浙江省绍兴市2023届高三下学期数学4月高考适应性考试（二模）试卷

试卷更新日期：2023-04-25 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x = 2 n ， n \in Z} ， B = {x ∣ 0 \leq x \leq 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${2 ， 4}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${0 ， 2 ， 4}$

查看试题解析
2. 已知 $z + i = z i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

查看试题解析
3. 下列函数在区间 $(0 ， 2)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = (x - 2)^{2}$ B、 $y = \frac{1}{x - 2}$ C、 $y = s i n (x - 2)$ D、 $y = c o s (x - 2)$

查看试题解析
4. 已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1 ， ⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ = \frac{π}{6} ， | \vec{a} - 2 \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

查看试题解析
5. 绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形（如图）水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水果的深度（即梯形的高）约为（）（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

A、0.58米 B、0.87米 C、1.17米 D、1.73米

查看试题解析
6. 已知一组样本数据共有9个数，其平均数为8，方差为12.将这组样本数据增加一个数据后，所得新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差为（）

A、18.2 B、19.6 C、19.8 D、21.4

查看试题解析
7. 已知等腰直角 $△ A B C$ 的斜边 $A B = \sqrt{2} ， M ， N$ 分别为 $A C ， A B$ 上的动点，将 $△ A M N$ 沿 $M N$ 折起，使点 $A$ 到达点 $A^{'}$ 的位置，且平面 $A^{'} M N ⊥$ 平面 $B C M N$ .若点 $A^{'} ， B ， C ， M ， N$ 均在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 表面积的最小值为（）

A、 $\frac{8 π}{3}$ B、 $\frac{3 π}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6} π}{3}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

查看试题解析
8. 设 $a = \frac{10}{11} e^{\frac{1}{11}} ， b = 11 l n 1.1$ ，则（）

A、 $1 < a b < a$ B、 $1 < a b < b$ C、 $a < a b < 1$ D、 $b < a b < 1$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) ， ω > 0 ， g (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则（）

A、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的周期相同 B、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的值域相同 C、 $y = f (x) + g (x)$ 可能是奇函数 D、 $y = f (x) g (x)$ 的最大值是 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
10. 已知抛物线 $C_{1} ： y^{2} = 4 x ， C_{2} ： y^{2} = 8 x$ 的焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ .若 $P ， Q$ 分别为 $C_{1} ， C_{2}$ 上的点，且线段 $P Q$ 平行于 $x$ 轴，则（）

A、当 $| P Q | = \frac{1}{2}$ 时， $△ F_{1} P Q$ 是直角三角形 B、当 $| P Q | = \frac{4}{3}$ 时， $△ F_{2} P Q$ 是等腰三角形 C、四边形 $F_{1} F_{2} P Q$ 可能是菱形 D、四边形 $F_{1} F_{2} P Q$ 可能是矩形

查看试题解析
11. 某学校课外社团活动课上，数学兴趣小组进行了一次有趣的数学实验操作，课题名称“不用尺规等工具，探究水面高度”.如图甲， $P - A B C D$ 是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不计），底面 $A B C D$ 为平行四边形，设棱锥高为 $h$ ，体积为 $V$ ，现将容器以棱 $A B$ 为轴向左侧倾斜，如图乙，这时水面恰好经过 $C D E F$ ，其中 $E ， F$ 分别为棱 $P A ， P B$ 的中点，则（）

A、水的体积为 $\frac{5}{8} V$ B、水的体积为 $\frac{3}{4} V$ C、图甲中的水面高度为 $(1 - \frac{\sqrt[3]{3}}{2}) h$ D、图甲中的水面高度为 $(1 - \frac{\sqrt[3]{5}}{2}) h$

查看试题解析
12. “冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数 $x$ ，如果 $x$ 是奇数㩆乘以3再加1，如果 $x$ 是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设 $k \in N^{*}$ ，各项均为正整数的数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{2} ， & a_{n} 为偶数， \\ a_{n} + k ， & a_{n} 为奇数， \end{array}$ 则（）

A、当 $k = 5$ 时， $a_{5} = 4$ B、当 $n > 5$ 时， $a_{n} \neq 1$ C、当 $k$ 为奇数时， $a_{n} \leq 2 k$ D、当 $k$ 为偶数时， ${a_{n}}$ 是递增数列

查看试题解析

三、填空题

13. $\frac{C_{6}^{0}}{2^{0}} - \frac{C_{6}^{1}}{2^{1}} + ⋯ - \frac{C_{6}^{5}}{2^{5}} + \frac{C_{6}^{6}}{2^{6}}$ 的值为.

查看试题解析
14. 已知圆 $C ： (x - t)^{2} + (y + t - 1)^{2} = 8$ ，若 $C$ 被两坐标轴截得的弦长相等，则 $t =$ .

查看试题解析
15. 与曲线 $y = e^{x}$ 和 $y = - \frac{x^{2}}{4}$ 都相切的直线方程为.

查看试题解析
16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ .若 $F_{1}$ 关于直线 $y = 2 x$ 的对称点 $P$ 恰好在 $C$ 上，且直线 $P F_{1}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $Q$ ，则 $c o s ∠ F_{1} Q F_{2} =$ .

查看试题解析

四、解答题

17. 记 $T_{n}$ 为正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积，且 $a_{1} = 1 ， a_{2} = 2 ， T_{n} T_{n + 2} = 2 T_{n + 1}^{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{T_{1}}{T_{2}} + \frac{T_{3}}{T_{4}} + ⋯ + \frac{T_{2 n - 1}}{T_{2 n}} < \frac{2}{3}$ .

查看试题解析
18. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $A = 2 B$ .

(1)、若 $b = 2 ， c = 1$ ，求 $a$ ；

(2)、若 $b + c = \sqrt{3} a$ ，求 $B$ .

查看试题解析
19. 如图，在多面体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} / / B B_{1} / / C C_{1}$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 为等边三角形， $A_{1} B_{1} = B B_{1} = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， $C C_{1} = 1$ ，点 $M$ 是 $A C$ 的中点．

(1)、若点 $G$ 是 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的重心，证明；点 $G$ 在平面 $B B_{1} M$ 内；

(2)、求二面角 $B_{1} - B M - C_{1}$ 的正弦值．

查看试题解析
20. 2023年是全面贯彻落实党二十大精神的开局之年，也是实施“十四五”规划承上启下的关键之年，今年春季以来，各地出台了促进经济发展的各种措施，经济增长呈现稳中有进的可喜现象.服务业的消费越来越火爆，绍兴一些超市也纷纷加大了广告促销.现随机抽取7家超市，得到其广告支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）数据如下：
超市
A
B
C
D
E
F
G
广告支出
1
2
4
6
10
13
20
销售额
19
32
44
40
52
53
54
附注：参考数据 $\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} = 2788 ， \sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2} = 726 ， \sum_{i = 1}^{7} y_{i}^{2} = 13350$ ，回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、建立 $y$ 关于 $x$ 的一元线性回归方程（系数精确到0.01）；

(2)、若将超市的销售额 $y$ 与广告支出 $x$ 的比值称为该超市的广告效率值 $μ$ ，当 $μ \geq 10$ 时，称该超市的广告为“好广告”.从这7家超市中随机抽取4家超市，记这4家超市中“好广告”的超市数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望.

查看试题解析
21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3 a^{2}} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，且 $F_{2}$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过 $C$ 的左顶点且不与 $x$ 轴重合的直线交 $C$ 的右支于点 $B$ ，交直线 $x = \frac{1}{2}$ 于点 $P$ ，过 $F_{1}$ 作 $P F_{2}$ 的平行线，交直线 $B F_{2}$ 于点 $Q$ ，证明： $Q$ 在定圆上.

查看试题解析
22. 设函数 $f (x) = x - s i n \frac{π x}{2}$ .

(1)、证明：当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) \leq 0$ ；

(2)、记 $g (x) = f (x) - a l n | x |$ ，若 $g (x)$ 有且仅有2个零点，求 $a$ 的值.

查看试题解析

超市	A	B	C	D	E	F	G
广告支出	1	2	4	6	10	13	20
销售额	19	32	44	40	52	53	54