江苏省常州市2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-04-27 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 点 $P (2 ， - 3)$ 关于原点的对称点是（）

A、 $(- 2 ， 3)$ B、 $(2 ， - 3)$ C、 $(- 2 ， - 3)$ D、 $(2 ， 3)$

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2. 方程 $x (x - 1) = x$ 的解是（）

A、x = 0 B、x = 2 C、x₁= 0，x₂= 1 D、x₁= 0，x₂= 2

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3. 若线段a＝2cm，线段b＝8cm，则a，b的比例中项c为（）

A、4cm B、5cm C、6cm D、32cm

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4. ⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为7cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、不能确定

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5. 九（1）班45名同学一周课外阅读时间统计如表所示，那么该班45名同学一周课外阅读时间的众数、中位数分别是（）
人数（人）
5
19
15
6
时间（小时）
6
7
9
10

A、7，7 B、19，8 C、10，7 D、7，8

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6. 如图，在 $⊙ O$ 中，弦 $A B$ ， $C D$ 相交于点P， $∠ C A B = 40 °$ ， $∠ A B D = 30 °$ ，则 $∠ A P D$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $35 °$ C、 $40 °$ D、 $70 °$

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7. 在平面直角坐标系中，若点 $P$ 的横坐标与纵坐标的和为零，则称点 $P$ 为“零和点”.已知二次函数 $y = x^{2} + 3 x + m$ 的图像上有且只有一个“零和点”，则下列结论正确的是（）

A、 $m = \frac{9}{4}$ B、 $m = \frac{4}{9}$ C、 $m = 1$ D、 $m = 4$

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8. 如图，直线 $y = x + 1$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于点A、 $B$ ，过点 $B$ 作 $B C ⊥ A B$ ，使 $B C = 2 B A$ .将 $△ A B C$ 绕点 $O$ 顺时针旋转，每次旋转 $90 °$ .则第2024次旋转结束时，点 $C$ 的对应点 $C^{'}$ 落在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，则 $k$ 的值为（）

A、6 B、-6 C、-4 D、4

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二、填空题

9. 在函数y= $\sqrt{2 x - 1}$ 中，自变量x的取值范围是．

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10. 若 $\frac{x}{2} = \frac{y}{5}$ ，则 $\frac{2 x + y}{x} =$ .

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11. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - x + m = 0$ （ $m$ 为常数）有两个相等的实数根，则 $m =$ .

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12. 已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为 cm²

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13. 在一个不透明的盒子中装有10个大小相同的乒乓球，做了1000次摸球试验，摸到红球的频数是400，估计盒子中的红球的个数是.

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14. $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $t a n A = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{5}$ ，则 $A C$ 的长是.

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15. 下表中两个变量y与x的数据满足我们初中学过的二次函数关系：
$x$
…
-1
0
1
3
…
$y$
…
0
3
4
0
…
则这个二次函数图象的对称轴为.

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16. 如图，在边长为 $1$ 的正方形网格中， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 为格点，连接 $A B$ 、 $C D$ 相交于点 $E$ ，则 $A E$ 的长为.

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17. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形，边 $A B$ 在 $y$ 轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0 ， x > 0)$ 的图象经过点 $C$ ，若 $A B = 4$ ，点 $A$ 的坐标为 $(0 ， 3)$ ，则k的值为.

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18. 图1是一个

2 \times 2

正方形网格，两条网格线的交点叫做格点.甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下：

游戏规则a.两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点；

b.新画线段的起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其它公共点；

c.已画出线段的所有端点中，任意三个端点不能在同一条直线上；

d.当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜.

如图2，甲先画出线段 $A B$ ，乙随后画出线段 $B C$ .若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是.（填“甲”，“乙”或“不确定”）.

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三、解答题

19. 计算： $\sqrt{3} t a n 60 ° - 2 s i n 30 ° + \sqrt{2} c o s 45 °$ .

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20. 解方程：

(1)、 $(x + 1)^{2} - 4 = 0$ ；

(2)、 $x^{2} - 2 x - 6 = 0$ .

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21. 某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对全校学生进行随机抽样调直，调查的运动项目有：篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其它项目（每位同学仅选一项），根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图.
运动项目
频数（人数）
频率
篮球
30
0.25
羽毛球
m
0.20
乒乓球
36
n
跳绳
18
0.15
其它
12
0.10
请根据以上图表信息，解答下列问题：

(1)、频数分布表中的m＝， n＝， “乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数为；

(2)、若该校有1000名学生，请估计最喜爱乒乓球这项运动的学生人数.

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22. 进出校园测量体温是学校常态化疫情防控的重要举措，学校有A、B两个测温通道，甲、乙、丙三个同学上学进校园，随机选择一个通道测量体温，

(1)、甲同学通过A通道进入校园的概率是；

(2)、请用列表或画树状图的方法求出甲、乙、丙三个同学经过同一个通道进校园的概率.

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23. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D.

(1)、以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O；（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）

(2)、判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由.

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24. 某小区门口安装了汽车出入道闸.道闸关闭时，如图①，四边形 $A B C D$ 为矩形， $A B$ 长6米， $A D$ 长2米，点 $D$ 距地面为0.4米.道闸打开的过程中，边 $A D$ 固定，连杆 $A B$ ， $C D$ 分别绕点A，D转动，且边 $B C$ 始终与边 $A D$ 平行.如图②，当道闸打开至 $∠ A D C = 60 °$ 时，边 $C D$ 上一点 $P$ 到地面的距离 $P E$ 为2.4米，求点 $P$ 到 $M N$ 的距离 $P F$ 的长；

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25. 已知直线 $l ： y = k x (k \neq 0)$ 过点 $A (- 1 ， 2)$ .点 $P$ 为直线 $l$ 上一点，其横坐标为 $m$ .过点 $P$ 作 $y$ 轴的垂线，与函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $Q$ .

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、①求点 $Q$ 的坐标（用含 $m$ 的式子表示）；
②若 $△ P O Q$ 的面积等于3，求出点 $P$ 的横坐标 $m$ 的值.

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26. 如图，点 $D$ 是 $△ A B C$ 中 $A B$ 边上一点，以 $A D$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $B C$ 相切于点 $C$ ，连接 $C D$ .

(1)、判断 $△ B C D$ 与 $△ B A C$ 是否相似？并说明理由。

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为3， $t a n ∠ B C D = \frac{1}{2}$ ，求 $B C$ 的长度.

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27. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A$ 、 $B$ 为平面内不重合的两个点，若 $Q$ 到 $A$ 、 $B$ 两点的距离相等，则称点 $Q$ 是线段 $A B$ 的“似中点”.

(1)、已知 $A (1 ， 0)$ ， $B (3 ， 2)$ ，在点 $D (1 ， 3)$ 、 $E (3 ， 0)$ 、 $F (4 ， - 2)$ 中，线段 $A B$ 的“似中点”是点；

(2)、直线 $y = \sqrt{3} x + \sqrt{3}$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点 $N$ .
①求在坐标轴上的线段 $M N$ 的“似中点”；
②若 $⊙ P$ 的半径为2，圆心 $P$ 在 $x$ 轴上，坐标为 $(t ， 0)$ ， $⊙ P$ 上存在线段 $M N$ 的“似中点”，请直接写出 $t$ 的取值范围.

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28. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过 $A (- 1 ， 0)$ 、 $B (3 ， 0)$ 、 $C (0 ， 3)$ 三点，对称轴与抛物线相交于点 $P$ 、与 $B C$ 相交于点 $E$ ，与 $x$ 轴交于点 $H$ ，连接 $P B$ .

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、抛物线上是否存在一点 $Q$ ，使 $△ Q P B$ 与 $△ E P B$ 的面积相等，若存在，请求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，说明理由.

(3)、抛物线上存在一点 $G$ ，使 $∠ G B A + ∠ P B E = 45 °$ ，请直接写出点 $G$ 的坐标；

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运动项目	频数（人数）	频率
篮球	30	0.25
羽毛球	m	0.20
乒乓球	36	n
跳绳	18	0.15
其它	12	0.10

人数（人）	5	19	15	6
时间（小时）	6	7	9	10

$x$	…	-1	0	1	3	…
$y$	…	0	3	4	0	…