浙江省台州市2023届高三下学期数学4月第二次教学质量评估（二模）试卷

试卷更新日期：2023-04-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数z满足 $z (1 + i) = 1 - i$ （i为虚数单位），则z的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $i$ C、1 D、 $- 1$

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2. 设集合 $A = {x | l o g_{2} x < 1}$ ， $B = {x | - 1 < x < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(1 ， 2)$

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3. 如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为 $0.5$ 米，圆柱部分的高为 $2$ 米，底面圆的半径为 $1$ 米，则该组合体体积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ 立方米 B、 $2 π$ 立方米 C、 $\frac{13 π}{6}$ 立方米 D、 $\frac{5 π}{2}$ 立方米

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4. 已知函数 $f (x)$ 同时满足性质：① $f (- x) = f (x)$ ；②当 $\forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， 1)$ 时， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则函数 $f (x)$ 可能为（）

A、 $f (x) = x^{2}$ B、 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ C、 $f (x) = c o s 4 x$ D、 $f (x) = l n (1 - | x |)$

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5. 已知公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{2} + a_{7} = a_{8} + 1$ ，且 $a_{2} ， a_{4} ， a_{8}$ 成等比数列，则 $a_{2023} =$ （）

A、2023 B、-2023 C、0 D、 $\frac{1}{2023}$

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6. 袋子中有大小相同的 $5$ 个白球和 $5$ 个红球，从中任取 $3$ 个球，已知 $3$ 个球中有白球，则恰好拿到 $2$ 个红球的概率为（）

A、 $\frac{5}{11}$ B、 $\frac{4}{11}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 已知菱形 $A B C D$ 的边长为 $3$ ，对角线 $B D$ 长为 $5$ ，将△ $A B D$ 沿着对角线 $B D$ 翻折至△ $A^{'} B D$ ，使得线段 $A^{'} C$ 长为 $3$ ，则异面直线 $A^{'} B$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{8}{9}$

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8. 设函数 $f (x) = (x + 2 s i n x) (2^{- x} + 1) ， x \in (0 ， + \infty)$ ，则（）

A、函数 $g (x) = f (x) - x$ 有且仅有一个零点 B、对 $\forall a < 0$ ， $\forall b > 0$ ，函数 $g (x) = f (x) - a x - b$ 有且仅有一个零点 C、 $\exists m \in R$ ， $| f (x) - 2 x | \leq m$ 恒成立 D、 $\exists a ， b ， m \in R$ ， $| f (x) - a x - b | \leq m$ 恒成立

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，且图象经过点 $D (0 ， \frac{1}{2})$ ，则（）

A、 $ω = 2$ B、点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 为函数 $y = f (x)$ 图象的对称中心 C、直线 $x = \frac{π}{6}$ 为函数 $y = f (x)$ 图象的对称轴 D、函数 $f (x)$ 的单调增区间为 $[k π - \frac{π}{3} ， k π + \frac{π}{6}] ， k \in Z$

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10. 已知 $a ， b ， c \in (0 ， 1)$ ，随机变量 $ξ$ 的分布列为：
$ξ$
$1$
$2$
$3$
$P$
$a$
$b$
$c$
则（）

A、 $E (ξ - 2) = E (ξ)$ B、 $D (ξ - 2) = D (ξ)$ C、 $E (ξ^{2}) \geq [E (ξ)]^{2}$ D、 $D [{(ξ - 2)}^{2}] = D (ξ^{2})$

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11. 设抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 焦点为 $F$ ，点 $D$ 为抛物线 $C$ 准线上的点，经过点 $P (m ， 0)$ 的动直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于不同的两点 $A ， B$ ，其中坐标原点为 $O$ ，则（）

A、若 $m = 1$ ，则 $∠ A D B > 9 0^{∘}$ B、若 $m = 3$ ，则 $∠ A D B < 9 0^{∘}$ C、若 $m = 3$ ，则 $∠ A F B > 9 0^{∘}$ D、若 $m = 4$ ，则 $∠ A O B = 9 0^{∘}$

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12. 高一某班级共有 $n$ 行 $m$ 列个座位，记为 $n \times m$ .每周进行一次轮换，轮换规则如下：①每一行轮换到下一行，最后一行轮换到第一行；②从左到右，每一列轮换到相邻右边一列，最后一列轮换到左侧第一列.例如，班级共有 $4 \times 5$ 个座位，则本周第3行第4列的同学，在下周一将轮换到第4行第5列的座位.现某班的座位形式为 $n \times m$ ，经过推演发现，如果一直按这种轮换法，在高中三年内每一个学生都可以轮换到全班所有座位，则 $n \times m$ 可能为（）

A、 $4 \times 6$ B、 $4 \times 8$ C、 $5 \times 6$ D、 $5 \times 8$

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三、填空题

13. 已知平面向量 $\vec{a} = (2 ， m)$ ， $\vec{b} = (m - 1 ， 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $m =$ .

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14. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(2 ， 0)$ 和 $(1 ， \frac{3}{2})$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为.

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15. 若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $\forall x ， y \in R$ ， $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ ，且 $f (0) = 1$ ，则满足上述条件的函数 $f (x)$ 可以为.（写出一个即可）

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16. 三棱锥 $D - A B C$ 中， $D C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = C D = 1$ ，点 $P$ 在三棱锥 $D - A B C$ 外接球的球面上，且 $∠ A P C = 6 0^{∘}$ ，则 $D P$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ .已知 $a s i n B = b c o s (A - \frac{π}{6})$ ， $b c o s C = c c o s B$ .

(1)、求 $A$ 的值；

(2)、若点 $D$ 为边 $B C$ 上的一个点，且满足 $c o s ∠ B A D = \frac{4}{5}$ ，求 $△ A B D$ 与 $△ A C D$ 的面积之比.

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18. 向日葵是常见的一种经济作物，种子常炒制为零食食用，也可榨葵花籽油.但种植向日葵时会频繁地遇到空壳问题，其中开花期大气湿度是导致向日葵空壳的一大主因.为找到向日葵空壳率与开花期大气湿度的关系，研究人员做了观察试验，结果如下：
大气湿度x
45%
59%
66%
68%
69%
70%
72%
77%
80%
88%
空壳率y
18%
21%
25%
27%
26%
29%
31%
32%
33%
37%
附：经验回归方程系数： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{k} x_{i} y_{i} - k \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{k} x_{i}^{2} - k {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $\bar{x} = 0.69$ ， $\bar{y} = 0.28$ ， $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} \cdot y_{i} = 1.9951$ ， $\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} = 4.9404$ .

(1)、试求向日葵空壳率与大气湿度之间的回归直线方程；(回归直线方程的系数均保留两位有效数字)

(2)、某地大气湿度约为 $40 %$ 时，试根据(1)中的回归直线方程推测空壳率大约为多少?

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19. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 棱长均为 $1$ ，且 $A C_{1} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ， $B C_{1} = 1$ .

(1)、求证：平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、求平面 $A B C_{1}$ 与平面 $A B C$ 所成夹角的余弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 满足： $a_{1} + 2 b_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{3}{4} a_{n} - \frac{b_{n}}{2}$ ， $2 b_{n + 1} = \frac{3}{2} b_{n} - \frac{a_{n}}{4}$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n} + 2 b_{n}}$ 是等比数列；

(2)、若________（从下列三个条件中任选一个），求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .① $a_{1} - 2 b_{1} = 1$ ；② $b_{2} = - \frac{1}{8}$ ；③ $a_{2} - 2 b_{2} = 1$ .

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21. 已知过点 $P (2 ， 0)$ 的直线 $l_{1}$ 与双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的左右两支分别交于 $A$ 、 $B$ 两点.

(1)、求直线 $l_{1}$ 的斜率 $k$ 的取值范围；

(2)、设点 $Q (x_{0} ， y_{0})$ $(x_{0}^{2} \neq 2 y_{0}^{2})$ ，过点 $Q$ 且与直线 $l_{1}$ 垂直的直线 $l_{2}$ ，与双曲线 $C$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点.当直线 $l_{1}$ 变化时， $\frac{1}{| P A | \cdot | P B |} - \frac{1}{| Q M | \cdot | Q N |}$ 恒为一定值，求点 $Q$ 的轨迹方程.

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22. 已知 $k \in R$ ， $a > 0$ ，设函数 $f (x) = e^{x - a} - \frac{k}{a} x^{2}$ ，其中 $e$ 为自然对数的底， $e \approx 2.71828 ⋯$ .

(1)、当 $a = 1 ， k = \frac{1}{2}$ 时，证明：函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增；

(2)、若对任意正实数 $a$ ，函数 $f (x)$ 均有三个零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ .求实数 $k$ 的取值范围，并证明 $x_{2} + x_{3} > 4$ .

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大气湿度x	45%	59%	66%	68%	69%	70%	72%	77%	80%	88%
空壳率y	18%	21%	25%	27%	26%	29%	31%	32%	33%	37%

$ξ$	$1$	$2$	$3$
$P$	$a$	$b$	$c$