长为4，A、 $C$ 两点分别位于 $x$ 轴、 $y$ 轴上，点 $P$ 在 $A B$ 上， $C P$ 交 $O B$ 于点 $Q$ ，函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $Q$ ，若 $S_{△ B P Q} = \frac{1}{9} S_{△ O Q C}$ ，则 $k$ 的值为.

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三、解答题

15. 如图，将正方形纸片 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠，使点 $B$ 落在 $A D$ 边的点 $P$ 处（不与点 $A$ ，点 $D$ 重合），点 $C$ 落在 $G$ 点处， $P G$ 交 $D C$ 于点 $H$ ，连接 $B P$ 、 $B H$ ， $B H$ 交 $E F$ 于点 $M$ ，连接 $P M$ ，下列结论：① $B E = P E$ ；② $P B$ 平分 $∠ A P G$ ；③ $P H = A P + C H$ ；④ $B M = \frac{\sqrt{2}}{2} B P$ ；⑤若 $B E = \frac{5}{3}$ ， $A P = 1$ ，则 $S_{四边形 B E P M} = \frac{11}{3}$ ，其中正确结论的序号是.

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16.

(1)、计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 1} - {(π - 3)}^{0} + | \sqrt{3} - 2 | + t a n 60 °$ ；

(2)、 $(1 + \frac{1}{x - 2}) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 4}$ ，选一个适合的数代入求值.

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17. 今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况进行团史学习，现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用 $a$ 表示），其中 $60 \leq a < 70$ 记为“较差”， $70 \leq a < 80$ 记为“一般”， $80 \leq a < 90$ 记为“良好”， $90 \leq a \leq 100$ 记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图.
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：

(1)、 $x =$ ▲ ， $y =$ ▲ ，并将直方图补充完整；

(2)、已知 $90 \leq a \leq 100$ 这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，这8个数据的中位数是，众数是；

(3)、本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率.

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18. 北京冬奥会首钢滑雪大跳台以飘带曲线构筑的建筑外形十分优美、流畅，向世界传递出了中国式的浪漫.某小组开展数学实践活动，在大跳台另一侧进行测量.如图，已知测倾器高度为1米，在测点A处安置测倾器，测得点P处的仰角∠PBE＝45°，在与点A相距7.8米的测点C处安置测倾器，测得点P处的仰角∠PDE＝50°（A，C与Q在一条直线上），求首钢大跳台起点到地面的高度PQ.（参考数据：tan50°≈1.20，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，计算结果精确到1米）

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19. 已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）

(1)、画出△ABC向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到的△A₁B₁C₁ ，并直接写出C₁点的坐标；

(2)、画出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的△A₂B₂C₂ ，并直接写出C₂点的坐标；

(3)、请求出（2）中△ABC旋转过程中所扫过的面积为．

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20. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $A O = C O$ ，且 $A C$ 平分 $∠ B A D$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A B$ 交 $A B$ 的延长线于点 $E$ .

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形；

(2)、若 $A B = \sqrt{5}$ ， $B D = 2$ ，求 $△ A C E$ 的面积.

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21. 某超市经销一种商品，每千克成本为40元，试经销发现，该种商品的每天销售量y（件数）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的几组对应值如下表所示：

销售单价x（元/件）

55

60

70

…

销售量y（件）

70

60

40

…

(1)、直接写出y（件）与x（元/件）之间的函数表达式；

(2)、求销售单价定为多少时，当天的销售利润是1050元？

(3)、销售过程中要求走出的商品数不少于60件，求销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

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22. 如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，分别交AB、AF的延长线于点C、D.

(1)、求证：CD是⊙O的切线；

(2)、若⊙O的半径为5， $\tan ∠ E A D = \frac{3}{4}$ ，求BC的长.

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23. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如：点 $(1 ， 1)$ 是函数 $y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ 的图像的“等值点”.

(1)、分别判断函数 $y = x + 1$ ， $y = x^{2} - x$ 的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；

(2)、设函数 $y = \frac{3}{x} (x > 0)$ ， $y = - x + b$ 的图像的“等值点”分别为点 $A$ ， $B$ ，过点 $B$ 作 $B C ⊥ x$ 轴，垂足为 $C$ .当 $△ A B C$ 的面积为3时，求 $b$ 的值；

(3)、若函数 $y = x^{2} - 2 (x \geq m)$ 的图像记为 $W_{1}$ ，将其沿直线 $x = m$ 翻折后的图像记为 $W_{2}$ ，当 $W_{1}$ ， $W_{2}$ 两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，直接写出 $m$ 的取值范围.

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24. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + 2 a x + c$ 经过 $B (1 ， 0) ， C (0 ， 3)$ 两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点.

(1)、求抛物线的解析式及点D的坐标；

(2)、如图1，连接 $A C$ ，点E在直线 $A C$ 上方的抛物线上，连接 $E A ， E C$ ，当 $△ E A C$ 面积最大时，求点E坐标；

(3)、如图2，连接 $A C 、 B C$ ，在抛物线上是否存在点M，使 $∠ A C M = ∠ B C O$ ，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.

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25. 将边长为4的正方形 $A B C D$ 与边长为5的正方形 $A E F G$ 按图1位置放置， $A D$ 与 $A E$ 在同一条直线上， $A B$ 与 $A G$ 在同一条直线上.将正方形 $A B C D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转一周，直线 $E B$ 与直线 $D G$ 交于点 $P$ .

(1)、直接写出 $D G$ 与 $B E$ 的关系；

(2)、如图2，当点 $B$ 在线段 $D G$ 上时，求 $△ A D G$ 的面积；

(3)、连接 $P F$ ，当 $P E = 4 \sqrt{2}$ 时，求 $P F$ 的值.

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销售单价x（元/件）	55	60	70	…
销售量y（件）	70	60	40	…